奥数的学习可以不断提高同学的数学学习能力，只有不断练习才会有进步。精品学习网为大家整理了初中数学竞赛专题：奇数和偶数，希望大家阅读愉快。

整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数.

关于奇数和偶数，有下面的性质：

(1)奇数不会同时是偶数;两个连续整数中必是一个奇数一个偶数;

(2)奇数个奇数和是奇数;偶数个奇数的和是偶数;任意多个偶数的和是偶数;

(3)两个奇(偶)数的差是偶数;一个偶数与一个奇数的差是奇数;

(4)若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶;

(5)n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数;顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.

以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.

1.代数式中的奇偶问题

例1(第2届"华罗庚金杯"决赛题)下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数?

□+□=□，□-□=□，

□×□=□□÷□=□.

解因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.

2.与整除有关的问题

例4(首届"华罗庚金杯"决赛题)70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，….问最右边的一个数被6除余几?

解设70个数依次为a1,a2,a3据题意有

a1=0,偶

a2=1奇

a3=3a2-a1,奇

a4=3a3-a2,偶

a5=3a4-a3,奇

a6=3a5-a4,奇

………………

由此可知：

当n被3除余1时，an是偶数;

当n被3除余0时，或余2时，an是奇数，显然a70是3k+1型偶数，所以k必须是奇数，令k=2n+1，则

a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.

解设十位数，五个奇数位数字之和为a，五个偶数位之和为b(10≤a≤35,10≤b≤35)，则a+b=45，又十位数能被11整除，则a-b应为0，11，22(为什么?).由于a+b与a-b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17.

要排最大的十位数，妨先排出前四位数9876，由于偶数位五个数字之和是17，现在8+6=14，偶数位其它三个数字之和只能是17-14=3，这三个数字只能是2，1，0.

故所求的十位数是9876524130.

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