奥数与我们的生活息息相关，奥数将生活与数学紧密联系，因此，精品小编为大家精心准备了这篇初中奥数二次函数的解析式精讲希望可以帮助到大家!

一、利用二次函数的性质

例1 若二次函数 y=ax2+bx+c的图像满足下列条件：

①当x<2时， y随x的增大而增大;②当x≥2时，y随x的增大而减小.则这样的二次函数的解析式可以是.

分析：二次函数的性质：①当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小;在对称轴的右侧，y随x的增大而增大.②当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大;在对称轴的右侧，y随x的增大而减小.

依题意可知此抛物线的对称轴为x=2，即-=2，b=-4a，且a<0，所以符合条件的抛物线的解析式有很多.如：y=-2(x-2)2+5， y=-x2+4x+3.

二、利用图象平移的特征

例2 已知抛物线y=x2-4x+1，将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线.求平移后的抛物线解析式.

分析：函数图像在平移时，有一个重要的特征，平移过程中，图像的上所有点皆作相应的同步变化，而图像的形状和大小不变，抓住顶点坐标的变化来求平移后的解析式，常作解题的突破口.

简解：将抛物线y=x2-4x+1配方得：y=(x-2)2-3，顶点坐标为(2，-3)，将抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度后，顶点坐标为(-2，-3)，因此抛物线为y=(x+2)2-3，即y=x2+4x+1.

三、利用待定系数法

确定二次函数解析式的主要方法是待定系数法.一般地，解析式有几个待定系数就需要几个独立的已知条件，二次函数的解析式的设法通常有三种形式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k，其中(h，k)是抛物线的顶点坐标;③交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中(x1，0)，(x2，0)是抛物线与x轴的交点.我们应根据不同的已知条件，选择不同的设法，可以给运算带来简便.

例3 二次函数y=x2+bx+c的图像经过点M(1， -2)、

N(-1，6).求二次函数y=x2+bx+c的解析式.

分析：将已知点的坐标代入“一般式”，得到二元一次方程组，求出b、c的值，从而得到函数的解析式.

简解：∵M(1，-2)，N(-1，6)在二次函数y=x2+bx+c的图像上，

∴1+b+c=-2，1-b+c=6.解得b=-4，c=1.

　∴y= x2-4x+1.

例4 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是(4，-1)，与y轴交于点

C(0，3)，求抛物线的解析式.

分析：已知抛物线的顶点坐标或最大(小)值，设“顶点式”较好，再将C点坐标代入，可得函数解析式.

简解：因为抛物线的顶点坐标是(4，-1)，可设其解析式为y=a(x-4) 2-1，又抛物线与y轴交于点C(0，3)，所以3=16a-1.

解得a=.

∴抛物线的解析式为y=(x-4)2-1，即y=x2-2x+3.

例5抛物线y=ax2-8ax+12a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，抛物线上另有一点 C在第一象限，满足∠ACB为直角，且恰使△OCA∽△OBC.

(1)求线段OC的长;

(2)求该抛物线的函数关系式.

分析：题目没有直接给出A、B、 C的坐标，而是隐含在已知条件中，因此解本题的关键是求出A、B、 C的坐标.选择“交点式”求解析式较为方便.

简解：由ax2-8ax+12a=0(a<0)得

x1=2，x2=6.即OA=2，OB=6.

∵△OCA∽△OBC，

∴OC2=OA·OB=2×6.

∴线段OC的长为2 .

(2)∵△OCA∽△OBC， ∴=== .

设AC=k，则BC=k，由AC2+BC2=AB2得

k2+( k)2=(6-2)2.解得k=2.

∴AC=2，BC=2=OC.

过点C作CD⊥AB于点D.

∴OD=OB=3，CD==.

∴C的坐标为(3， ).

设抛物线的解析式为y=a(x-2)(x-6)，将C点的坐标代入抛物线的解析式得 =a(3-2)(3-6)，解得a=-.

∴抛物线的解析式为：y=- x2+x

-4 .

这篇初中奥数二次函数的解析式精讲就和大家分享到这里了，希望大家都能喜欢上奥数。

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