(1)求实数 的取值范围;

(2)当 时，求 的值.

28.(9分)如图，点 是菱形 的对角线 上一点，连接 并延长，交 于 ，交 的延长线于点 .

(1)图中△ 与哪个三角形全等?并说明理由.

(2)求证：△ ∽△ .

(3)猜想：线段 ， ， 之间存在什么关系?并说明理由.

期中检测题参考答案

1.C    解析：∵ 方程 有两个相等的实数根，∴  ，

解得 .故选C.

2.C   解析：A.因为正方形图案的边长为7，同时还可用 来表示，故 正确;      B.因为正方形图案面积从整体看是 ，从组合来看，可以是 ，还可以是 ，所以有 即 ， 所以 ，即 ;C. ，故  是错误的;D.由B可知 .故选C.

3.A    解析：由 ，知 是较长的线段，根据黄金分割点的定义，知 .

4.D    解析：∵ 在△ 中， 为 边上一点， ， ，

∴ △ ∽△ ，∴  .

又∵  ， ，∴  ,∴  .

5.B    解析：∵ △ 为等边三角形，∴  ，∠ ∠ ∠ .

∵  ，∴ △ ≌△ .∴ ∠ ∠ .

∵ ∠ ∠ (公共角)，∴ △ ∽△ ，∴ ∠ ∠ ，

∵ ∠ 和∠ 是对顶角，∴ ∠ .故选B.

6.C    解析：由题意得， ，解得 .故选C.

7.B    解析：分情况讨论：当 时，根据比例的等比性质，得 ，此时直线为 ，直线经过第一、二、三象限;当 时，即 ，则 ，此时直线为 ，直线经过第二、三、四象限.综合两种情况，则直线必经过第二、三象限，故选B.

8.A    解析：依题意得, 联立得  ,∴  ,∴  .故选 .

9.C    解析：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°.故选C.

10.C    解析：A.因为 ，所以∠ °，所以△ 是直角三角形，故A正确;B. 因为 ，所以 ，所以△ 是直角三角形，故B正确;C.若 ，则最大角 为75°，故C错误;

D.因为 ，由勾股定理的逆定理，知△ 是直角三角形，故D正确.

11.D    解析： 的大小关系有 ， ， 三种情况，因而 的反面是     .因此用反证法证明“ ”时，应先假设 .故选D.

12.B   解析：∵  ∥ ，∴ △ ∽△ .又∵  是 的中点，∴  ，

∴  ： = ，即 .

13.  (答案不唯一)     解析：要使 成立，需证△ ∽△ ，在这两个三角形中，由 可知∠ ∠ ，还需的条件可以是 或

14.     解析：把 代入方程 可得， ，即 ，

∴  .

15.     解析：原方程可化为 ，∴ .

16.    解析：∵  ，∴  .

17.假设 都小于       解析：运用反证法证明命题的一般步骤是：(1)假设命题结论不成立;(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾;(3)由矛盾判定假设不正确，从而证明命题的结论成立.

18.   解析：∵  ， ，∴ ∠ ∠ .

又∵ ∠ ∠ ∴ △ ∽△ ，∴ .

19.1   解析：设 ，所以 所以

20.195 cm   解析：因为△ABC∽△ ，所以 .又因为在△ABC中，边 最短，所以 ，所以 ，所以△ 的周长为

21. 解:由题意得

即当 时，一元二次方程 的常数项为

22.解：由于方程是一元二次方程，所以 ，解得 .

由于方程有实根，因此 ,解得 .

因此 的取值范围是 且 .

23.解：因为 是梯形 的中位线，所以 ∥ ∥ ，

所以∠ ∠ ∠ ∠ ，所以△ ∽△ ，所以 .

又因为 为 的中点，所以 ，所以 ，

所以 为 的中点，所以 为△ 的中位线.

同理可得 分别是△ 、△ 的中位线，

所以 ， ，所以 .

又 ，所以

所以

又 ，所以 .

24.(1)证明：∵ 四边形 是正方形，∴ ∠ ∠ ， .

∵△ 是等边三角形，∴ ∠ ∠ ， .

∵∠ ∠ ，∠ ∠ ，∴ ∠ ∠ .

∵  ，∠ ∠ ，∴△ ≌△ .

(2)解：∵ △ ≌△ ，∴  ，∴ ∠ ∠ .

∵ ∠ ∠ ，∠ ∠ ，∠ ∠ ，

∴ ∠ ∠ .

∵  ，∴∠ ∠ .

∵ ∠ ，∴ ∠ ，∴ ∠ .

25.(1)证明：∵ 四边形 为等腰梯形，∴ ，∠ ∠ .

∵ 为 的中点，∴  . ∴ △ ≌△ .∴  .

∵ 分别是 的中点，∴  分别为△ 的中位线，

∴  ， ，且 ， .

∴ .∴ 四边形 是菱形.

(2)解：结论：等腰梯形 的高是底边 的一半.