初中阶段对于学生们来说也是十分重要的一个时期，对每个学生来说尤为重要，下文为大家准备了初中课外数学百科知识，供大家参考。

定义：如果a是b的子集，并且b中至少有一个元素不属于a，那么集合a叫做集合b的真子集

性质：空集是任何非空集合的真子集

定义编辑

子集

一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集(subset)。记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)。[1]

即，对于集合A与B，∀x∈A有x∈B，则A⊆B。[1]  可知任一集合A是自身的子集，空集是任一集合的子集。[2]  [3]

真子集

如果集合A⊆B，存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A与集合B有真包含关系，集合A是集合B的真子集(proper subset)。记作A⊊B(或B⊋A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)。

即：对于集合A与B，∀x∈A有x∈B，且∃x∈B且x∉A，则A⊊B。空集是任何非空集合的真子集。

非空真子集：如果集合A⊊B，且集合A≠∅，集合A是集合B的非空真子集(nonvoid proper subset)。[2]

真子集与子集的区别：

子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等;

真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等。[1]

举例

所有亚洲国家组成的集合是地球上所有国家组成的集合的真子集;所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集(即N⊊Z);{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}，{1, 2, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}; ∅⊊{∅}。但不能说{1, 2, 3}⊊ {1, 2, 3}。[2]

设全集I为{1, 2, 3}，则它的子集可以是{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、{1, 2, 3}、∅;而它的真子集只能为{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、∅。它的非空真子集只能为{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}。[1]

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