要想让自己在考试时取得好成绩，除了上课要认真听讲外还需要课后多做练习，接下来精品学习网为大家推荐了初二年级下学期同步检测：平行四边形，希望能帮助到大家。

例1如图2-32所示.在

ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM.求证：EF与MN互相平分.

分析 只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手.

证 因为ABCD是平行四边形，所以

AD

BC，AB

CD，∠B=∠D.

又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，从而

AE=CF.

所以

Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF.又由已知BM=DN，所以

△BEM≌△DFN(SAS)，

ME=NF. ①

又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以

△MAF≌△NCE(SAS)，

所以 MF=NF. ②

由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分.

例2如图2-33所示.Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F.求证：AE=CF.

分析 AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系.若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分线，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG.又连接EH，可证△ABE≌△HBE，从而AE=HE.这样，将AE“转移”到EH位置.设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解.

证 作GH⊥BC于H，连接EH.因为BG是∠ABH的平分线，GA⊥BA，所以GA=GH，从而

△ABG≌△HBG(AAS)，

所以 AB=HB. ①

在△ABE及△HBE中，

∠ABE=∠CBE，BE=BE，

所以 △ABE≌△HBE(SAS)，

所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH.

下面证明四边形EHCF是平行四边形.

因为AD∥GH，所以

∠AEG=∠BGH(内错角相等). ②

又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH，等角的补角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等)，所以

∠AGB=∠GEH.

从而

EH∥AC(内错角相等，两直线平行).

由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四边形，所以

FC=EH=AE.

说明 本题添加辅助线GH⊥BC的想法是由BG为∠ABC的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等)，从而构造出全等三角形ABG与△HBG.继而发现△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的过渡.这样，证明EHCF是平行四边形就是顺理成章的了.

人们在学习中，经过刻苦钻研，形成有用的经验，这对我们探索新的问题是十分有益的.

例3如图2-34所示.

ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC.求证：∠EMC=3∠BEM.

分析由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM.从而，应该有∠B=2∠BEM，这个论断在△BEM内很难发现，因此，应设法通过添加辅助线的办法，将这两个角转移到新的位置加以解决.利用平行四边形及M为BC中点的条件，延长EM与DC延长线交于F，这样∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此， 只要证明∠MCF=2∠F即可.不难发现，△EDF为直角三角形(∠EDF=90°)及M为斜边中点，我们的证明可从这里展开.

证 延长EM交DC的延长线于F，连接DM.由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以

△MCF≌△MBE(AAS)，

所以M是EF的中点.由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知

∠F=∠MDC，

又由已知MC=CD，所以

∠MDC=∠CMD，

则

∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F.

从而

∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM.

例4如图2-35所示.矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F.求证：CA=CF.

分析 只要证明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可.由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加辅助线时，应设法产生一个与∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a.为此，延长DC交AF于H，并设AF与BC交于G，我们不难证明∠FCH=∠CAD.

证 延长DC交AF于H，显然∠FCH=∠DCE.又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC.因为矩形对角线相等，所以△DCB≌△CDA，从而∠DBC=∠CAD，因此，

∠FCH=∠CAD. ①

又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，从而易证△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°.由于∠CHG是△CHF的外角，所以

∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，

所以 ∠CFH=45°-∠FCH. ②

由①，②

∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，

于是在三角形CAF中，有

CA=CF.

例5设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点(图2-36).求证：

分析 作∠BAF的平分线，将角分为∠1与∠2相等的两部分，设法证明∠DAE=∠1或∠2.

证 如图作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则∠1=∠2=∠3，所以

FA=FH.

设正方形边长为a，在Rt△ADF中，

从而

所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，

从而

Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，

例6如图2-37所示.正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G.求证：△GHD是等腰三角形.

分析 准确地画图可启示我们证明∠GDH=∠GHD.

证 因为DE

BC，所以四边形BCED为平行四边形，所以∠1=∠4.又BD=FD，所以

所以 BC=GC=CD.

因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG=45°，所以

又

所以 ∠HDG=∠GHD，

从而GH=GD，即△GHD是等腰三角形.

有了上文为大家推荐的初二年级下学期同步检测：平行四边形，是不是助力不少呢?祝您学习愉快。

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