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极限、连续、导数、积分的概念

极限的概念是整个微积分的基础，需要深刻地理解，由极限的概念才能引出连续、导数、积分等概念。极限的概念首先是从数列的极限引出的。对于任意小的正数E，如果存在自然数M，使所有N》M时，|A(N)-A|都小于E，则数列的极限为A。极限不是相等，而是无限接近。而函数的极限是指在X0的一个临域内(不包含X0这一点)，如果对于任意小的正数E，都存在正数Q，使所有(X0-Q，X0+Q)内的点，都满足|F(X)-A|《E，则F(X)在X0点的极限为A。很多求极限的题目都可以用极限的定义直接求出。

例如F(X)=(X^2-3X+2)/(X-2), X=2不在函数定义域内，但对于任何X不等于2，F(X)=X-1，因此在X无限接近2，但不等于2时，F(X)无限接近1，因此F(X)在2处的极限为1。

连续的概念。如果函数在X0的极限存在，函数在X0有定义，而且极限值等于函数值，则称F(X)在X0点连续。以上的三个条件缺一不可。

在上例中，F(X)在X=2时极限存在，但在X=2这一点没有定义，所以函数在X=2不连续;

如果我们定义F(2)=1，补上“缺口”，则函数在X=2变成连续的;

如果我们定义F(2)=3，虽然函数在X=2时，极限值和函数值都存在，但不相等，那么函数在X=2还是不连续。

由连续又引出了左极限、右极限和左连续、右连续的概念。函数值等于左极限为左连续，函数值等于右极限为右连续。如果函数在X0点左右极限都存在，且都等于函数值，则函数在X=X0时连续。这个定义是解决分段函数连续问题的最重要的、几乎是唯一的方法。

如果函数在某个区间内每一点都连续，在区间的左右端点分别左右连续(对闭区间而言)，则称函数在这个区间上连续。

导数的概念。导数是函数的变化率，直观地看是指切线的斜率。略有不同的是，切线可以平行于Y轴，此时斜率为无穷大，因此导数不存在，但切线存在。

导数的求法也是一个极限的求法。对于X=X0，在X0附近另找一点X1，求X0与X1连线的斜率。当X1无限靠近X0，但不与X0重合时，这两点连线的斜率，就是F(X)在X=X0处的导数。关于导数的题目多数可用导数的定义直接解决。教科书中给出了所有基本函数的导数公式，如果自己能用导数的定义都推导一遍，理解和记忆会更深刻。其中对数的导数公式推导中用到了重要极限：limx-->0 (1+x)^(1/x)=e。

导数同样分为左导数和右导数。导数存在的条件是：F(X)在X=X0连续，左右导数存在且相等。这个定义是解决分段函数可导问题的最重要的、几乎是唯一的方法。

如果函数在某个区间内每一点都可导，在区间的左右端点分别左右导数存在(对闭区间而言)，则称函数在这个区间上可导。

复合函数的导数，例如f[u(x)]，是集合A中的自变量x，产生微小变化dx，引起集合B中对应数u的微小变化du，u的变化又引起集合C中的对应数f(u)的变化，则复合函数的导函数f’[u(x)]=df(u)/dx=df(u)/du * du/dx=f’(u)*u‘(x)

导数在生活中的例子最常见的是距离与时间的关系。物体在极其微小的时间内，移动了极其微小的距离，二者的比值就是物体在这一刻的速度。对于自由落体运动，下落距离S=1/2gt^2，则物体在时间t0的速度为V(t0)=[S(t0+a)-S(t0)]/a, 当a趋近于0时的值，等于gt0; 而速度随时间的增加而增加，变化的比率g称为加速度。加速度是距离对时间的二阶导数。

从直观上看，可导意味着光滑的、没有尖角，因为在尖角处左右导数不相等。有笑话说一位教授对学生抱怨道：“这饭馆让人怎么吃饭?你看这碗口，处处不可导!”

积分的概念。从面积上理解，积分就是积少成多，把无限个面积趋近于0的线条，累积在一起，就成为大于0的面积。我们可以把一块图形分割为狭长的长方形(长方形的高度都取函数在左端或右端的函数值)，分别计算各个长方形的面积再加总，可近似地得出图形的面积。当我们把长方形的宽度设定得越来越窄，计算结果就越来越精确，与图形实际面积的差距越来越小。如果函数的积分存在，则长方形宽度趋近于0时，求出的长方形面积总和的极限存在，且等于图形的实际面积。这里又是一个极限的概念。

如果函数存在不连续的点，但在该点左右极限都存在，函数仍是可积的。只要间断点的个数是有限的，则它们代表的线条面积总和为0，不影响计算结果。

在广义积分中，允许函数在无限区间内积分，或某些点的函数值趋向无穷大，只要积分的极限存在，函数都是可积的。

严格地说，我们只会计算长方形的面积。从我们介绍的积分的求法看，我们实际上是把求面积化为了数列求和的问题，即求数列的前N项和S(N)，在N趋近于无穷大时的极限。很多时候，求积分和求无限数列的和是可以相互转换的。当我们深刻地理解了积分的定义和熟练地掌握了积分公式之后，我们同样可用它来解决相当棘手的数列求和问题。

例如：求LIM Nà正无穷大时，1/N*[1+1/(1+1/N)+1/(1+2/N)+。。。+1/(1+(N-1)/N)+1/2]的值。

看似无从下手，可当我们把它转化为一连串的小长方形的面积之后，不禁会恍然大悟：这不是F(X)=1/X在[1，2]上的积分吗?从而轻松得出结果为ln2。

除了基本的积分公式外，换元法和分步法是常用的积分方法。换元积分法的实质是把原函数化为形式简单的复合函数;分步积分法的要领是：在∫udv=uv-∫vdu中，函数u微分后应该变简单(比如次数降低)，而函数v积分后不会变得更复杂。

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