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 2013年中考数学三角形试题解析

一、选择题

1. (2012广东广州3分)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是【 】

A. 　　B. 　　C. 　　D.

2. (2012广东深圳3分)小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上;如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米.已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为【 】

A. 米 B.12米 C. 米 D.10米

【答案】A。

【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。

【分析】延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°。

作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，

∴CE=2，EF=4cos30°=2 ，

在Rt△CED中，CE=2，

∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4。

∴BD=BF+EF+ED=12+2 。

∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，

∴在Rt△ABD中，AB= BD= 。故选A。

3. (2012广东深圳3分)如图，已知：∠MON=30o，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…..在射线OM上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7 的边长为【 】

A.6 B.12 C.32 D.64

【答案】C。

【考点】分类归纳(图形的变化类)，等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。

【分析】如图，∵△A1B1A2是等边三角形，

∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°。∴∠2=120°。

∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°。

又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°。

∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1。∴A2B1=1。

∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°。

∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3。

∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°。∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3。

∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16。

以此类推：A6B6=32B1A2=32，即△A6B6A7 的边长为32。故选C。

4. (2012广东肇庆3分)等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为【 】

A.16 B.18 C.20 D.16或20

【答案】C。

【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。

【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析：

①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在;

②当8为腰时，8-4<8<8+4，符合题意。

∴此三角形的周长=8+8+4=20。故选C。

二、填空题

三、解答题

1. (2012广东省7分)如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα= ，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB(结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50).

【答案】解：∵在RtABC中， ，∴ 。

∵在RtADB中， ，∴BD=2AB。

∵BD﹣BC=CD=200，∴2AB﹣ =200，解得：AB=300。

答：小山岗的高度为300米。

【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角和坡度坡角问题)

【分析】在RtABC中根据坡角的正切值用AB表示出BC，在RtDBA中用AB表示出BD，根据BD与BC之间的关系列出方程求解即可。

2. (2012广东佛山6分)如图，已知AB=DC，DB=AC

(1)求证：∠ABD=∠DCA，注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据.

(2)在(1)的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么?

【答案】证明：(1)连接AD，

在△BAD和△CDA中，

∵ AB=CD (已知)，DB=AC(已知)， AD=AD(公共边)，

∴△BAD≌△CDA(SSS)。

∴∠ABD=∠DCA(全等三角形对应角相等)。

(2)作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】(1)连接AD，证明三角形BAD和三角形CAD全等即可得到结论;

(2)作辅助线的意图是构造全等的三角形。

3. (2012广东广州9分)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证：BE=CD.

【答案】证明：∵在△ABE和△ACD中，∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C.

∴△ABE≌△ACD(ASA)。∴BE=CD。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】由已知和∠A=∠A，根据ASA证△ABE≌△ACD，根据全等三角形的性质即可求出答案。

4. (2012广东汕头7分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°.

(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法);

(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数.

【答案】解：(1)作图如下：

(2)∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°，

∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°。

∵AD是∠ABC的平分线，∴∠ABD= ∠ABC= ×72°=36°。

∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°。

5. (2012广东汕头9分)如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα= ，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB(结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50).

【答案】解：∵在RtABC中， ，∴ 。

∵在RtADB中， ，∴BD=2AB。

∵BD﹣BC=CD=200，∴2AB﹣ =200，解得：AB=300。

答：小山岗的高度为300米。

【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角和坡度坡角问题)

【分析】在RtABC中根据坡角的正切值用AB表示出BC，在RtDBA中用AB表示出BD，根据BD与BC之间的关系列出方程求解即可。

6. (2012广东湛江8分)某兴趣小组用仪器测测量湛江海湾大桥主塔的高度.如图，在距主塔从AE60米的D处.用仪器测得主塔顶部A的仰角为68°，已知测量仪器的高CD=1.3米，求主塔AE的高度(结果精确到0.1米)(参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48)

【答案】解：根据题意得：在Rt△ABC中，AB=BC•tan68°≈60×2.48=148.8(米)，

∵CD=1.3米，∴BE=1.3米。∴AE=AB+BE=148.8+1.3=150.1(米)。

∴主塔AE的高度为150.1米。

【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)，锐角三角函数定义，矩形的性质。

【分析】由题意即可得：在Rt△ABC中，AB=BC•tan68°，根据矩形的性质，得BE=CD=1.3米，即可求得主塔AE的高度。

7. (2012广东肇庆7分)如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD.

求证：(1)BC=AD;

(2)△OAB是等腰三角形.

【答案】证明：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴△ABC与△BAD是直角三角形，

在△ABC和△BAD中，∵ AC=BD ，AB=BA，∠ACB=∠BDA =900，

∴△ABC≌△BAD(HL)。∴BC=AD。 (2)∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB。

∴△OAB是等腰三角形。

【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。

【分析】(1)根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再由AC=BD，AB=BA，根据HL得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD。

(2)根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形。

8. (2012广东珠海7分)如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO(不计粗细)上有两个木瓜A、B(不计大小)，树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°.求C处到树干DO的距离CO.(结果精确到1米)(参考数据： ，

)

【答案】解：设OC=x，

在Rt△AOC中，∵∠ACO=45°，∴OA=OC=x。

在Rt△BOC中，∵∠BCO=30°，∴ 。

∵AB=OA﹣OB= ，解得 。

∴OC=5米。

答：C处到树干DO的距离CO为5米。

【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】设OC=x，在Rt△AOC中，由于∠ACO=45°，故OA=x，在Rt△BOC中，由于∠BCO=30°，故 ，再根据AB=OA-OB=2即可得出结论。

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