初中2014年奥数数论基础知识要点巩固练习[1]

一 质数和合数

(1)一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数)。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

(2)自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。

任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。

要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。

(3)最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数;

最小的合数是4。

(4)质数是一个数，是含有两个约数的自然数 。

互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数(3和5)，可能是一个质数和一个合数(3和4)，可能是两个合数(4和9)或1与另一个自然数。

(5)如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

(6)100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、

29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、

83、89、97 .

二 整除性

(1)概念

一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b(b不等于0)，除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0)，我们就说，a能被b整除(或者说b能整除a)。记作b|a.否则，称为a不能被b整除，(或b不能整除a)，记作b a。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 (2)性质

性质1：(整除的加减性)如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c|a，c|b，那么c|(a±b)。

例如：如果2|10，2|6，那么2|(10+6)，并且2|(10—6)。 也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.

即：如果bc|a，那么b|a，c|a。

性质3：(整除的互质可积性)如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

即：如果b|a，c|a，且(b，c)=1，那么bc|a。

例如：如果2|28，7|28，且(2，7)=1,

那么(2×7)|28。

性质4：(整除的传递性)如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c|b，b|a，那么c|a。

例如：如果3|9，9|27，那么3|27。

(3)数的整除特征

①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。突破口

③能被3(或9)整除的数的特征：各个数位数字之和能被3(或9)整除。 判断能被3(或9)整除的数还可以用“弃3(或9)法”：

例如：8351746能被9整除么?

解：8+1=9，3+6=9，5+4=9，在数字中只剩7，7不是9的倍数，所以8351746不能被9整除。

④能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能被4(或25)整除。 ⑤能被8(或125)整除的数的特征：末三位数能被8(或125)整除。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大减小)是11的倍数。

⑦能被7(11或13)整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7(11或13)整除，依此反复检验。 例如：判断3546725能否被13整除?

解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2=819，又13|819，所以13|2821，进而13|3546725.

上述办法也可以用来判断余数和末位数;

对于其他的数，可以将其分解成上述几个互质的数的乘积，再逐个考虑。

三 约数与倍数

(1)公约数和最大公约数

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

例如：4是12和16的最大公约数，可记做：(12 ，16)=4 (2)公倍数和最小公倍数

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

(3)最大公约数和最小公倍数的关系

如果用a和b表示两个自然数

1、那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是：

(a，b)×[a，b]=a

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