解得 (舍去).

③当 时， ，这种情况不存在.

综上所述，符合条件的抛物线解析式是 .

(3)存在点 ，使得四边形 的周长最小.

如图③，作点 关于 轴的对称点 ，作点 关于

轴的对称点 ，连接 ，分别与 轴、 轴交于

点 ，则点 就是所求点.

， .

. .又 ， ，此时四边形 的周长最小值是 .

【预测题】3、如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC,点P为边AB 上一个动点，过P点作PF//AC交线段BD于点F,作PG⊥AB交AD于点E,交线段CD于点G,设BP=x.

(1)①试判断BG与2BP的大小关系,并说明理由;

②用x的代数式表示线段DG的长,并写出自变量x的取值范围;

(2)记△DEF的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S的最大值;

(3)以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似?如果能相似，请求出BP的长，如果不能，请说明理由。

解：(1)①在等边三角形ABC中，∠B=60°，∵PG⊥AB，

∴∠BGP=30°，∴BG=2BP.

②∵PF//AC，∴△PBF为等边三角形，∴BF=PF=PB=x.

又∵BG=2x，BD=1，∴DG=2x-1，∴0<2x-1≤1，∴ .

(2)S= DE×DF=

=

当 时， .

(3)①如图1，若∠PFE=Rt∠，则两三角形相似，

此时可得DF=DG

即

解得： .

②如图2，若∠PEF=Rt∠，则两三角形相似，

此时可得DF= EF= BP，

即 .解得： .

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