先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行 分析并加以证明.

(1)当点D与点C重合时(如图2)，请你补全图形.由∠BAC的度数为______，点E落在________________，容易得出BE与DE之间的数量关系为__________;

(2)当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.

25.(10分)如图，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形.

(1)求证：AB∥CQ.

(2)AQ与CQ能否互相垂直?若能互相垂直，指出点P在BC上的位置，并给予证明;若AQ与CQ不能互相垂直，请说明理由.

26.(10分)( 1)把两个含有45°角的直角三角板如图(1)放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F.求证：AF⊥BE.

(2)把两个含有30°角的直角三角板如图(2)放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F.问AF与BE是否垂直?并说明理由.

参考答案

一、1.A　2.C　3.C

4.B　∵∠BOD=45°，∴∠AOC=45°.

∵OE⊥AB，∴∠COE=∠AOC+∠AOE=135 °.

5.B　6.A　7.B

8.A　由题意得AB=AC=12×(21-5)=8.

∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE.

∴BE+BC+CE=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13.

9.B　在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2=132=169，①

由三角形面积法可得，12AC•BC=12CD•AB，

即2AC•BC=156，②

①+②，得(AC+BC)2=325，

所以AC+BC=513.

10.C　如图，连接PD，由题知∠POD=60°，OP=OD，

∵∠1+∠2+60°=180°，∠1+∠A+∠APO=180°，

∴∠2=∠APO.

同理∠1=∠CDO.

∴△APO≌△COD.

∴AP=OC=AC-AO=9-3=6.

故选C.

二、11.80°

12.AC=AE(或∠C=∠E或∠B=∠D)　由已知条件，根据SAS(AAS，ASA)定理，确定可补充的条件为AC=AE(或∠C=∠E或∠B=∠D).

13.115°　14.33 cm　15.492　16.12　17.46°　18.10

三、19.解：本题答案不唯一：已知：①③.

证明：在△ABE和△DCE中，

∵∠B=∠C，∠AEB=∠DEC，AB=DC，

∴△ABE≌△DCE，

∴AE=DE，即△AED是等腰三角形.

20.(1)证明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB.

∵CD，BE是两条高，∴∠BDC=∠CEB=90°.

又∵BC=CB，∴△BDC≌△CEB.

∴∠DBC=∠ECB.∴AB=AC.

∴△ABC是等腰三角形.

(2)解：点O是在∠BAC的平分线上.连接AO，

∵△BDC≌△CEB，∴DC=EB.

∵OB=OC，∴OD=OE.

∵∠BDC=∠CEB=90°，

∴点O是在∠BAC的平分线上.

21.(1)解：△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF.

(2)证明：如图，连接CE.

∵Rt△ABC≌Rt△ADE，

∴AC=AE.

∴∠A CE=∠AEC.

又∵Rt△ABC≌Rt△ADE，

∴∠ACB=∠AED.

∴∠ACE-∠ACB=∠AEC-∠AED，即∠BCE=∠DEC.

∴CF=EF.

22.解：由题意得AC=60×12=30(海里)，∠ACB=30°，∠BAC=90°

在Rt△ABC中，∵tan 30°=ABAC，

∴AB=AC×tan 30°=30×33=103≈10×1.7=17(海里).

∴乙船的速度是17÷12=34(海里/时).

答：乙船的速度约为34海里/时.

23.解：(1)BD=22

(2)如图，把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，

∴△ADC≌△AEC.

∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA，DC=EC.

∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°，

∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°.

∴△CDE为等边三角形.

∴DC=DE.

在AE上截取AF=AB，连接DF，

∴△ABD≌△AFD.

∴BD=DF.

在△ABD中，∠ADB=∠DAC+∠DCA=45°，

∴∠ADE=∠AED=75 °，∠ABD=105°.

∴∠AFD=105°.

∴∠DFE=75°.

∴∠DFE=∠DEF.

∴DF=DE.

∴BD=DC=2.

作BG⊥AD于点G，

∴在Rt△BDG中，BG=2.

∴在Rt△ABG中，AB=22.

24.解：(1)60°　 AB的中点处　BE=DE　图形如下.

(2)完成画图如下图所示.

猜想：BE=DE.

证明：取AB的中点F，连接EF.

∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，

∴∠1=60°，CF=AF=12AB.

∴△ACF是等边三角形.

∴AC=AF.

∵△ADE是等边三角形，

∴∠2=60°，AD=AE.∴∠1=∠2.

∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，

即∠CAD=∠FAE.

∴△ACD≌△AFE(SAS).

∴∠ACD=∠AFE=90°.

∵F是AB的中点，

∴EF是AB的垂直平分线.

∴BE=AE.

∵△ADE是等边三角形，

∴DE=AE.∴BE=DE.

25.(1)证明：∵△ABC和△APQ都为等边三角形，