简单地说，

y=f(x)

是y关于自变量x的函数。如果存在一个

函数

g，使得，

g(y)=g(f(x))=x

那么x=g(y)就是反函数。从形式上看得出，的确是“反”了过来：自变量与因变量的地位交换了。

关于反函数最基本也是最重要的是

存在性

问题。由函数的定义，

f: x→y

每一个x决定唯一一个y，而

g: y→x

每一个y决定唯一一个x

于是，这就要求x与y是

一一对应

的关系，也就是说，f与g必须是

双射

。一个比较好的且直观的条件，如果f与g严格单调，那么双射是无疑了，于是反函数也就存在了。比如，正弦函数y=sinx在(-π/2,+π/2)上单调增，那么存在它的反函数——就是我们熟悉的反正弦函数x=arcsin y，但是如果超出这个区间就有问题了。再比如指数函数，在R上全程严格单调，于是天然地就会有它的反函数，即是大名鼎鼎的对数函数。

严格单调的条件还可以加强，如果函数可微，并且导数恒正(负)，那么我们自然也会得到单调性，这在实际判断中是很有价值的。隐函数定理的存在性证明也是利用了这样的性质，我就不过多引伸了。