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 2013年代数式和因式分解中考题解析

一、选择题

1. (2012山东滨州3分)求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S﹣S=22013﹣1.仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为【 】

A.52012﹣1　　B.52013﹣1　　C. 　　D.

【答案】C。

【考点】分类归纳(数字的变化类)，同底数幂的乘法。

【分析】设S=1+5+52+53+…+52012，则5S=5+52+53+54+…+52013，

∴5S﹣S=52013﹣1，∴S= 。故选C。

2. (2012山东东营3分)下列运算正确的是【 】

A.x3•x2=x5 B.(x3)3=x6 C.x5+x5=x10 D.x6-x3=x3

【答案】A。

【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方合并同类

【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与合并同类项的知识求解，即可求得答案：

A、x3•x2=x5，故本选项正确;B、(x3)3=x9，故本选项错误;

C、x5+x5=2x5，故本选项错误;D、x6和x3不是同类项，来可以合并，故本选项错误。故选A。

3. (2012山东东营3分)根据下图所示程序计算函数值，若输入的x的值为 ，则输出的函数值为【 】

A. 　　　　B. C. 　 　D.

【答案】B。

【考点】新定义，求函数值。

【分析】根据所给的函数关系式所对应的自变量的取值范围，发现：当x= 时，在2≤x≤4之间，所以将x的值代入对应的函数即可求得y的值： 。故选B。

4. (2012山东东营3分)若 ，则 的值为【 】

A. B. C. D.

【答案】A。

【考点】同底数幂的除法，幂的乘方。

【分析】∵ ，∴ 。故选A。

5. (2012山东济南3分)下列各式计算正确的是【 】

A.3x-2x=1　　　　　B.a2+a2=a4　　　　　C.a5÷a5=a　　　　　D. a3•a2=a5

【答案】D。

【考点】合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法。

【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘除法法则，逐一检验：

A、3x-2x=x，本选项错误;

B、a2+a2=2a2，本选项错误;

C、a5÷a5=a5-5=a0=1，本选项错误;

D、a3•a2=a3+2=a5，本选项正确。

故选D。

6. (2012山东济南3分)化简5(2x-3)+4(3-2x)结果为【 】

A.2x-3 　　　　　　B.2x+9 　　　　　　C.8x-3 　　　　　　D.18x-3

【答案】A。

【考点】整式的加减法。

【分析】利用分配律相乘，然后去掉括号，进行合并同类项即可求和答案：

原式=10x-15+12-8x=2x-3。故选A。

7. (2012山东济宁3分)下列运算正确的是【 】

A.﹣2(3x﹣1)=﹣6x﹣1 B.﹣2(3x﹣1)=﹣6x+1

C.﹣2(3x﹣1)=﹣6x﹣2 D.﹣2(3x﹣1)=﹣6x+2

【答案】D。

【考点】去括号法则。

【分析】利用去括号法则，将各式去括号，从而判断即可得出答案：

A.∵﹣2(3x﹣1)=﹣6x+2，∴﹣2(3x﹣1)=﹣6x﹣1错误，故此选项错误;

B.∵﹣2(3x﹣1)=﹣6x+2，∴﹣2(3x﹣1)=﹣6x+1错误，故此选项错误;

C.∵﹣2(3x﹣1)=﹣6x+2，∴﹣2(3x﹣1)=﹣6x﹣2错误，故此选项错误;

D.﹣2(3x﹣1)=﹣6x+2，故此选项正确。故选D。

8. (2012山东济宁3分)下列式子变形是因式分解的是【 】

A.x2﹣5x+6=x(x﹣5)+6 B.x2﹣5x+6=(x﹣2)(x﹣3)

C.(x﹣2)(x﹣3)=x2﹣5x+6 D.x2﹣5x+6=(x+2)(x+3)

【答案】B。

【考点】因式分解的意义。

【分析】根据因式分解的定义：就是把整式变形成整式的积的形式，即可作出判断：

A、x2﹣5x+6=x(x﹣5)+6右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误;

B、x2﹣5x+6=(x﹣2)(x﹣3)是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确;

C、(x﹣2)(x﹣3)=x2﹣5x+6是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误;

D、x2﹣5x+6=(x﹣2)(x﹣3)，故本选项错误。故选B。

9. (2012山东聊城3分)下列计算正确的是【 】

A.x2+x3=x5　　B.x2•x3=x6　　C.(x2)3=x5　　D.x5÷x3=x2

【答案】D。

【考点】合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方。

【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变;同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加;幂的乘方法则：底数不变，指数相乘;同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，分别进行计算，即可选出答案：

A、x2与x3不是同类项，不能合并，故此选项错误;

B、x2•x3=x2+3=x5，故此选项错误;

C、(x2)3=x6，故此选项错误;

D、x5÷x3=x2，故此选项正确。

故选D。

10. (2012山东临沂3分)下列计算正确的是【 】

A. B. C. D.

【答案】D。

【考点】合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，同底数幂的除法。

【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法的运算法则和完全平方公式逐一分析判断：

A. ，所以A选项不正确;

B. ，所以B选项不正确;

C. ，所以C选项不正确;

D. ，所以D选项正确。

故选D。

11. (2012山东临沂3分)化简 的结果是【 】

A. B. C. D.

【答案】A。

【考点】分式的混合运算。

【分析】 。故选A。

12. (2012山东泰安3分)下列运算正确的是【 】

A. 　　B. 　　C. 　　D.

【答案】B。

【考点】二次根式的性质与化简，负整数指数幂，同底数幂的除法，幂的乘方。

【分析】根据二次根式的性质与化简，负整数指数幂，同底数幂的除法，幂的乘方运算法则逐一判断：

A、 ，所以A选项不正确;

B、 ，所以B选项正确;

C、 ，所以C选项不正确;

D、 ，所以D选项不正确。

故选B。

13. (2012山东威海3分)下列运算正确的是【 】

A. B. C. D.

【答案】C。

【考点】同底幂乘法，合并同类项，同底幂乘除法，幂的乘方和积的乘方。

【分析】根据同底幂乘法，合并同类项，同底幂乘除法，幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断：

A. ，选项错误; B. ，选项错误;

C. 选项正确; D. ，选项错误。故选C。

14. (2012山东威海3分)化简 的结果是【 】

A. B. C. D.

【答案】B。

【考点】分式运算法则，平方差公式。

【分析】通分后约分化简即可：

。故选B。

15. (2012山东潍坊3分)如果代数式 有意义，则x的取值范围是【 】.

A.x≠3 B.x<3 C.x>3 D.x≥3

【答案】C。

【考点】二次根式有意义的条件，分式有意义的条件。

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使 在实数范围内有意义，必须 。故选C。

16. (2012山东枣庄3分)下列运算，正确的是【 】

A. 　　B. C. 　　D.

【答案】A。

【考点】合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，去括号法则。

【分析】根据合并同类项，幂的乘方和积的乘方运算法则，完全平方公式，去括号法则逐一判断：

A. ，选项正确;B. ，选项错误;

C. ，选项错误;D. 选项错误。故选A。

二、填空题

1. (2012山东滨州4分)根据你学习的数学知识，写出一个运算结果为a6的算式 ▲ .

【答案】a4a2=a6(答案不唯一)。

【考点】幂的运算。

【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数乘法，同底数幂的除法的运算法则写出一个即可：

如a4a2=a6(答案不唯一)。

2. (2012山东德州4分)化简：6a6÷3a3=　 ▲ 　.

【答案】2a3。

【考点】整式的除法。

【分析】单项式除以单项式就是将系数除以系数作为结果的系数，相同字母除以相同字母作为结果的一个因式即可：6a6÷3a3=(6÷3)(a6÷a3)=2a3。

3. (2012山东东营4分)分解因式：x3-9x = 　▲ .

【答案】x(x+3)(x-3)。

【考点】提公因式法与公式法因式分解。

【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解：x3-9x=x(x2-9)=x(x+3)(x-3)。

4. (2012山东济南3分)分解因式：a2-1= ▲ .

【答案】(a+1)(a-1)。

【考点】运用公式法因式分解。

【分析】符合平方差公式的特征，直接应用平方差公式即可：a2-1=(a+1)(a-1)。

5. (2012山东济宁3分)某种苹果的售价是每千克x元，用面值为100元的人民币购买了5千克，应找回　 ▲ 　元.

【答案】(100﹣5x)。

【考点】列代数式。

【分析】根据题意，5千克苹果售价为5x元，所以应找回 (100﹣5x)元。

6. (2012山东聊城3分)计算： =　 ▲ 　.

【答案】 。

【考点】分式的混合运算。

【分析】将式子括号内部分通分，然后根据分式除法的运算法则，将其转化为乘法，再将分母中的式子因式分解，即可得到结果：

。

7. (2012山东临沂3分)分解因式： = ▲ .

【答案】 。

【考点】提公因式法与公式法因式分解。

【分析】 。

8. (2012山东临沂3分)读一读：式子“1+2+3+4+•••+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为 ，这里“∑”是求和符号通过对以上材料的阅读，计算 = ▲ .

【答案】 。

【考点】分类归纳(数字的变化类)，分式的加减法。

【分析】∵ ，

∴ 。

9. (2012山东泰安3分)分解因式： = ▲ .

【答案】 。

【考点】提公因式法和公式法因式分解。

【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解：

。

10. (2012山东泰安3分)化简： = ▲ .

【答案】 。

【考点】分式的混合运算，平方差公式。

【分析】应用分配律即可：

原式= 。

或先通分计算括号里的，再算括号外的也可。

13. (2012山东枣庄4分)化简 的结果是　　▲　　.

【答案】m。

【考点】分式的混合运算。

【分析】把(m+1)与括号里的每一项分别进行相乘，再把所得结果相加即可求出答案：

。

三.解答题

1. (2012山东德州6分)已知： ，求 的值.

【答案】解：原式= 。

当 时，原式= 。

【考点】分式的化简求值。

【分析】将原式的分子利用完全平方公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果，将x与y的值代入，化简后即可得到原式的值。

2. (2012山东东营4分)先化简，再求代数式 的值，其中x是不等式组 的整数解.

【答案】解：原式= 。

解不等式组 得2

∵x是整数，∴x=3。

当x=3时，原式= 。

【考点】分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解。

【分析】先将括号内通分，再根据分式的除法进行化简，然后求出不等式组的整数解代入求值。

3. (2012山东菏泽6分)先化简，再求代数式的值. ，其中

【答案】解：原式 。

当 时， 原式 。

【考点】分式的化简求值，特殊角的三角函数值。

【分析】先把括号内的通分计算，再把除法转换为乘法计算化简，最后代值计算。

4. (2012山东济南4分)化简： .

【答案】解：原式 。

【考点】分式的乘除法。

【分析】将 的分子和分母因式分解，再将除法转化为乘法进行解答。

5. (2012山东莱芜6分)先化简，再求值：1- 1 a-2 ÷ a-2 a2-4 ，其中a=-3.

【答案】解：原式= 。

当a=-3时，原式=-3+2=-1。

【考点】分式运算法则。

【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简。然后代a的值求值。 

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