奥数的学习并没有我们想象的那么难，只要用心我们还是可以把奥数学习好的。我们一起来看一下这篇初中奥数二次函数的简单应用吧。

一、利用函数性质解决实际问题

试题1某商场试销一种每件成本为60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y=kx+b. 且x=65时,y=55;x=75时,y=45.

(1)求一次函数y=kx+b的表达式.

(2)若该商场获得利润为W(元),试写出利润W与销售单价x之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?

(3)若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价x的取值范围.

(1)根据题意得65k+b=55,75k+b=45. 解得k=-1,b=120.所求一次函数的表达式为y=-x+120.

(2)W=(x-60)•(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900. 因为抛物线的开口向下,所以当x<90时,W随x的增大而增大,而60≤x≤87,所以当x=87时,Wmax=-(87-90)2+900=891. 即当销售单价定为87元时,商场可获得最大利润,最大利润是891元.

(3)由W=500,得500=-(x-90)2+900,整理得(x-90)2=202,解得x =70,x =110.

由图象可知,要使该商场获得利润不低于500元,销售单价应在70元到110元之间. 又60≤x≤87,所以,销售单价x的取值范围是70≤x≤87.

与商业利润相关的函数应用题是中考的热点问题,解决这类问题关键在于理解商业利润的计算公式,然后用含有变量的关系式表示出利润,再根据函数的性质加以解决,在求最大利润时往往要分析函数自变量的取值范围.

此题以社会热点问题为背景来设置问题,需要同学们通过二次函数建立数学模型,分析数量关系是建立数学模型的关键. 解决本题的技巧关键在于转化的思想以及配方法等.

二、考查函数的基本性质

试题2已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图1所示,已知下列结论:①ac>0;②方程ax2+bx+c=0的两根之和大于0;③y随x增大而增大;④a-b+c<0. 其中正确结论的个数()

A. 4个B. 3个 C. 2个D. 1个

由图象得a<0,c>0,所以ac>0不成立. 由于对称轴在y轴的右侧,所以- >0,又a<0,所以b>0. 方程ax2+bx+c=0的两根之和x +x =- >0一定成立. 二次函数的增减性需由对称轴分开说明,所以y随x增大而增大不完全成立. 由图象可知当x=-1时,y<0,即a-b+c<0. 故选C.

由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象确定a,b,c的符号,考查了同学们的数形结合思想和应用知识综合解决问题的能力,同学们务必要掌握图象与二次函数的系数的关系.

试题3 关于x的函数y=ax2+x+1(a为常数).

(1)若函数的图象与x轴恰有一个交点,求a的值.

(2)若函数的图象是抛物线,且顶点始终在x轴上方,求a的取值范围.

(1)当a=0时,函数为y=x+1,它的图象与x轴只有一个交点(-1,0). 当a≠0时,依题意得方程ax2+x+1=0有两个相等实数根,所以Δ=1-4a=0,即a= . 所以当a=0或a= 时,函数图象与x轴恰有一个交点.

(2)依题意由 >0(当x=- 时顶点的纵坐标)分类讨论,解得a> 或a<0. 所以当a> 或a<0时,抛物线顶点始终在x轴上方.

二次函数顶点的位置由三个系数共同决定,在分类讨论时,a=0的情况务必考虑到,同时也要考虑a<0与a>0的情况.

现在是不是觉得奥数很简单啊，希望这篇初中奥数二次函数的简单应用可以帮助到你。

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