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例1. (1)y与x成正比例函数，当 时，y=5.求这个正比例函数的解析式.

(2)已知一次函数的图象经过A(-1，2)和B(3，-5)两点，求此一次函数的解析式.

解：(1)设所求正比例函数的解析式为

把 ，y=5代入上式

得 ，解之，得

∴所求正比例函数的解析式为

(2)设所求一次函数的解析式为

∵此图象经过A(-1，2)、B(3，-5)两点，此两点的坐标必满足 ，将 、y=2和x=3、 分别代入上式，得

解得

∴此一次函数的解析式为

点评：(1) 不能化成带分数.(2)所设定的解析式中有几个待定系数，就需根据已知条件列几个方程.

例2. 拖拉机开始工作时，油箱中有油20升，如果每小时耗油5升，求油箱中的剩余油量Q(升)与工作时间t(时)之间的函数关系式，指出自变量x的取值范围，并且画出图象.

分析：拖拉机一小时耗油5升，t小时耗油5t升，以20升减去5t升就是余下的油量.

解：

图象如下图所示

点评：注意函数自变量的取值范围.该图象要根据自变量的取值范围而定，它是一条线段，而不是一条直线.

例3. 已知一次函数的图象经过点P(-2，0)，且与两坐标轴截得的三角形面积为3，求此一次函数的解析式.

分析：从图中可以看出，过点P作一次函数的图象，和y轴的交点可能在y轴正半轴上，也可能在y轴负半轴上，因此应分两种情况进行研究，这就是分类讨论的数学思想方法.

解：设所求一次函数解析式为

∵点P的坐标为(-2，0)

∴"OP|=2

设函数图象与y轴交于点B(0，m)

根据题意，SΔPOB=3

∴

∴|m|=3

∴

∴一次函数的图象与y轴交于B1(0，3)或B2(0，-3)

将P(-2，0)及B1(0，3)或P(-2，0)及B2(0，-3)的坐标代入y=kx+b中，得

解得

∴所求一次函数的解析式为

点评：(1)本题用到分类讨论的数学思想方法.涉及过定点作直线和两条坐标轴相交的问题，一定要考虑到方向，是向哪个方向作.可结合图形直观地进行思考，防止丢掉一条直线.(2)涉及面积问题，选择直角三角形两条直角边乘积的一半，结果一定要得正值.

【综合测试】

一、选择题：

1. 若正比例函数y=kx的图象经过一、三象限，则k的取值范围是( )

A. B. C. D.

2. 一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度y(cm)与燃烧时间x(小时)的函数关系用图象表示为( )

3. (北京市)一次函数 的图象不经过的象限是( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. (陕西省课改实验区)直线 与x轴、y轴所围成的三角形的面积为( )

A. 3 B. 6 C. D.

5. (海南省)一次函数 的大致图象是( )

二、填空题：

1. 若一次函数y=kx+b的图象经过(0，1)和(-1，3)两点，则此函数的解析式为_____________.

2. (2006年北京市中考题)若正比例函数y=kx的图象经过点(1，2)，则此函数的解析式为_____________.

三、

一次函数的图象与y轴的交点为(0，-3)，且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求这个一次函数的解析式.

四、(芜湖市课改实验区)

某种内燃动力机车在青藏铁路试验运行前，测得该种机车机械效率η和海拔高度h( ，单位km)的函数关系式如图所示.

(1)请你根据图象写出机车的机械效率η和海拔高度h(km)的函数关系;

(2)求在海拔3km的高度运行时，该机车的机械效率为多少?

五、(浙江省丽水市)

如图建立羽毛球比赛场景的平面直角坐标系，图中球网高OD为1.55米，双方场地的长OA=OB=6.7(米).羽毛球运动员在离球网5米的点C处起跳直线扣杀，球从球网上端的点E直线飞过，且DE为0.05米，刚好落在对方场地点B处.

(1)求羽毛球飞行轨迹所在直线的解析式;

(2)在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度FC为多少米?(结果精确到0.1米)

【综合测试答案】

一、选择题：

1. B 2. B 3. D 4. A 5. B

二、填空题：

1. 2.

三、分析：一次函数的解析式y=kx+b有两个待定系数，需要利用两个条件建立两个方程.题目中一个条件比较明显，即图象和y轴的交点的纵坐标是-3，另一个条件比较隐蔽，需从“和坐标轴围成的面积为6”确定.

解：设一次函数的解析式为 ，

∵函数图象和y轴的交点的纵坐标是-3，

∴

∴函数的解析式为 .

求这个函数图象与x轴的交点，即解方程组：

得

即交点坐标为( ，0)

由于一次函数图象与两条坐标轴围成的直角三角形的面积为6，由三角形面积公式，得

∴

∴

∴这个一次函数的解析式为

四、解：(1)由图象可知， 与h的函数关系为一次函数

设

∵此函数图象经过(0，40%)，(5，20%)两点

∴ 解得

∴

(2)当h=3km时，

∴当机车运行在海拔高度为3km的时候，该机车的机械效率为28%

五、解：(1)依题意，设直线BF为y=kx+b

∵OD=1.55，DE=0.05

∴

即点E的坐标为(0，1.6)

又∵OA=OB=6.7

∴点B的坐标为(-6.7，0)

由于直线经过点E(0，1.6)和点B(-6.7，0)，得

解得 ，即

(2)设点F的坐标为(5， )，则当x=5时，

则FC=2.8

∴在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度是2.8米
 

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