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 2013年中考数学题分类解析

一、选择题

1. (2012广东深圳3分)如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内 上一点，∠BM0=120o，则⊙C的半径长为【 】

A.6 B.5 C.3 D。

【答案】C。

【考点】坐标与图形性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，含30度角的直角三角形的性质。

【分析】∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°，∴∠BAO=60°。

∵AB是⊙O的直径，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°，

∵点A的坐标为(0，3)，∴OA=3。∴AB=2OA=6，∴⊙C的半径长= =3。故选C。

2. (2012广东湛江4分)一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为【 】

A.6cm B.12cm C.2 cm D. cm

【答案】A。

【考点】扇形的弧长公式。

【分析】因为扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2π，

所以根据弧长公式 ，得 ，解得 。故选A。

3. (2012广东珠海3分)如果一个扇形的半径是1，弧长是 ，那么此扇形的圆心角的大小为【 】

A. 30° B. 45° C .60° D.90°

【答案】C。

【考点】弧长的计算。

【分析】根据弧长公式 ，即可求解

设圆心角是n度，根据题意得 ，解得：n=60。故选C。

二、填空题

1.(2012广东省4分)如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=25°，则∠AOC的度数是　 ▲ 　.

【答案】50°。

【考点】圆周角定理。

【分析】∵圆心角∠AOC与圆周角∠ABC都对弧 ，

∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠AOC=2∠ABC，

又∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°。

2. (2012广东汕头4分)如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=25°，则∠AOC的度数是　 ▲ 　.

【答案】50°。

【考点】圆周角定理。

【分析】∵圆心角∠AOC与圆周角∠ABC都对弧 ，

∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠AOC=2∠ABC，

又∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°。

3. (2012广东汕头4分)如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 ▲ 　(结果保留π).

【答案】 。

【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算

【分析】过D点作DF⊥AB于点F。

∵AD=2，AB=4，∠A=30°，

∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=2。

∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积-扇形ADE面积-三角形CBE的面积

= 。

4. (2012广东湛江4分)如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于点B，交⊙O于点C，AB=24，则CD的长是　 ▲ .

【答案】8。

【考点】垂径定理，勾股定理。

【分析】连接OA，

∵OC⊥AB，AB=24，∴AD= AB=12，

在Rt△AOD中，∵OA=13，AD=12，

∴ 。

∴CD=OC﹣OD=13﹣5=8。

5. (2012广东肇庆3分)扇形的半径是9 cm ，弧长是3cm，则此扇形的圆心角为 ▲ 度.

【答案】60。

【考点】弧长的计算。

【分析】由已知，直接利用弧长公式 列式求出n的值即可：

由 解得：n=60。

6. (2012广东珠海4分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=26，CD=24，那么sin∠OCE=　 ▲ .

【答案】 。

【考点】垂径定理，勾股定理，锐角三角函数的定义。

【分析】如图，设AB与CD相交于点E，则根据直径AB=26，得出半径OC=13;由CD=24，CD⊥AB，根据垂径定理得出CE=12;在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OE=5;再根据正弦函数的定义，求出sin∠OCE的度数：

。

三、解答题

1. (2012广东佛山8分)如图，直尺、三角尺都和圆O相切，AB=8cm .求圆O的直径.

【答案】解：设三角尺和⊙O相切于点E，连接OE、OA、OB，

∵AC、AB都是⊙O的切线，切点分别是E、B，

∴∠OBA=90°，∠OAE=∠OAB= ∠BAC。

∵∠CAD=60°，∴∠BAC=120°。

∴∠OAB= ×120°=60°。∴∠BOA=30°。

∴OA=2AB=16。

由勾股定理得： ，即⊙O的半径是 cm。

∴⊙O的直径是 cm。

【考点】切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线长定理。

【分析】连接OE、OA、OB，根据切线长定理和切线性质求出∠OBA=90°，∠OAE=∠OAB= ∠BAC，求出∠BAC，求出∠OAB和∠BOA，求出OA，根据勾股定理求出OB即可。

2. (2012广东佛山11分)(1)按语句作图并回答：作线段AC(AC=4)，以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆(a<4，b<4，圆A与圆C交于B、D两点)，连接AB、BC、CD、DA.

若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件?

(2)若a=2，b=3，求四边形ABCD的面积.

【答案】解：(1)作图如下：

能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足的条件是a+b>4。

(2)连接BD，交AC于E，

∵⊙A与⊙C交于B、D，∴AC⊥DB，BE=DE。

设CE=x，则AE=4-x，

∵BC= b=3，AB= a=2，

∴由勾股定理得：

解得： 。

∴ 。

∴四边形ABCD的面积是 。

答：四边形ABCD的面积是 。

【考点】作图(复杂作图)，相交两圆的性质，勾股定理。

【分析】(1)根据题意画出图形，只有两圆相交，才能得出四边形，即可得出答案;

(2)连接BD，根据相交两圆的性质得出DB⊥AC，BE=DE，设CE= x，则AE=4-x，根据勾股定理得出关于x的方程，求出x，根据三角形的面积公式求出即可。

3. (2012广东广州12分)如图，⊙P的圆心为P(﹣3，2)，半径为3，直线MN过点M(5，0)且平行于y轴，点N在点M的上方.

(1)在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′.根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系.

(2)若点N在(1)中的⊙P′上，求PN的长.

【答案】解：(1)如图所示，⊙P′即为所求作的圆。

⊙P′与直线MN相交。

(2)设直线PP′与MN相交于点A，

则由⊙P的圆心为P(﹣3，2)，半径为3，直线MN过点M(5，0)且平行于y轴，点N在⊙P′上，得

P′N=3，AP′=2，PA=8。

∴在Rt△AP′N中，

。

在Rt△APN中， 。

【考点】网格问题，作图(轴对称变换)，直线与圆的位置关系，勾股定理。

【分析】(1)根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等找出点P′的位置，然后以3为半径画圆即可。再根据直线与圆的位置关系解答。

(2)设直线PP′与MN相交于点A，在Rt△AP′N中，利用勾股定理求出AN的长度，在Rt△APN中，利用勾股定理列式计算即可求出PN的长度。

4. (2012广东梅州8分)如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E.

(1)求证：△ADE∽△BCE;

(2)如果AD2=AE•AC，求证：CD=CB.

【答案】证明：(1)∵∠A与∠B都是弧 所对的圆周角， ∴∠A=∠B，

又∵∠AED =∠BEC，∴△ADE∽△BCE。

(2)∵AD2=AE•AC，∴ 。

又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD。∴∠AED=∠ADC。

又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°。∴∠AED=90°。

∴直径AC⊥BD，∴CD=CB。

【考点】圆周角定理，对顶角的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线上点的性质。

【分析】(1)由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠B，又由对顶角相等，可证得：△ADE∽△BCE。

(2)由AD2=AE•AC，可得 ，又由∠A是公共角，可证得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直径，可求得AC⊥BD，由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质可证得CD=CB。

5. (2012广东湛江10分)如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.

(1)求证：AD平分∠BAC;

(2)若BE=2，BD=4，求⊙O的半径.

【答案】(1)证明：连接OD，

∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC。

又∵AC⊥BC，∴OD∥AC。∴∠2=∠3。

∵OA=OD，∴∠1=∠3。∴∠1=∠2。

∴AD平分∠BAC。

(2)解：∵BC与圆相切于点D，∴BD2=BE•BA。

∵BE=2，BD=4，∴BA=8。

∴AE=AB﹣BE=6。∴⊙O的半径为3。

【考点】切线的性质，平行的性质，切割线定理。

【分析】(1)先连接OD，杂而OD⊥BC和AC⊥BC，再由其平行从而得证;

(2)利用切割线定理可先求出AB，进而求出圆的直径，半径则可求出。

【没有学习切割线定理的可连接DE，证△ABD∽△DBE，得AB：BD=BD：BE求得AB=8，•••】

6. (2012广东肇庆10分)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P. 求证：

(1)D是BC的中点;

(2)△BEC ∽△ADC;

(3)AB CE=2DPAD.

【答案】证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。

∵AB=AC，∴D是BC的中点。 (2)∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°，即∠CEB=∠CDA=90°，

∵∠C是公共角，∴△BEC∽△ADC。

(3)∵△BEC∽△ADC，∴∠CBE=∠CAD。

∵AB=AC，AD=CD，∴∠BAD=∠CAD。∴∠BAD=∠CBE。

∵∠ADB=∠BEC=90°，∴△ABD∽△BCE。

∴ 。∴ 。

∵BC=2BD，∴ ，即 。

∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，∴△BPD∽△BCE。∴ 。

∴ ，即AB•CE=2DP•AD。

【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由AB是⊙O的直径，可得AD⊥BC，又由AB=AC，由三线合一，即可证得D是BC的中点。

(2)由AB是⊙O的直径，∠AEB=∠ADB=90°，又由∠C是公共角，即可证得△BEC∽△ADC。

(3)易证得△ABD∽△BCE与△BPD∽△BCE，根据相似三角形的对应边成比例与BC=2BD，即可证得AB•CE=2DP•AD。

7. (2012广东珠海9分) 已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上(不含点A、B)，把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上.

(1)当P、C都在AB上方时(如图1)，判断PO与BC的位置关系(只回答结果);

(2)当P在AB上方而C在AB下方时(如图2)，(1)中结论还成立吗?证明你的结论;

(3)当P、C都在AB上方时(如图3)，过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD.

【答案】解：(1)PO与BC的位置关系是PO∥BC。

(2)(1)中的结论PO∥BC成立。理由为：

由折叠可知：△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO。

又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。∴∠A=∠CPO。

又∵∠A与∠PCB都为 所对的圆周角，∴∠A=∠PCB。∴∠CPO=∠PCB。

∴PO∥BC。

(3)证明：∵CD为圆O的切线，∴OC⊥CD。

又∵AD⊥CD，∴OC∥AD。∴∠APO=∠COP。

由折叠可得：∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP。

又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。∴∠A=∠APO=∠AOP。∴△APO为等边三角形。

∴∠AOP=60°。

又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°。

又∵OC=OB，∴△BC为等边三角形。∴∠COB=60°。

∴∠POC=180°﹣(∠AOP+∠COB)=60°。

又∵OP=OC，∴△POC也为等边三角形。∴∠PCO=60°，PC=OP=OC。

又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°。

在Rt△PCD中，PD= PC，

又∵PC=OP= AB，∴PD= AB，即AB=4PD。 

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