2014年初中奥数数论基础知识要点巩固练习[2]

(多用于求最小公倍数)

2、(a，b) ≤ a ，b ≤ [a，b]

3、[a，b]是(a，b)的倍数，(a，b)是[a，b]的约数

4、(a，b)是a+b 和a-b 的约数，也是(a，b)+[a，b]和(a，b)-

[a，b]的约数

(4)求最大公约数的方法很多，主要推荐：短除法、分解质因数法、辗转相除法。

例如：1、(短除法)用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少?

解：∵

(30，60，75)=5×3=15

这个数最大是15。

2、(分解质因数法)求1001和308的最大公约数是多少?

解：1001=7×11×13(这个质分解常用到) ， 308=7×11×4

所以最大公约数是7×11=77

在这种方法中，先将数进行质分解，而后取它们“所有共有的质因数之积”便是最大公约数。

3、(辗转相除法)用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。

解：∵4811=2×1981+849，

1981=2×849+283，

849=3×283，

∴(4811，1981)=283。

补充说明：如果要求三个或更多的数的最大公约数，可以先求其中任意两个数的最大公约数，再求这个公约数与另外一个数的最大公约数，这样求下去，直至求得最后结果。

(5)约数个数公式

一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(即指数)加1的连乘的积。

例如：求240的约数的个数。

解：∵240=24×31×51，

∴240的约数的个数是

(4+1)×(1+1)×(1+1)=20，

∴240有20个约数。

四 奇偶性

(1)奇数和偶数

整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

偶数通常可以用2k(k为整数)表示，奇数则可以用2k+1(k为整数)表示。 特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

最小的奇数是1 ，最小的偶数是0 .

(2)奇数与偶数的运算性质

性质1：偶数±偶数=偶数，

奇数±奇数=偶数。

性质2：偶数±奇数=奇数。

性质3：偶数个奇数相加得偶数。

性质4：奇数个奇数相加得奇数。

性质5：偶数×奇数=偶数，

奇数×奇数=奇数。

偶数×偶数=偶数

(3)反证法

例：桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”.要使9只杯子口全朝下，必须经过9个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.但是，按规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种说法正确，再利用假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可能成立的结论，从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。

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