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 2013年中考数学押轴题分类解析

一、选择题

1.(2012广东省3分)已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是【 】

A. 5 B. 6 C. 11 D. 16

【答案】C。

【考点】三角形三边关系。

【分析】设此三角形第三边的长为x，则根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，得10﹣4

2. (2012广东佛山3分)如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转900到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】

A.π B. C. D.

【答案】D。

【考点】旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，扇形面积。

【分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA1、 BCD和△ACD 计算即可：

在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，

∴BC= AB=1，∠B=90°-∠BAC=60°。∴ 。

∴ 。

设点B扫过的路线与AB的交点为D，连接CD，

∵BC=DC，∴△BCD是等边三角形。∴BD=CD=1。

∴点D是AB的中点。

∴ S。

∴

故选D。

3. (2012广东广州3分)如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数 的图象交于A(﹣1，2)、B(1，﹣2)两点，若y1

A.x<﹣1或x>1　B.x<﹣1或0

【答案】D。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。

【分析】根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围：

由图象可得，﹣1

4. (2012广东梅州3分)在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线 的交点的个数为【 】

A.0个　　B.1个　　C.2个　　D.不能确定

【答案】C。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。

【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质作答：

∵直线y=x+1的图象经过一、二、三象限，双曲线 的图象经过一、三象限，

∴直线y=x+1与双曲线 有两个交点。故选C。

5. (2012广东汕头4分)如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′.若∠A=40°.∠B′=110°，则∠BCA′的度数是【 】

A.110° B.80° C.40° D.30°

【答案】B。

【考点】旋转的性质，三角形内角和定理。

【分析】根据旋转的性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，

∵∠A=40°，∴∠A′=40°。

∵∠B′=110°，∴∠A′CB′=180°﹣110°﹣40°=30°。∴∠ACB=30°。

∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，∴∠ACA′=50°，

∴∠BCA′=30°+50°=80°，故选B。

6. (2012广东深圳3分)如图，已知：∠MON=30o，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…..在射线OM上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7 的边长为【 】

A.6 B.12 C.32 D.64

【答案】C。

【考点】分类归纳(图形的变化类)，等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。

【分析】如图，∵△A1B1A2是等边三角形，

∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°。∴∠2=120°。

∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°。

又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°。

∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1。∴A2B1=1。

∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°。

∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3。

∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°。∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3。

∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16。

以此类推：A6B6=32B1A2=32，即△A6B6A7 的边长为32。故选C。

7. (2012广东湛江4分)已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是【 】

A. B. C. D.

【答案】B。

【考点】反比例函数的性质和图象。

【分析】∵根据题意，得xy=20，∴ 。故选B。

8. (2012广东肇庆3分)某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2：3：5，如图所示的扇形图表示上述分布情况.已知来自甲地区的为180人，则下列说法不正确的是【 】

A.扇形甲的圆心角是72°

B.学生的总人数是900人

C.丙地区的人数比乙地区的人数多180人

D.甲地区的人数比丙地区的人数少180人

【答案】D。

【考点】扇形统计图，扇形圆心角的求法，频数、频率和总量的关系。

【分析】A.根据甲区的人数是总人数的 ，则扇形甲的圆心角是： ×360°=72°，故此选项正确，不符合题意;

B.学生的总人数是：180÷ =900人，故此选项正确，不符合题意;

C.丙地区的人数为：900× =450，，乙地区的人数为：900× =270，则丙地区的人数比乙地区的人数多450-270=180人，故此选项正确，不符合题意;

D.甲地区的人数比丙地区的人数少270-180=90人，故此选项错误，符合题意。

故选D。

9. (2012广东珠海3分)如果一个扇形的半径是1，弧长是 ，那么此扇形的圆心角的大小为【 】

A. 30° B. 45° C .60° D.90°

【答案】C。

【考点】弧长的计算。

【分析】根据弧长公式 ，即可求解

设圆心角是n度，根据题意得 ，解得：n=60。故选C。

二、填空题

1. (2012广东省4分)如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 ▲ 　(结果保留π).

【答案】 。

【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算

【分析】过D点作DF⊥AB于点F。

∵AD=2，AB=4，∠A=30°，

∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=2。

∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积-扇形ADE面积-三角形CBE的面积

= 。

2. (2012广东佛山3分)如图，边长为 的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 ▲

【答案】2m+4。

【考点】图形的变换，一元一次方程的应用(几何问题)。

【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解：

设拼成的矩形的另一边长为x，

则4x=(m+4)2-m2=(m+4+m)(m+4-m)=8m+16，解得x=2m+4。

3. (2012广东广州3分)如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，

以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆;

以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆;

以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆;

以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，

…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的　 ▲ 　倍，第n个半圆的面积为

▲ 　(结果保留π)

【答案】4; 。

【考点】分类归纳(图形的变化类)，半圆的面积，负整数指数幂，幂的乘方，同底幂乘法。

【分析】由已知，第3个半圆面积为： ，第4个半圆的面积为： ，

∴第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 =4倍。

由已知，第1个半圆的半径为 ，第2个半圆的半径为 ，第3个半圆的半径为 ，

••••••第n个半圆的半径为 。

∴第n个半圆的面积是 。

4. (2012广东梅州3分)如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动.①第一次到达G点时移动了　 ▲ cm;②当微型机器人移动了2012cm时，它停在　 ▲ 点.

【答案】7;E。

【考点】分类归纳(图形的变化类)。

【分析】①由图可知，从A开始，第一次移动到G点，共经过AB、BC、CD、DE、EF、FC、CG七条边，所以共移动了7cm;

②∵机器人移动一圈是8cm，而2012÷8=251…4，

∴移动2012cm，是第251圈后再走4cm正好到达E点。

5. (2012广东汕头4分)如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 ▲ 　(结果保留π).

【答案】 。

【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算

【分析】过D点作DF⊥AB于点F。

∵AD=2，AB=4，∠A=30°，

∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=2。

∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积-扇形ADE面积-三角形CBE的面积

= 。

6. (2012广东深圳3分)如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5，OC=6 ，则另一直角边BC的长为 ▲ .

【答案】7。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】如图，过O作OF垂直于BC，再过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，

∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB。

∴∠AOM+∠BOF=90°。

又∵∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°。∴∠BOF=∠OAM。

在△AOM和△BOF中，

∵∠AMO=∠OFB=90°，∠OAM=∠BOF， OA=OB，

∴△AOM≌△BOF(AAS)。∴AM=OF，OM=FB。

又∵∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形。∴AM=CF，AC=MF=5。

∴OF=CF。∴△OCF为等腰直角三角形。

∵OC=6 ，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，即2CF2=(6 )2，解得：CF=OF=6。

∴FB=OM=OF-FM=6-5=1。∴BC=CF+BF=6+1=7。

7. (2012广东湛江4分)如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去….若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则an=　 ▲ .

【答案】 。

【考点】分类归纳(图形的变化类)，正方形的性质，勾股定理，同底幂乘法。

【分析】分析规律：

∵a2=AC，且在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， ∴ 。

同理

∴ 。

8. (2012广东肇庆3分)观察下列一组数： ， ， ， ， ，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是 ▲ .

【答案】 。

【考点】分类归纳(数字的变化类)。

【分析】根据已知得出数字分母与分子的变化规律：

分子是连续的偶数，分母是连续的奇数，

∴第k个数分子是2k，分母是2k+1。∴这一组数的第k个数是 。

9. (2012广东珠海4分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=26，CD=24，那么sin∠OCE=　 ▲ .

【答案】 。

【考点】垂径定理，勾股定理，锐角三角函数的定义。

【分析】如图，设AB与CD相交于点E，则根据直径AB=26，得出半径OC=13;由CD=24，CD⊥AB，根据垂径定理得出CE=12;在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OE=5;再根据正弦函数的定义，求出sin∠OCE的度数：

。

三、解答题

1. (2012广东省9分)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8.把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G;E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合.

(1)求证：△ABG≌△C′DG;

(2)求tan∠ABG的值;

(3)求EF的长.

【考点】翻折变换(折叠问题)，翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，三角形中位线定理。

【分析】(1)根据翻折变换的性质可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出结论。

(2)由(1)可知GD=GB，故AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8-x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长，从而得出tan∠ABG的值。

(3)由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD= AD=4，再根据tan∠ABG的值即可得出EH的长，同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结果。

2. (2012广东省9分)如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC.

(1)求AB和OC的长;

(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合)，过点E作直线l平行BC，交AC于点D.设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围;

(3)在(2)的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值;此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积(结果保留π).

【答案】解：(1)在 中，

令x=0，得y=-9，∴C(0，﹣9);

令y=0，即 ，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A(﹣3，0)、B(6，0)。

∴AB=9，OC=9。

(2)∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴ ，即： 。

∴s= m2(0

(3)∵S△AEC= AE•OC= m，S△AED=s= m2，

∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED

=﹣ m2+ m=﹣ (m﹣ )2+ 。

∴△CDE的最大面积为 ，

此时，AE=m= ，BE=AB﹣AE= 。

又 ，

过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得： ，即： 。

∴ 。

∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2= 。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。

【分析】(1)已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标;当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。

(2)直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式;根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。

(3)①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。

②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。

3. (2012广东佛山10分)规律是数学研究的重要内容之一.

初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面.

请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：

(1)写出奇数a用整数n表示的式子;

(2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子;

(3)函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律).

下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：

xi 0 1 2 3 4 5 ...

yi 0 1 4 9 16 25 ...

yi+1-yi 1 3 5 7 9 11 ...

由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5...

请回答：

当x的取值从0开始每增加 个单位时，y的值变化规律是什么?

当x的取值从0开始每增加 个单位时，y的值变化规律是什么?

【答案】解：(1)n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1。 (2)有理数b= (n≠0)。

(3)①当x的取值从0开始每增加 个单位时，列表如下：

xi 0

1

2

...

yi 0

1

4

...

yi+1-yi

...

故当x的取值从0开始每增加 个单位时，y的值依次增加 、 、 … 。

②当x的取值从0开始每增加 个单位时，列表如下：

xi 0

...

yi 0

...

yi+1-yi

...

故当x的取值从0开始每增加 个单位时，y的值依次增加 、 、 … 。

【考点】分类归纳(数字的变化类)，二次函数的性质，实数。

【分析】(1)n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n+1。

(2)根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此可以得到答案。

(3)根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律。

4. (2012广东佛山11分)(1)按语句作图并回答：作线段AC(AC=4)，以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆(a<4，b<4，圆A与圆C交于B、D两点)，连接AB、BC、CD、DA.

若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件?

(2)若a=2，b=3，求四边形ABCD的面积.

【答案】解：(1)作图如下：

能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足的条件是a+b>4。

(2)连接BD，交AC于E，

∵⊙A与⊙C交于B、D，∴AC⊥DB，BE=DE。

设CE=x，则AE=4-x，

∵BC= b=3，AB= a=2，

∴由勾股定理得：

解得： 。

∴ 。

∴四边形ABCD的面积是 。

答：四边形ABCD的面积是 。

【考点】作图(复杂作图)，相交两圆的性质，勾股定理。

【分析】(1)根据题意画出图形，只有两圆相交，才能得出四边形，即可得出答案;

(2)连接BD，根据相交两圆的性质得出DB⊥AC，BE=DE，设CE= x，则AE=4-x，根据勾股定理得出关于x的方程，求出x，根据三角形的面积公式求出即可。

5. (2012广东广州14分)如图，抛物线 与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.

(1)求点A、B的坐标;

(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标;

(3)若直线l过点E(4，0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式.

【答案】解：(1)在 中，令y=0，即 ，解得x1=﹣4，x2=2。

∵点A在点B的左侧，∴A、B点的坐标为A(﹣4，0)、B(2，0)。

(2)由 得，对称轴为x=﹣1。

在 中，令x=0，得y=3。

∴OC=3，AB=6， 。

在Rt△AOC中， 。

设△ACD中AC边上的高为h，则有 AC•h=9，解得h= 。

如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h= ，这样的直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。

设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h= ，

∴ 。

设直线AC的解析式为y=kx+b，

将A(﹣4，0)，B(0，3)坐标代入，得

，解得 。来源:21

∴直线AC解析式为 。来源:21世纪教育网]

直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位( 个长度单位)而形成的，

∴直线L1的解析式为 。

则D1的纵坐标为 。∴D1(﹣4， )。

同理，直线AC向上平移 个长度单位得到L2，可求得D2(﹣1， )。

综上所述，D点坐标为：D1(﹣4， )，D2(﹣1， )。

(3)如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F.过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条.

连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。

∵A(﹣4，0)，B(2，0)，∴F(﹣1，0)，⊙F半径FM=FB=3。

又FE=5，则在Rt△MEF中，-

ME= ，sin∠MFE= ，cos∠MFE= 。

在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3× ，

FN=MN•cos∠MFE=3× 。

则ON= 。∴M点坐标为( ， )。

直线l过M( ， )，E(4，0)，

设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有 ，解得 。

∴直线l的解析式为y= x+3。

同理，可以求得另一条切线的解析式为y= x﹣3。

综上所述，直线l的解析式为y= x+3或y= x﹣3。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。

【分析】(1)A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解。

(2)根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h.在坐标平面内，作AC的平行线，平行线之间的距离等于h.根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点.从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成.因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标。这样的平行线有两条。

(3)本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义.因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形;第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形.从而问题得解。这样的切线有两条。

6. (2012广东广州14分)如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α(60°≤α<90°).

(1)当α=60°时，求CE的长;

(2)当60°<α<90°时，

①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF?若存在，求出k的值;若不存在，请说明理由.

②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值.

【答案】解：(1)∵α=60°，BC=10，∴sinα= ，即sin60°= ，解得CE= 。

(2)①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF。理由如下：

连接CF并延长交BA的延长线于点G，

∵F为AD的中点，∴AF=FD。

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。

在△AFG和△CFD中，

∵∠G=∠DCF， ∠G=∠DCF，AF=FD，

∴△AFG≌△CFD(AAS)。∴CF=GF，AG=CD。

∵CE⊥AB，∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。

∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，∴AG=5，AF= AD= BC=5。∴AG=AF。

∴∠AFG=∠G。

在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，

又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF。

∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，

因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF。

②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x，

在Rt△BCE中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2。

在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=(10﹣x)2+100﹣x2=200﹣20x。

∵CF=GF(①中已证)，∴CF2=( CG)2= CG2= (200﹣20x)=50﹣5x。

∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣(x﹣ )2+50+ 。

∴当x= ，即点E是AB的中点时，CE2﹣CF2取最大值。

此时，EG=10﹣x=10﹣ ，CE= ，

∴ 。

【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的性质，对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理。

【分析】(1)利用60°角的正弦值列式计算即可得解。

(2)①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，从而得解。

②设BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答。

7. (2012广东梅州10分)(1)已知一元二次方程x2+px+q=0(p2﹣4q≥0)的两根为x1、x2;求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q.

(2)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点(﹣1，﹣1)，设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值.

【答案】(1)证明：∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q≥0，

∴ 。

(2)解：把(﹣1，﹣1)代入y=x2+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。

设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为(x1，0)、(x2，0)。

∵d=|x1﹣x2|，

∴d2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4 x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=(p﹣2)2+4。

∴当p=2时，d 2的最小值是4。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。

【分析】(1)根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。

【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】

(2)把点(﹣1，﹣1)代入抛物线的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。

8. (2012广东梅州11分)如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，2 )、D(0，3 )，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°.

(1)①点B的坐标是　　;②∠CAO=　 　度;③当点Q与点A重合时，点P的坐标为　 　;(直接写出答案)

(2)设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形?若存在，请直接写出点P的横坐标为m;若不存在，请说明理由.

(3)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围.

【答案】解：(1)①(6，2 )。 ②30。③(3，3 )。

(2)存在。m=0或m=3﹣ 或m=2。

(3)当0≤x≤3时，

如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x;

由题意可知直线l∥BC∥OA，

可得 ，∴EF= (3+x)，

此时重叠部分是梯形，其面积为：

当3

当5

当x>9时，如图4，

。

综上所述，S与x的函数关系式为：

。

【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。

【分析】(1)①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：

∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，

∵A(6，0)、C(0，2 )，∴点B的坐标为：(6，2 )。

②由正切函数，即可求得∠CAO的度数：

∵ ，∴∠CAO=30°。

③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标;如图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，

∵∠PQO=60°，D(0，3 )，∴PE=3 。

∴ 。

∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为(3，3 )。

(2)分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案：

情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°，

∴∠MNO=60°。

∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合。

∴点P与D重合。∴此时m=0。

情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。

MJ=MQ•sin60°=AQ•sin600

又 ，

∴ ，解得：m=3﹣ 。

情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，

过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G，

∴MG= 。

∴ 。

∴KG=3﹣0.5=2.5，AG= AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。

综上所述，点P的横坐标为m=0或m=3﹣ 或m=2。

(3)分别从当0≤x≤3时，当3

9. (2012广东汕头12分)有三张正面分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片北背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y的值，两次结果记为(x，y).

(1)用树状图或列表法表示(x，y)所有可能出现的结果;

(2)求使分式 有意义的(x，y)出现的概率;

(3)化简分式 ，并求使分式的值为整数的(x，y)出现的概率.

【答案】解：(1)用列表法表示(x，y)所有可能出现的结果如下：

-2 -1 1

-2 (-2，-2) (-1，-2) (1，-2)

-1 (-2，-1) (-1，-1) (1，-1)

1 (-2，1) (-1，1) (1，1)

(2)∵(x，y)所有可能出现的结果共有9种情况，使分式 有意义的(x，y)有(﹣1，﹣2)、(1，﹣2)、(﹣2，﹣1)、(﹣2， 1)4种情况，

∴使分式 有意义的(x，y)出现的概率是 。

(3) 。

∵在使分式 有意义的4种情况中，值为整数的(x，y)有(1，﹣2)、

(﹣2， 1)2种情况，

∴使 分式的值为整数的(x，y)出现的概率是 。

【考点】列表法或树状图法，概率分式有意义的条件，分式的化简求值。

【分析】(1)根据题意列出表或画树状图，即可表示(x，y)所有可能出现的结果。

(2)根据(1)中的表或树状图中找出使分式 有意义的情况，再除以所有情况数即可。

(3)先化简，再在使分式 有意义的4种情况中，找出使分式的值为整数的

(x，y)的情况，再除以所有情况数即可。

10. (2012广东汕头12分)如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC.

(1)求AB和OC的长;

(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合)，过点E作直线l平行BC，交AC于点D.设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围;

(3)在(2)的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值;此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积(结果保留π).

【答案】解：(1)在 中，

令x=0，得y=-9，∴C(0，﹣9);

令y=0，即 ，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A(﹣3，0)、B(6，0)。

∴AB=9，OC=9。

(2)∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴ ，即： 。

∴s= m2(0

(3)∵S△AEC= AE•OC= m，S△AED=s= m2，

∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED

=﹣ m2+ m=﹣ (m﹣ )2+ 。

∴△CDE的最大面积为 ，

此时，AE=m= ，BE=AB﹣AE= 。

又 ，

过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得： ，即： 。

∴ 。

∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2= 。

11. (2012广东深圳9分)如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6).

(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式;

(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;

(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗?

请说明理由.

【答案】解：(1)∵抛物线经过A(-4，0)、B(1，0)，∴设函数解析式为：y=a(x+4)(x-1)。

又∵由抛物线经过C(-2，6)，∴6=a(-2+4)(-2-1)，解得： a=-1。

∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=-(x+4)(x-1)，即y=-x2-3x+4。

(2)证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，

由题意得： ，解得： 。

∴直线BC的解析式为y=-2x+2.

∴点E的坐标为(0，2)。

∴ 。

∴AE=CE。

(3)相似。理由如下：

设直线AD的解析式为y=k1x+b1，则 ，解得： 。

∴直线AD的解析式为y=x+4。

联立直线AD与直线BC的函数解析式可得： ，解得： 。

∴点F的坐标为( )。

则 。

又∵AB=5， ，

∴ 。∴ 。

又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA。

∴以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定。

【分析】(1)利用待定系数法求解即可得出抛物线的解析式。

(2)求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论。

(3)求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，根据勾股定理分别求出BF，BC 得出 ;由题意得∠ABF=∠CBA， 即可作出判断。

12. (2012广东深圳9分)如图，在平面直角坐标系中，直线 ：y=-2x+b (b≥0)的位置随b的不同取值而变化.

(1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2.

当b=　　　　时，直线 ：y=-2x+b (b≥0)经过圆心M：

当b=　　　　时，直线 ：y=-2x+b(b≥0)与OM相切：

(2)若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B(6，0)、C(6，2).

设直线 扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式，

【答案】解：(1)10; 。

(2)由A(2，0)、B(6，0)、C(6，2)，根据矩形的性质，得D(2，2)。

如图，当直线 经过A(2，0)时，b=4;当直线 经过D(2，2)时，b=6;当直线 经过B(6，0)时，b=12;当直线 经过C(6，2)时，b=14。

当0≤b≤4时，直线 扫过矩形ABCD的面积S为0。

当4

在 y=-2x+b中，令x=2，得y=-4+b，则E(2，-4+b)，

令y=0，即-2x+b=0，解得x= ，则F( ，0)。

∴AF= ，AE=-4+b。

∴S= 。

当6

在 y=-2x+b中，令y=0，得x= ，则G( ，0)，

令y=2，即-2x+b=2，解得x= ，则H( ，2)。

∴DH= ，AG= 。AD=2

∴S= 。

当12

在 y=-2x+b中，令y=2，即-2x+b=2，解得x= ，则M( ，0)，

令x=6，得y=-12+b，，则N(6，-12+b)。

∴MC= ，NC=14-b。

∴S= 。

当b>14时，直线 扫过矩形ABCD的面积S为矩形ABCD的面积，面积为民8。

综上所述。S与b的函数关系式为：

。

【考点】直线平移的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆相切的性质，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性质。

【分析】(1)①∵直线y=-2x+b (b≥0)经过圆心M(4，2)，

∴2=-2×4+b，解得b=10。

②如图，作点M垂直于直线y=-2x+b于点P，过点

P作PH∥x轴，过点M作MH⊥PH，二者交于点H。设直线y=-2x+b与x，y轴分别交于点A，B。

则由△OAB∽△HMP，得 。

∴可设直线MP的解析式为 。

由M(4，2)，得 ，解得 。∴直线MP的解析式为 。

联立y=-2x+b和 ，解得 。

∴P( )。

由PM=2，勾股定理得， ，化简得 。

解得 。

(2)求出直线 经过点A、B、C、D四点时b的值，从而分0≤b≤4，4

13. (2012广东湛江12分)先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：解一元二次不等式x2﹣4>0

解：∵x2﹣4=(x+2)(x﹣2)

∴x2﹣4>0可化为

(x+2)(x﹣2)>0

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得

解不等式组①，得x>2，

解不等式组②，得x<﹣2，

∴(x+2)(x﹣2)>0的解集为x>2或x<﹣2，

即一元二次不等式x2﹣4>0的解集为x>2或x<﹣2.

(1)一元二次不等式x2﹣16>0的解集为　 　 ;

(2)分式不等式 的解集为　 　 ;

(3)解一元二次不等式2x2﹣3x<0.

【答案】解：(1)x>4或x<﹣4。

(2)x>3或x<1。

(3)∵2x2﹣3x=x(2x﹣3)

∴2x2﹣3x<0可化为 x(2x﹣3)<0

由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得

或 。

解不等式组①，得0

∴不等式2x2﹣3x<0的解集为0

【考点】有理数的乘法法则，一元一次不等式组的应用。

【分析】(1)将一元二次不等式的左边因式分解后根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”化为两个一元一次不等式组求解即可。

(2)根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可。

(3)将一元二次不等式的左边因式分解后，有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，化为两个一元一次不等式组求解即可。

14. (2012广东湛江12分)如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(0，8).动点M从点O出发.沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒 个单位的速度运动.当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒(t>0).

(1)当t=3秒时.直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式;

(2)在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值?若存在，请求出最大值;若不存在，请说明理由;

(3)当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形?

【答案】解：(1)N(3，4)。

∵A(6，0)

∴可设经过O、A、N三点的抛物线的解析式为：y=ax(x﹣6)，则将N(3，4)代入得

4=3a(3﹣6)，解得a=﹣ 。

∴抛物线的解析式： 。

(2)存在。过点N作NC⊥OA于C，

由题意，AN= t，AM=OA﹣OM=6﹣t，

∴NC=NA•sin∠BAO= 。

∴ 。

∴△MNA的面积有最大值，且最大值为6。

(3)在Rt△NCA中，AN= t，NC=AN•sin∠BAO= ，AC=AN•cos∠BAO=t。

∴OC=OA﹣AC=6﹣t。∴N(6﹣t， )。

∴ 。

又AM=6﹣t且0

①当MN=AN时， ，即t2﹣8t+12=0，解得t1=2，t2=6(舍去)。

②当MN=MA时， ，即 ，解得t1=0(舍去)，t2= 。

③当AM=AN时，6﹣t= t，即t= 。

综上所述，当t的值取 2或 或 时，△MAN是等腰三角形。

【考点】二次函数综合题，动点问题，勾股定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，二次函数的最值，等腰三角形的性质。

【分析】(1)由A、B的坐标，可得到OA=6，OB=8，根据勾股定理可得AB=10。

当t=3时，AN= t=5= AB，即N是AB的中点，由此得到点N的坐标N(3，4)。

利用待定系数法，设交点式求出抛物线的解析式。

(2)△MNA中，过N作MA边上的高NC，先由∠BAO的正弦值求出NC的表达式，而AM=OA-OM，由三角形的面积公式可得到关于S△MNA关于t的函数关系式，由二次函数的最值原理即可求出△MNA的最大面积。

(3)首先求出N点的坐标，然后表示出AM、MN、AN三边的长。由于△MNA的腰和底不确定，若该三角形是等腰三角形，可分三种情况讨论：①MN=NA、②MN=MA、③NA=MA;直接根据等量关系列方程求解即可。

15. (2012广东肇庆10分)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P. 求证：

(1)D是BC的中点;

(2)△BEC ∽△ADC;

(3)AB CE=2DPAD.

【答案】证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。

∵AB=AC，∴D是BC的中点。 (2)∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°，即∠CEB=∠CDA=90°，

∵∠C是公共角，∴△BEC∽△ADC。

(3)∵△BEC∽△ADC，∴∠CBE=∠CAD。

∵AB=AC，AD=CD，∴∠BAD=∠CAD。∴∠BAD=∠CBE。

∵∠ADB=∠BEC=90°，∴△ABD∽△BCE。

∴ 。∴ 。

∵BC=2BD，∴ ，即 。

∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，∴△BPD∽△BCE。∴ 。

∴ ，即AB•CE=2DP•AD。

【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由AB是⊙O的直径，可得AD⊥BC，又由AB=AC，由三线合一，即可证得D是BC的中点。

(2)由AB是⊙O的直径，∠AEB=∠ADB=90°，又由∠C是公共角，即可证得△BEC∽△ADC。

(3)易证得△ABD∽△BCE与△BPD∽△BCE，根据相似三角形的对应边成比例与BC=2BD，即可证得AB•CE=2DP•AD。

16. (2012广东肇庆10分)已知二次函数 图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A(x1，0)、

B(x2，0)，x1﹤0﹤x2，与y轴交于点C，O为坐标原点， .

(1)求证： ;

(2)求m、n的值;

(3)当p﹥0且二次函数图象与直线 仅有一个交点时，求二次函数的最大值.

【答案】(1)证明：∵二次函数 图象的顶点横坐标是2，

∴抛物线的对称轴为x=2，即 ，化简得：n+4m=0。

(2)解：∵二次函数 与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)，x1<0

∴OA=-x1，OB=x2; 。

令x=0，得y=p，∴C(0，p)，∴OC=|p|。

由三角函数定义得： 。

∵tan∠CAO-tan∠CBO=1，即 ，化简得： 。

将 代入得： ，化简得： 。

由(1)知n+4m=0，

∴当n=1时， ;当n=-1时， 。

∴m、n的值为： ，n=-1(此时抛物线开口向上)或 ，n=1(此时抛物线开口向下)。

(3)解：由(2)知，当p>0时，n=1， ，

∴抛物线解析式为： 。

联立抛物线 与直线y=x+3解析式得到： ，

化简得： *。

∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，

∴一元二次方程*根的判别式等于0，即△=02+16(p-3)=0，解得p=3。

∴抛物线解析式为： 。

当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4。

∴当p>0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，二次函数的最大值为4。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，锐角三角函数定义，二次函数的性质。

【分析】(1)由题意可知抛物线的对称轴为x=2，利用对称轴公式 ，化简即得n+4m=0。

(2)利用三角函数定义和抛物线与x轴交点坐标性质求解.特别需要注意的是抛物线的开口方向未定，所以所求m、n的值将有两组。

(3)利用一元二次方程的判别式等于0求解.当p>0时，m、n的值随之确定;将抛物线的解析式与直线的解析式联立，得到一个一元二次方程;由交点唯一可知，此一元二次方程的判别式等于0，据此求出p的值，从而确定了抛物线的解析式;最后由抛物线的解析式确定其最大值。

17. (2012广东珠海9分) 已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上(不含点A、B)，把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上.

(1)当P、C都在AB上方时(如图1)，判断PO与BC的位置关系(只回答结果);

(2)当P在AB上方而C在AB下方时(如图2)，(1)中结论还成立吗?证明你的结论;

(3)当P、C都在AB上方时(如图3)，过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD.

【答案】解：(1)PO与BC的位置关系是PO∥BC。

(2)(1)中的结论PO∥BC成立。理由为：

由折叠可知：△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO。

又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。∴∠A=∠CPO。

又∵∠A与∠PCB都为 所对的圆周角，∴∠A=∠PCB。∴∠CPO=∠PCB。

∴PO∥BC。

(3)证明：∵CD为圆O的切线，∴OC⊥CD。

又∵AD⊥CD，∴OC∥AD。∴∠APO=∠COP。

由折叠可得：∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP。

又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。∴∠A=∠APO=∠AOP。∴△APO为等边三角形。

∴∠AOP=60°。

又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°。

又∵OC=OB，∴△BC为等边三角形。∴∠COB=60°。

∴∠POC=180°﹣(∠AOP+∠COB)=60°。

又∵OP=OC，∴△POC也为等边三角形。∴∠PCO=60°，PC=OP=OC。

又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°。

在Rt△PCD中，PD= PC，

又∵PC=OP= AB，∴PD= AB，即AB=4PD。

【考点】折叠的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，平行的判定和性质，切线的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。

【分析】(1)由折叠可得，由∠AOP=∠POC ;因为∠AOC和∠ABC是弧 所对的圆心角和圆周角，根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠AOP=∠ABC;根据同位角相等两直线平行的判定，得PO与BC的位置关系是平行。

(2)(1)中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形APO与三角形CPO全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠APO=∠CPO，再由OA=OP，利用等边对等角得到∠A=∠APO，等量代换可得出∠A=∠CPO，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠A=∠PCB，再等量代换可得出∠COP=∠ACB，利用内错角相等两直线平行，可得出PO与BC平行。

(3)由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC⊥CD，又AD⊥CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC∥AD，根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP，再利用折叠的性质得到∠AOP=∠COP，等量代换可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出△AOP三内角相等，确定出△AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到

∠AOP=60°，由OP∥BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到△OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP=OC，可得出△POC为等边三角形，得到内角∠OCP=60°，可求出∠PCD=30°，在Rt△PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC=圆的半径OP=直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD，得证。

18. (2012广东珠海9分)如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=3 ，DC= ，高CE=2 ，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G;当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒.

(1)填空：∠AHB=　 　;AC=　 ;

(2)若S2=3S1，求x;

(3)设S2=mS1，求m的变化范围.

【答案】解：(1)90°;4。

(2)直线移动有两种情况：0

①当0

∵直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，

∴△AMN和△ARQ的相似比为1：2。

∴ 。∴S2=4S1，与题设S2=3S1矛盾。

∴当0

②当 ≤x≤2时，

∵AB∥CD，∴△ABH∽△CDH。

∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3。

∴CH=DH= AC=1，AH═BH=4﹣1=3。

∵CG=4﹣2x，AC⊥BD，∴S△BCD= ×4×1=2

∵RQ∥BD，∴△CRQ∽△CDB。

∴ 。

又 ，

∵MN∥BD，∴△AMN∽△ADB。∴ ，

∴S1= x2，S2=8﹣8(2﹣x)2。

∵S2=3S1，∴8﹣8(2﹣x)2=3• x2，解得：x1= (舍去)，x2=2。

∴x的值为2。

(3)由(2)得：当0

当 ≤x≤2时，∵S2=mS1，

∴ 。

∴m是 的二次函数，当 ≤x≤2时，即当 时，m随 的增大而增大，

∴当x= 时，m最大，最大值为4;当x=2时，m最小，最小值为3。

∴m的变化范围为：3≤m≤4。

【考点】相似三角形的判定和性质，平移的性质，二次函数的最值，等腰梯形的性质。

【分析】(1)过点C作CK∥BD交AB的延长线于K，

∵CD∥AB，∴四边形DBKC是平行四边形。

∴BK=CD= ，CK=BD。

∴AK=AB+BK= 。

∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BD=AC。

∴AC=CK。∴AE=EK= AK=2 =CE。

∵CE是高，∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°。∴∠ACK=90°。∴∠AHB=∠ACK=90°

∴AC=AK•cos45°= 。

(2)直线移动有两种情况：0

0

(3)由(2)可得当0

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