2014初中奥数简单计数问题[1]

一、知识概述

本节课主要学习一些常用的方法来解决排列组合问题，通过学习要能够应用两个计数原理和排列组合的规律解决简单的实际问题.通过分析问题和解决问题的过程，培养缜密思维的习惯和逻辑思维能力，提高分析问题、解决问题的能力.

二、重难点知识归纳及讲解

求解排列组合的综合问题，一般是先选元素(组合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生连续性过程“分步”，在计数时注意不重复，不遗漏.常见的解题策略有以下几种：

1、特殊位置(或元素)优先安排

例1、将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为(　)

A、18　　　　　B、24　　　　C、30　　　　D、36

解析：

必有一个班分了两名学生，先选两名学生分到一个班且甲、乙两名学生不能分到一个班，有种选法，选好后三组学生进行全排列有种分法，由乘法原理，共有5×6=30种分法，故选C.

2、合理分类与准确分步

例2、从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)，每排中字母P、Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是____________(用数字作答).

解析：

(1)每排中只有数字0的排法有;

(2)每排中只有字母P或Q的排法都有;

(3)每排中无数字0，字母P、Q的排法有.

所以不同的排法种数共有：

.

3、排列、组合混合问题先选元(组合)后排列

例3、从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为(　)

A、432　　　　B、288　　　C、216　　　　D、108

解析：

首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有种，再从剩余3个奇数中选择一个，从2，4，6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排.则共有个，故选C.

4、正难则反、等价转化

例4、在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_____________个.

解析：

用排除法解决.

(1)总的四位数有;

(2)个位数字为0的四位数有;

(3)个位数字为5的四位数有.

所以符合条件的四位数个数共有：

.

5、相邻问题捆绑处理

例5、有8本互不相同的书，其中数学书3本，外语书2本，其他书3本，将这些书排成一排放在书架上，那么数学书恰好排在一起，外语书也排在一起的排法有多少种?

解析：

将3本数学书捆绑成一个元素，2本外语书也捆绑成一个元素，连同其他3本书，可以看成5本书的排列，共有种不同的排法.然后再将3本数学书与2本外语书分别作全排列有种排法.因此共有种不同的排法.

6、不相邻问题插空处理

例6、用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有________________个(用数字作答).

解析：

此题是捆绑法和插空法的综合应用问题.把相邻的两个数捆成一捆，分成四个空，然后再将7与8插进空中有种插法;而相邻的三捆都有种排法，再它们之间又有种排序方法.

故这样的八位数共有：

(个).

7、构造模型

例7、6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种方法?

(1)一堆一本，一堆两本，一堆三本;

(2)甲得一本，乙得两本，丙得三本;

(3)一人得一本，一人得二本，一人得三本;

(4)平均分给甲、乙、丙三人;

(5)平均分成三堆.

解析：

本问题中的每一小题都提出了一种类型问题，要搞清类型的归属.

(1)属非均匀分组问题，先在6本书中任取一本，作为一堆，有种取法，再从余下的5本书中任取2本作为一堆，有种取法，最后余下的3本作为一堆有种取法，故共有分法：(种).

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