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初二数学一元二次方程实数根错例剖析

例1   下列方程中两实数根之和为2的方程是()

(A)   x2+2x+3=0     (B) x2-2x+3=0    (c)  x2-2x-3=0      (D)  x2+2x+3=0

错答： B

正解： C

错因剖析：由根与系数的关系得x1+x2=2，极易误选B，又考虑到方程有实数根，故由△可知，方程B无实数根，方程C合适。

例2   若关于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0  两个实数根之和大于-4，则k的取值范围是(     )

(A)   k>-1     (B)  k<0    (c) -1< k<0    (D) -1≤k<0

错解 ：B

正解：D

错因剖析：漏掉了方程有实数根的前提是△≥0

例3(2000广西中考题) 已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2x-1=0有两个不相等的实根，求k的取值范围。

错解: 由△=(-2 )2-4(1-2k)(-1) =-4k+8>0得  k<2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范围是 -1≤k<2

错因剖析：漏掉了二次项系数1-2k≠0这个前提。事实上，当1-2k=0即k= 时，原方程变为一次方程，不可能有两个实根。

正解： -1≤k<2且k≠

例4 (2002山东太原中考题) 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0的两个实数根，当x12+x22=15时，求m的值。

错解：由根与系数的关系得

x1+x2= -(2m+1),    x1x2=m2+1,

∵x12+x22=(x1+x2)2-2 x1x2

=[-(2m+1)]2-2(m2+1)

=2 m2+4 m-1

又∵ x12+x22=15

∴ 2 m2+4 m-1=15

∴ m1 = -4   m2 = 2

错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式△≥0。因为当m = -4时，方程为x2-7x+17=0，此时△=(-7)2-4×17×1=  -19<0，方程无实数根，不符合题意。

正解：m = 2

例5  已知二次方程x2+3 x+a=0有整数根，a是非负数，求方程的整数根。

错解：∵方程有整数根，

∴△=9-4a>0，则a<2.25

又∵a是非负数，∴a=1或a=2

令a=1，则x= -3± ，舍去;令a=2，则x1= -1、 x2= -2

∴方程的整数根是x1= -1， x2= -2

错因剖析：概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分，当a=0时，还可以求出方程的另两个整数根，x3=0， x4= -3

正解：方程的整数根是x1= -1， x2= -2 ，  x3=0， x4= -3

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