【学习目标】

1、探索黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的过程，了解黄金分割在各个领域有价值的运用;

2、会找一条线段的黄金分割点;

3、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段.

【学习重点】了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义.

【学习难点】怎样找一条线段的黄金分割点.

【学习过程】

一、情境创设：

1、欣赏芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感，请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值;

2、上海东方明珠电视设计巧妙，整个塔体的挺拔秀丽，请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值;

3、观察“你最喜欢的矩形”的调查结果，看看多数同学选择是哪一个矩形，在此矩形中，宽与长的比值约是多少?

二、探索活动：

活动一、计算 (或 )的值，引入黄金分割的概念.

把矩形ABCD的长AB与宽BC画在同一条直线上，此时点B把线段AC分成两部分，如果 ，那么线段AC被点B黄金分割.(有一种通俗的说法是：较小的线段与较大的线段的比等于较大的线段与整个线段之比)

BC与AC(或AC与AB)的比值约为0.168，这个比值称为黄金比.

注意：(1)一条线段的黄金分割点有两个，它们关于中点中心对称;

(2)若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.

(3)若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形是黄金矩形吗?

活动二、认识黄金分割在几何中的一些应用.(如黄金三角形)

1、作顶角为36°的等腰△ABC;2、分别量出底边BC与腰AB的长度;

3、作∠B的平分线，交AC于点D，量出△BCD的底边CD的长度;

最后，分别求出△ABC与△BCD的底边与腰的长度的比值(精确到0.001)

问：比值是多少?

所以我们把顶角为36°的三角形称为黄金三角形，它具有如下的性质：(1) ;

(2)设BD是△ABC的底角的平分线，则△BCD也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点;

(3)如再作∠C的平分线，交BD于点E，则△CDE也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形;

活动三、如图，五边形ABCDE的5条边相等，5个内角也相等，

(1)找出图中的黄金三角形;

(2)图中的点F、G、H、M、N分别是那些线段的黄金分割点?你能说明理由吗?

解：(1)△ACD、△BDE、△CAE、△DAB、△EBC、△AGD、△ABN、△BCF、

△BAH、△CMB、△CDG、△DNC、△DEH、△EDF、△EMA;

(2)点F是线段CG、CE、DN、BD的黄金分割点，……

三、例题讲解：

例1、若线段AB=4cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为多少?

例2、我们知道古希腊时期的巴台农神庙(Parthenom Temple)的正面是一个黄金矩形，若已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于多少?(结果保留根号)

例3、如图的五角星中，AD=BC，且C、D两点都是AB的黄金分割

点，AB=1，求CD的长.

四、黄金分割在生活中的应用：

(1)二胡的“千斤”放在琴弦的金分割点处，音色最佳;

(2)据有关测定, 当气温处于人体正常体温的黄金比值时 , 人体感到最舒适.因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合? (人的正常体温36.2℃～ 37.2℃)“人体舒适指数”----36.5℃×0.618≈23℃，“人体舒适指数”为22℃∽24℃;

(3)植物茎的顶端向下，上下层的两片叶子间大约成137.50，这个角度对植物叶子采光、通风、光合作用最为有利，这是因为：137.5︰(360—137.5)≈0.618;……

【课后作业】 班级 姓名 学号

(A)1、已知C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AC是线段______与线段______的比例中项，如果AB=10cm，那么AC≈_______cm，BC≈_________cm.

(A)2、已知M、N是线段AB上的两个黄金分割点.若AB=1cm，则MN≈_______cm.

(A)3、如果 是a与c的比例中项，且a=1，那么c= .

(A)4、如果点C在线段AB上，且AC:CB=5:2，那么AC:AB= ;如果点C在线段AB的延长线上，且AC:CB=5:2，那么AC:AB= .

(B)5、在菱形ABCD中，∠BAD=600，则BD:AC= .

(A)6、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，

CE是∠ACB的平分线，BD、CE相交于点O.图中的黄金三角形有 ( )

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

(A)7、东方明珠塔高468m,上球体点A是塔身的黄金分割点.点A到塔底部的距离约是多少米(精确到0.1m)?

(A)8、根据人的审美观点，当人的下肢长与身高之比为0.618时，能使人看起来感到匀称，某成年女士身高为166cm，下肢长为101cm，持上述观点,她所选的高跟鞋的最佳高度约为 多少(精确到0.1cm)?

(A)9、如图，在黄金矩形ABCD中，(1)作正方形AEFD，使顶点E、F分别在边AB、CD上;

(2)分别量出矩形BCFE的边BE、BC的长度，它们的比值是否约等于0.618?

(B)10、如图，“黄金矩形”ABCD(即 ≈0.618)中，依次画正方形①、②、③、④.

(1)观察矩形⑤，你认为它也是一个黄金矩形吗?

(2)设BC=1(单位长度)，通过计算，能否验证你的判断?

(A)11、如图，AB:AC=BD:BC,且 AB=6cm，AC=4cm,BC=5cm,求BD、DC的长.

(A)12、如图，∠DCE=900,甲、乙两个机器人同时从点C出发，分别沿CD、CE的方向前进，若甲每秒钟前进12cm ,乙每秒钟前进9cm，经过ts后,甲、乙分别到达A、B处.

(1)求 的值;(2)t为何值时,AB=60cm?

(B)13、如图，正方形ABCD的边长为2.E为AB的中点，点H在BA延长线上，且EH=ED，四边形AFGH是正方形.(1)求AF、DF的长;(2)点F是AD的黄金分割点吗?为什么?

(B)14、给定一条线段AB，如何找到它的黄金分割点C呢?

(1)作BD⊥AB，且使BD= AB;(2)连接AD，以D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E;(3)以A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C.点C就是线段AB的黄金分割点.

如果有兴趣的话，你可以和同学们探索一下，点C为什么是线段AB的黄金分割点?