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 2013中考数学圆试题解析

一、选择题

1. (2012江苏常州2分)已知两圆半径分别为7，3，圆心距为4，则这两圆的位置关系为【 】

A.外离 B.内切 C.相交 D.内含

【答案】B。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和)，内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差)，相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和)，相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差)，内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。因此，

∵两半径之差7-3等于两圆圆心距4，∴两圆内切。故选B。

2. (2012江苏淮安3分)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A=400，则∠B的度数为【 】

A、800 B、600 C、500 D、400

【答案】C。

【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。

【分析】根据直径所对圆周角不直角的性质，由AB是⊙O的直径，点C在⊙O上得∠C=900;根据三角形内角和定理，由∠A=400，得∠B=1800-900-400=500。故选C。

3. (2012江苏苏州3分)如图，已知BD是⊙O直径，点A、C在⊙O上， ，∠AOB=60°，则∠BDC

的度数是【 】

A.20° B.25° C.30° D. 40°

【答案】C。

【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系。

【分析】利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BDC的度数：

∵ ，∠AOB=60°，∴∠BDC= ∠AOB=30°。故选C。

4. (2012江苏宿迁3分)若⊙O1，⊙O2的半径是r1=2, r2=4，圆心距d=5，则这两个圆的位置关系是【 】

A.内切 B.相交 C.外切 D.外离

【答案】B。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和)，内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差)，相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和)，相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差)，内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。因此，

∵r1+r2=6，r2-r1=2，d=5，∴r2-r1

5. (2012江苏泰州3分)如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是【 】

A.40° B.45° C.50° D.60°

【答案】A。

【考点】圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理。

【分析】连接OB，

∵∠A和∠BOC是弧 所对的圆周角和圆心角，且∠A=50°，

∴∠BOC=2∠A=100°。

又∵OD⊥BC，∴根据垂径定理，∠DOC= ∠BOC=50°。

∴∠OCD=1800-900-500=400。故选A。

6. (2012江苏无锡3分)已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是【 】

A. 20cm2 B. 20πcm2 C. 15cm2 D. 15πcm2

【答案】D。

【考点】圆锥的计算。

【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解：

圆锥的侧面积=2π×3×5÷2=15π。故选D。

7. (2012江苏无锡3分)已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是【 】

A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相切或相交

【答案】D。

【考点】直线与圆的位置关系。

【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：①相交：d

当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切;

当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2

故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交。故选D。

8. (2012江苏无锡3分)如图，以M(﹣5，0)为圆心、4为半径的圆与x轴交于A.B两点，P是⊙M上异于A.B的一动点，直线PA.PB分别交y轴于C.D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长【 】

A. 等于4 B. 等于4 C. 等于6 D. 随P点

【答案】C。

【考点】圆周角定理，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理。

【分析】 连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣x，OC=r+x，

∵以M(﹣5，0)为圆心、4为半径的圆与x轴交于A.B两点，

∴OA=4+5=9，0B=5﹣4=1。

∵AB是⊙M的直径，∴∠APB=90°。

∵∠BOD=90°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°。

∵∠PBA=∠OBD，∴∠PAB=∠ODB。

∵∠APB=∠BOD=90°，∴△OBD∽△OCA。∴ ，即 ，即r2﹣x2=9。

由垂径定理得：OE=OF，

由勾股定理得：OE2=EN2﹣ON2=r2﹣x2=9。∴OE=OF=3，∴EF=2OE=6。

故选C。

9. (2012江苏徐州3分)如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB=700，则∠ACB的度数为【 】

A.700 B.500 C.400 D.350

【答案】D。

【考点】圆周角定理。

【分析】根据同(等)弧所对圆周有是圆心角一半的性质直接得出结果：

∠ACB= ∠AOB= ×700=350。故选D。

10. (2012江苏扬州3分)已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm、5cm，且它们的圆心距为8cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是【 】

A.外切 B.相交 C.内切 D.内含

【答案】A。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和)，内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差)，相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和)，相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差)，内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。因此，

∵3+5=8，即两圆圆心距离等于两圆半径之和，∴两圆外切。故选A。

二、填空题

1. (2012江苏淮安3分)如图，⊙M与⊙N外切，MN=10cm，若⊙M的半径为6cm，⊙N的半径为

▲ cm。

【答案】4。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和)，内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差)，相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和)，相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差)，内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。因此，

由⊙M与⊙N外切，MN=10cm，⊙M的半径为6cm，得⊙N的半径=10cm-6cm=4cm。

2. (2012江苏连云港3分)如图，圆周角∠BAC=55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交与点P，则∠BPC=　▲　°.

【答案】70。

【考点】切线的性质，圆周角定理。

【分析】连接OB，OC，

∵PB，PC是⊙O的切线，∴OB⊥PB，OC⊥PC。

∴∠PBO=∠PCO=90°，

∵∠BOC=2∠BAC=2×55°=110°，

∴∠BPC=360°-∠PBO-∠BOC-∠PCO=360°-90°-110°-90°=70°。

3. (2012江苏南通3分)如图，在⊙O中，∠AOB=46º，则∠ACB= ▲ º.

【答案】23°。

【考点】圆周角定理。

【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半的性质，

∵∠AOB和∠ACB是同⊙O中同弧 所对的圆周角和圆心角，且∠AOB=46º，∴

∠ACB= ∠AOB= ×46°=23°。

4. (2012江苏徐州2分)如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，AC=8，BC=6，则sin∠ABD=

▲ 。

【答案】 。

【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，勾股定理，锐角三角函数定义。

【分析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=900。

又∵CD⊥AB，∠ACD=∠ABC。

又∵∠ABD和∠ACD是同弧所对的圆周角，∴∠ABD=∠ACD。∴∠ABD=∠ABC。

又∵AC=8，BC=6，∴由勾股定理得AB=10。∴sin∠ABD=sin∠ABC= 。

5. (2012江苏盐城3分)已知 与 的半径分别是方程 的两根,且 ,

若这两个圆相切,则t= ▲ .

【答案】2或0。

【考点】圆与圆的位置关系，因式分解法解一元二次方程。

【分析】先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于t的方程讨论求解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程 的两根，解得⊙O1、⊙O2的半径分别是1和3。

①当两圆外切时，圆心距O1O2=t+2=1+3=4，解得t=2;

②当两圆内切时，圆心距O1O2=t+2=3-1=2，解得t=0。

∴t为2或0。

6. (2012江苏扬州3分)如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B两点，点C在⊙O上，如果ACB=70°，那么∠P的度数是　▲　.

【答案】40°。

【考点】切线的性质，圆周角定理，多边形内角与外角。

【分析】如图，连接OA，OB，

∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP。

∴∠OAP=∠OBP=90°，

又∵∠AOB和∠ACB都对弧 所对的圆心角和圆周角，且∠ACB=70°，

∴∠AOB=2∠ACB=140°。

∴∠P=360°-(90°+90°+140°)=40°。

三、解答题

1. (2012江苏常州10分)在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m(m>0)。以点P为圆心， 为半径的圆交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于C、D两点(D点在点C的上方)。点E为平行四边形DOPE的顶点(如图)。

(1)写出点B、E的坐标(用含m的代数式表示);

(2)连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q(点Q异于点D)，连接EQ、BQ。试问线段BQ与线段EQ的长是否相等?为什么?

(3)连接BC，求∠DBC-∠DBE的度数。

【答案】解：(1)B(3m，0)，E(m，4m)。

(2)线段BQ与线段EQ的长相等。理由如下：

由(1)知B(3m，0)，E(m，4m)，

∵根据圆的对称性，点D点B关于y=x对称，

∴D(0，3m)。

∴ ， ，

。

∴ 。∴△BDE是直角三角形。

∴BE是△BDE的外接圆的直径。

设△BDE的外接圆的圆心为点G，则由B(3m，0)，E(m，4m)得G(2m，2m)。

过点G作GI⊥DG于点I，则I(0，2m)。

根据垂径定理，得DI=IQ ，∴Q(0，m)。

∴ 。

∴BQ=EQ。

(3)延长EP交x轴于点H，则EP⊥AB，BH=2m。

根据垂径定理，得AH=BH=2m，AO= m。

根据圆的对称性，OC=OA= m。

又∵OB=3m， ， ，

∴ 。 。

又∵∠COB=∠EDB=900，∴△COB∽△EDB。∴∠OBC=∠DBE。

∴∠DBC-∠DBE=∠DBC-∠OBC=∠DBO。

又∵OB=OC，∴∠DBO=450。∴∠DBC-∠DBE=450。

【考点】直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理和逆定理，圆的对称性，平行四边形的性质，中点坐标，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)过点P 作PH⊥x轴于点H，PF⊥y轴于点F，连接OE，BP。

∵点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m(m>0)，

∴ P(m，m)，H(m，0)，F(0，m)，OH=OF=HP= m。

∵PB= ，∴ 。

∴OB=3 m。∴B(3m，0)。

∵根据圆的对称性，点D点B关于y=x对称，∴D(0，3m)。

∵四边形DOPE是平行四边形，∴PE=OD=3m，HE=4m。∴E(m，4 m)。

(2)由勾股定理和逆定理，易知△BDE是直角三角形，从而根据圆周角定理和垂径定理可得点Q的坐标，从而根据勾股定理可求出BQ和EQ的长比较即得。

(3)求出有关线段的长，可得 ，从而证得△COB∽△EDB，得到∠OBC=∠DBE。因此∠DBC-∠DBE=∠DBC-∠OBC=∠DBO=450。

2. (2012江苏南京8分)某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在 和扇形 中， 与 、 分别相切于A、B， ，E、F事直线 与 、扇形 的两个交点，EF=24cm，设 的半径为x cm，

① 用含x的代数式表示扇形 的半径;

② 若 和扇形 两个区域的制作成本分别为0.45元 和0.06元 ，当 的半径为多少时，该玩具成本最小?

【答案】解：(1)连接O1A。

∵⊙O1与O2C、O2D分别切一点A、B，

∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D。

∵ ，∴∠AO2O1= ∠CO2D=30°。

在Rt△O1AO2中， ，∴O1O2=A O1 sin∠AO2O1 =x sin30° =2x。

∵EF=24cm，∴FO2=EF-EO1-O1O2=24-3x，即扇形O2CD的半径为(24-3x)cm。

3. (2012江苏南京10分)如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点(P不与A、B重合)，我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角。

(1)已知∠APB是 上关于点A、B的滑动角。

① 若AB为⊙O的直径，则∠APB=

② 若⊙O半径为1，AB= ，求∠APB的度数

(2)已知 为 外一点，以 为圆心作一个圆与 相交于A、B两点，∠APB为 上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交 于点M、N(点M与点A、点N与点B均不重合)，连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。

【答案】解：(1)①900。

②如图，连接AB、OA、OB.

在△AOB中，∵OA=OB=1.AB= ，∴OA2+OB2=AB2。

∴∠AOB=90°。

当点P在优弧 AB 上时(如图1)，∠APB= ∠AOB=45°;

当点P在劣弧 AB 上时(如图2)，

∠APB= (360°-∠AOB)=135°。

(2)根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况.

第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图3，

∵∠MAN=∠APB+∠ANB，

∴∠APB=∠MAN-∠ANB。

第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图4，

∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+(180°-∠ANB)，

∴∠APB=∠MAN+∠ANB-180°。

第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图5，

∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，

∴∠APB=180°-∠MAN-∠ANB。

第四种情况：点P在⊙O2内，如图6，

∠APB=∠MAN+∠ANB。

【考点】圆周角定理，勾股定理逆定理，三角形内角和定理和外角性质。

【分析】(1)①根据直径所对的圆周角等于90°即可得∠APB=900。

②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧 上;点P在劣弧 上两种情况讨论即可。

(2)根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。

4. (2012江苏南通8分)如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离.

【答案】解：分别作弦AB、CD的弦心距，设垂足为E、F，连接OA，OC。

∵AB=30，CD=16，∴AE= AB=15，CF= CD=8。

又∵⊙O的半径为17，即OA=OC=17。

∴在Rt△AOE中， 。

在Rt△OCF中， 。

∴EF=OF-OE=15-8=7。

答：AB和CD的距离为7cm。

【考点】垂径定理，;勾股定理。

【分析】分别作弦AB、CD的弦心距，设垂足为E、F;由于AB∥CD，则E、O、F三点共线，EF即为AB、CD间的距离;由垂径定理，易求得AE、CF的长，可连接OA、ODC在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离。

5. (2012江苏苏州8分)如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上

的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为 .

⑴当 时，求弦PA、PB的长度;

⑵当x为何值时， 的值最大?最大值是多少?

【答案】解：(1)∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l。

又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB。

∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°。

∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB。

∴ ，即PA2=PC•PD。

∵PC= ，AB=4，∴ 。

∴在Rt△APB中，由勾股定理得： 。

(2)过O作OE⊥PD，垂足为E。

∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FD。

在矩形OECA中，CE=OA=2，∴PE=ED=x-2。

∴CD=PC-PD= x-2(x-2)=4-x 。

∴ 。

∵

∴当 时， 有最大值，最大值是2。

【考点】切线的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，二次函数的最值。

【分析】(1)由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l，又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似，由相似得比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在Rt△APB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长。

(2)过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PC-EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值。

6. (2012江苏宿迁10分)如图，在四边形ABCD中，∠DAE=∠ABC= 90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G。设AD=a，BC =b。

(1) 求CD的长度(用a，b表示);

(2) 求EG的长度(用a，b表示);

(3) 试判断EG与FG是否相等，并说明理由。

【答案】解：(1)∵∠DAE=∠ABC= 90°，∴DA⊥AB，CB⊥AB。

又∵AB为⊙O的直径，∴DA、CB为⊙O的切线。

又∵CD是⊙O的切线，AD=a，BC =b，

∴DE= AD=a，CE= BC =b(切线长定理)。∴CD= DE+CE= a+b。

(2)∵EF⊥AB，CB⊥AB，∴EF∥CB。∴△DEG∽△DCB。

∴ ，即 。∴ 。

(3)相等。理由如下：

∵EF⊥AB，CB⊥AB，DA⊥AB，∴DA∥EF∥CB。

∴ ，且△BGF∽△BDA。∴ ，即 。∴ 。

∴EG=FG。

【考点】切线的判定和性质，切线长定理，平行的判定和性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由已知可得DA、CB和CD都要为⊙O的切线，根据切线长定理即可得出结果。

(2)由EF⊥AB，CB⊥AB 可得EF∥CB，从而根据相似三角形的判定和性质可求得EG的长度。

(3)由DA∥EF∥CB，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质可求得FG的长度，与EG的长度比较即可得出结论。

7. (2012江苏泰州12分)如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点

P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.

(1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由;

(2)若PC= ，求⊙O的半径和线段PB的长;

(3)若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围.

【答案】解：(1)AB=AC。理由如下：

连接OB。

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°。

∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90°。

∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB。

∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC。

∴AB=AC。

(2)延长AP交⊙O于D，连接BD，

设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5-r。

又∵PC= ，

∴ 。

由(1)AB=AC得 ，解得：r=3。

∴AB=AC=4。

∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC。

∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA。∴ ，即 ，解得 。

(3)作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，

则OE= AC= AB= 。

又∵圆O要与直线MN交点，∴OE= ≤r，

∴r≥ 。

又∵圆O与直线l相离，∴r<5。

∴⊙O的半径r的取值范围为 ≤r<5.

【考点】切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，

∠ACP+∠CPB=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可。

(2)延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，根据AB=AC推出

，求出r，证△DPB∽△CPA，得出 ，代入求出PB即可。

(3)根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，求出OE

8. (2012江苏无锡10分)如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°.点P从A点出发，以 cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动;与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动.当P运动到C点时，P、Q都停止运动.设点P运动的时间为ts.

(1)当P异于A.C时，请说明PQ∥BC;

(2)以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点?

【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2，

∴AB=BC=2，∠BAC= ∠DAB。

又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°。

如图1，连接BD交AC于O。

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA= AC。

∴OB= AB=1。∴OA= ，AC=2OA=2 。

运动ts后，AP= t，AO=t，∴ 。

又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.

∴PQ∥BC.

(2)如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC。

在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM= 。

由PM=PQ=AQ=t，即 =t，解得t= ，

此时⊙P与边BC有一个公共点。

如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，

∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°

∴△PQB为等边三角形。∴QB=PQ=AQ=t。∴t=1。

∴当 时，⊙P与边BC有2个公共点。

如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即 =t

∴t= 。

∴当1≤t≤ 时，⊙P与边BC有一个公共点。

当点P运动到点C，即t=2时，Q、B重合，⊙P过点B，

此时，⊙P与边BC有一个公共点。

综上所述，当t= 或1≤t≤ 或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点;当 时，⊙P与边BC有2个公共点。

【考点】直线与圆的位置关系，菱形的性质，含30°角直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，切线的性质，等边三角形的判定和性质。

【分析】(1)连接BD交AC于O，构建直角三角形AOB.利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB;然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB;最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论。

(2)分⊙P与BC切于点M，⊙P过点B，⊙P过点C和点P运动到点C四各情况讨论即可。

9. (2012江苏徐州10分)如图，直线 与x轴、y轴分别相交于点A、B，与正比例函数 的图象相交于点C、D(点C在点D的左侧)，⊙O是以CD长为半径的圆。CE∥x轴，DE∥y轴，CE、DE相交于点E。

(1)△CDE是 ▲ 三角形;点C的坐标为 ▲ ，点D的坐标为 ▲ (用含有b的代数式表示);

(2)b为何值时，点E在⊙O上?

(3)随着b取值逐渐增大，直线 与⊙O有哪些位置关系?求出相应b的取值范围。

【答案】解：(1)等腰直角; ; 。

(2)当点E在⊙O上时，如图，连接OE。则OE=CD。

∵直线 与x轴、y轴相交于点A(-b，0)，B(0，b)，CE∥x轴，DE∥y轴，

∴△DCE、△BDO是等腰直角三角形。

∵整个图形是轴对称图形，

∴OE平分∠AOB，∠AOE=∠BOE=450。

∵CE∥x轴，DE∥y轴，

∴四边形CAOE、OEDB是等腰梯形。

∴OE=AC=BD。

∵OE=CD，∴OE=AC=BD=CD。

过点C作CF⊥x轴，垂足为点F。

则△AFC∽△AOB。∴ 。∴ 。

∴ ，解得 。

∵ ，∴ 。

∴当 时，点E在⊙O上。

(3)当⊙O与直线 相切于点G时，

如图 ，连接OG。

∵整个图形是轴对称图形，

∴点O、E、G在对称轴上。

∴GC=GD= CD= OG= AG。∴AC=CG=GD=DB。∴AC= AB。

过点C作CH⊥x轴，垂足为点H。 则△AHC∽△AOB。

∴ 。∴ 。

∴ ，解得 。

∵ ，∴ 。

∴当 时，直线 与⊙O相切;

当 时，直线 与⊙O相离;

当 时，直线 与⊙O相交。

【考点】反比例函数和一次函数交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称图形的性质，等腰梯形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直线和圆的位置关系。

【分析】(1)∵直线 与x轴、y轴相交于点A(-b，0)，B(0，b)，CE∥x轴，DE∥y轴，

∴△DCE是等腰直角三角形。

解 得， 或 。

∵点C在点D的左侧，∴点C的坐标为 ，点D的坐标为 。

(2)连接OE，过点C作CH⊥x轴于点H。由整个图形是轴对称图形，可求得OE=AC=BD=CD。由△AFC∽△AOB可求得 ，代入CF、BO关于b的关系式求解即得所求。

(3)讨论直线 与⊙O相切时，b的取值即可得到直线 与⊙O的位置关系。

当⊙O与直线 相切于点G时，连接OG，过点C作CH⊥x轴于点H。由整个图形是轴对称图形，可求得AC=CG=GD=DB，即AC= AB。由△AHC∽△AOB可求得 ，代入CH、BO关于b的关系式求解即得⊙O与直线 相切时相应b的值。从而得到直线 与⊙O相离和相交时相应b的取值范围。

10. (2012江苏盐城10分)如图所示, , , ,点 是以 为直径的半圆 上一动点, 交直线 于点 ,设 .

(1)当 时,求 的长;

(2)当 时,求线段 的长;

(3)若要使点 在线段 的延长线上,则 的取值范围是_________.(直接写出答案)

【答案】解: (1)连接 ，在⊙ 中，

(2)∵ 为⊙ 的直径，∴ 。

(3) < < 。

【考点】圆周角定理，弧长的计算，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)先连接 ，由圆周角定理，可求得 ，又由⊙ 的直径为 ，即可求得其半径，然后由弧长公式，即可求得答案。

(2)先证得 ∽ ，然后由相似三角形的对应边成比例，可得 ，从而求得答案。

(3)先求得 与 重合时 的度数，则可求得点 在线段 的延长线上时， 的取值范围：

如图，当 与 重合时，

∵ 是直径， ∴ 。∴ ， ， 共线。

∵ ，

∴在 中 。

∴ 。∴ =30°。

∴ =90°- =60°。

当 ′在 的延长线上时，如图，可得 > =60°。

∵0°< <90°，

∴ 的取值范围是：60°< <90°。

11. (2012江苏扬州10分)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D.

(1)求证：AC平分BAD;

(2)若AC= ，CD=2，求⊙O的直径.

【答案】解：(1)如图：连接OC。

∵DC切⊙O于C，∴AD⊥CD。

∴∠ADC=∠OCF=90°。∴AD∥OC。

∴∠DAC=∠OCA。

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。

∴∠DAC=∠OAC，即AC平分∠BAD。

(2)连接BC。

在Rt△ADC中，AC= ，CD=2，∴AD=4。

∵AB是直径，∴∠ACB=90°=∠ADC。

∵∠OAC=∠OCA，∴△ADC∽△ACB。

∴ ，即 。

∴AB=5。

【考点】切线的性质，平行的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)连接OC，根据切线的性质判断出AD∥OC，得到∠DAC=∠OCA，再根据OA=OC得到∠OAC=∠OCA，可得AC平分∠BAD。

(2)连接BC，得到△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求出AB的长。

12. (2012江苏镇江6分)如图，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交弦AC于点E，FC=FE。

(1)求证：FC是⊙O的切线;

(2)若⊙O的半径为5， ，求弦AC的长。

【答案】解：(1)连接OC，

∵FC=FE，∴∠FCE=∠FEC(等边对等角)。

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA(等边对等角)。

又∵∠FEC=∠AED(对项角相等)，

∴∠FCE=∠AED(等量代换)。

又∵DF⊥AB，∴∠OAC+∠AED=900(直角三角形两锐角互余)。

∴∠OCA+∠FCE =900(等量代换)，即∠OCF =900。

∴OC⊥CF(垂直定义)。

又∵OC是⊙O的半径，∴FC是⊙O的切线(切线的定义)。

(2)连接BC。

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=900(直径所对圆周角是直角)。

∵OB=OC。∴∠OBC=∠OCB(等边对等角)。

∵∠OCB=∠ACB-∠ACO=900-∠ACO=∠OCF-∠ACO

=∠FCE，

∴∠OBC=∠FCE。

又∵ ，∴ 。

又∵⊙O的半径为5，∴AB=10。

在Rt△ABC中，

∴ 。

【考点】等腰三角形的性质，对项角的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理。

【分析】(1)要证FC是⊙O的切线，只要FC垂直于过C点的半径，所以作辅助线OC。由已知条件，根据等腰三角形的等边对等角性质，直角三角形两锐角互余的关系，经过等量代换即可得到。

(2)构造直角三角形ABC，由等量代换得到∠OBC=∠FCE，从而得到 ，应用锐角三角函数知识和勾股定理即可求得弦AC的长。 

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