2014年数学竞赛知识点实数题

一、选择题(本题满分42分，每小题7分)

1. 设 ，则 ( A )

A.24. B. 25. C. . D. .

2.在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB=7，AC=8，则BC=( C )

A. . B. . C. . D. .

3.用 表示不大于 的最大整数，则方程 的解的个数为 ( C )

A.1. B. 2. C. 3. D. 4.

4.设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 ( B )

A. . B. . C. . D. .

5.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则 CBE= ( D )

A. . B. . C. . D. .

6.设 是大于1909的正整数，使得 为完全平方数的 的个数是 ( B )

A.3. B. 4. C. 5. D. 6.

二、填空题(本题满分28分，每小题7分)

1.已知 是实数，若 是关于 的一元二次方程 的两个非负实根，则 的最小值是_____ _______.

2. 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为 和 ，则四边形DECF的面积为___ ___.

3.如果实数 满足条件 ， ，则 __ ___

4.已知 是正整数，且满足 是整数，则这样的有序数对 共有_7对.

第二试 (A)

一、(本题满分20分)已知二次函数 的图象与 轴的交点分别为A、B，与 轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.

(1)证明：⊙P与 轴的另一个交点为定点.

(2)如果AB恰好为⊙P的直径且 ，求 和 的值.

解 (1)易求得点 的坐标为 ，设 ， ，则 ， .

设⊙P与 轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB=OC×OD，则 .

因为 ，所以点 在 轴的负半轴上，从而点D在 轴的正半轴上，

所以点D为定点，它的坐标为(0,1).

(2)因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，

所以点 的坐标为 ，

即 .

又 ，所以

，解得 .

二.(本题满分25分)设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高， 、 分别是△ADC、△BDC的内心，AC=3，BC=4，求 .

解 作 E⊥AB于E， F⊥AB于F.

在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4， .

又CD⊥AB，由射影定理可得 ，

故 ，

.

因为 E为直角三角形ACD的内切圆的半径，

所以 = .

连接D 、D ，则D 、D 分别是∠ADC和∠BDC的平分线，

所以∠ DC=∠ DA=∠ DC=∠ DB=45°，故∠ D =90°，

所以 D⊥ D， .

同理，可求得 ， . 所以 = .