2014年数学竞赛知识点恒等式知识点

恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等.

表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式.

如：a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式.而t2+6=5t，x+7=4都不是恒等式.以前学过的运算律都是恒等式.

将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换).

以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变.

如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法.

1.如果两个多项式的同次项的系数都相等，那么这两个多项式是恒等的.

如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个.

反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项).

2.通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的.

如：如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式，那么必有：a=p，b=q，c=r

例：求b、c的值，使下面的恒等成立.

x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ①

解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立

设x=1，代入①，得

12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+c

c=6

再设x=2，代入①，由于已得c=6，故有

22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6

b=5

∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6

解二：将右边展开

x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c

=x2-2x+1+bx-b+c

=x2+(b-2)x+(1-b+c)