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 2013年函数的图象与性质中考数学题分类解析

一、选择题

1. (2012江苏常州2分)已知二次函数 ，当自变量x分别取 ，3，0时，对应的值分别为 ，则 的大小关系正确的是【 】

A. B. C. D.

【答案】 B。

【考点】二次函数的图象和性质。

【分析】由二次函数 知，

它的图象开口向上，对称轴为x=2，如图所示。

根据二次函数的对称性，x=3和x=1时，y值相等。

由于二次函数 在对称轴x=2左侧，y随x的增大而减小，而0<1< ，因此， 。故选B。

2. (2012江苏淮安3分)已知反比例函数 的图象如图所示，则实数m的取值范围是【 】

A、m>1 B、m>0 C、m<1 D、m<0

【答案】A。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】根据反比例函数 的性质：当图象分别位于第一、三象限时， ;当图象分别位于第二、四象限时， ：∵图象两个分支分别位于第一、三象限，∴反比例函数 的系数 ，即m>1。故选A。

3. (2012江苏南京2分)若反比例函数 与一次函数 的图像没有交点，则 的值可以是【 】

A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

【答案】A。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的判别式。

【分析】把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出k的取值范围，找出符合条件的k的值即可：

∵反比例函数 与一次函数y=x+2的图象没有交点，

∴ 无解，即 无解，整理得x2+2x-k=0，

∴△=4+4k<0，解得k<-1。

四个选项中只有-2<-1，所以只有A符合条件。故选A。

4. (2012江苏南通3分)已知点A(-1，y1)、B(2，y2)都在双曲线y= 3+2m x上，且y1>y2，则m的取值范围是【 】

A.m<0 B.m>0 C.m>- 3 2 D.m<- 3 2

【答案】D。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，解一元一次不等式。

【分析】将A(-1，y1)，B(2，y2)两点分别代入双曲线y= 3+2m x，求出 y1与y2的表达式：

。

由y1>y2得， ，解得m<- 3 2。故选D。

5. (2012江苏苏州3分)若点(m，n)在函数y=2x+1的图象上，则2m-n的值是【 】

A.2 B.-2 C.1 D. -1

【答案】D。

【考点】直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将点(m，n)代入函数y=2x+1，得到m和n的关系式：n=2m+1，即2m-n=-1。故选D。

6. (2012江苏无锡3分)若双曲线 与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为﹣1，则k的值为【 】

A. ﹣1 B. 1 C. ﹣2 D. 2

【答案】B。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将x=1代入直线y=2x+1，求出该点纵坐标：y=﹣2+1=﹣1，从而，将该交点坐标代入 即可求出k的值：k=﹣1×(﹣1)=1。故选B。

7. (2012江苏徐州3分)一次函数y=x-2的图象不经过【 】

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第一象限

【答案】B。

【考点】一次函数图象与系数的关系。

【分析】一次函数 的图象有四种情况：

①当k>0，b>0时，函数 的图象经过第一、二、三象限;

②当k>0，b<0时，函数 的图象经过第一、三、四象限;

③当k<0，b>0时，函数 的图象经过第一、二、四象限;

④当k<0，b<0时，函数 的图象经过第二、三、四象限。

因此，函数y=x-2的k>0，b<0，故它的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限。故选B。

8. (2012江苏镇江3分)关于x的二次函数 ，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是【 】

A. B. C. D.

【答案】D。

【考点】二次函数的性质。

【分析】∵ ，

∴它的对称轴为 。

又∵对称轴在y轴的右侧，

∴ 。故选D。

二、填空题

1. (2012江苏常州2分)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3，0)，⊙P是以点P为圆心，2为半径的圆。若一次函数 的图象过点A(-1，0)且与⊙P相切，则 的值为 ▲ 。

【答案】 或 。

【考点】一次函数综合题，直线与圆相切的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质。

【分析】如图，设一次函数 与y轴交于点C，与⊙P相切于点P。

则OA=1，OC=∣b∣，OP=3，BP=2，AP=4。

∴ 。

由△AOC∽△ABP，得 ，即 ，

解得 。

∴ 。

由图和一次函数的性质可知，k，b同号，

∴ 或 。

2. (2012江苏常州2分)如图，已知反比例函数 和 。点A在y轴的正半轴上，过点A作直线BC∥x轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C，连接OC、OB。若△BOC的面积为 ，AC：AB=2：3，则 = ▲ ， = ▲ 。

【答案】2，-3。

【考点】反比例函数综合题，反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】设点A(0，a)(∵点A在y轴的正半轴上，∴a>0)，则点B( )，点C( )。

∴OA= a，AB= (∵ )，AC= (∵ )，AB= 。

∵△BOC的面积为 ，∴ ，即 ①。

又∵AC：AB=2：3，∴ ，即 ②。

联立①②，解得 =2， =-3。

3. (2012江苏淮安3分)如图，射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中s、t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差 ▲ km/h。

【答案】4。

【考点】一次函数的图象和应用。

【分析】要求这两人骑自行车的速度相差，只要由图象求出两人5 h行驶的距离即可：

甲5 h行驶的距离为100 km，故速度为100÷5=20 km/h;

乙5 h行驶的距离为100 km-20km =80 km，故速度为80÷5=16 km/h。

∴这两人骑自行车的速度相差20-16=4 km/h。

4. (2012江苏连云港3分)已知反比例函数y= 的图象经过点A(m，1)，则m的值为　▲　.

【答案】2。

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】∵反比例函数y= 的图象经过点A(m，1)，∴2= ，即m=2。

5. (2012江苏连云港3分)如图，直线y=k1x+b与双曲线 交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x< +b的解集是　▲　.

【答案】-5

【考点】不等式的图象解法，平移的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，对称的性质。

【分析】不等式k1x< +b的解集即k1x-b< 的解集，根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，可以理解为直线y=k1x-b在双曲线 下方的自变量x的取值范围即可。

而直线y=k1x-b的图象可以由y=k1x+b向下平移2b个单位得到，如图所示。根据函数 图象的对称性可得：直线y=k1x-b和y=k1x+b与双曲线 的交点坐标关于原点对称。

由关于原点对称的坐标点性质，直线y=k1x-b图象与双曲线 图象交点A′、B′的横坐标为A、B两点横坐标的相反数，即为-1，-5。

∴由图知，当-5

∴不等式k1x< +b的解集是-5

6. (2012江苏南京2分)已知一次函数 的图像经过点(2，3)，则 的值为 ▲

【答案】2。

【考点】直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将(2，3)代入 ，得

，解得，k=2。

7. (2012江苏苏州3分)已知点A(x1，y1)、B(x2，y2)在二次函数y=(x-1)2+1的图象上，若

x1>x2>1，则y1 ▲ y2.

【答案】>。

【考点】二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质。

【分析】由二次函数y=(x-1)2+1知，其对称轴为x=1。

∵x1>x2>1，∴两点均在对称轴的右侧。

∵此函数图象开口向上，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大。

∵x1>x2>1，∴y1>y2。

8. (2012江苏苏州3分)如图，已知第一象限内的图象是反比例函数 图象的一个分支，第二象限

内的图象是反比例函数 图象的一个分支，在 轴上方有一条平行于 轴的直线与它们分别交于点A、

B，过点A、B作 轴的垂线，垂足分别为C、D.若四边形ACDB的周长为8且AB

▲ .

【答案】( ，3)。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，解分式方程。

【分析】∵点A在反比例函数 图象上，∴可设A点坐标为( )。

∵AB平行于x轴，∴点B的纵坐标为 。

∵点B在反比例函数 图象上，∴B点的横坐标 ，即B点坐标为( )。

∴AB=a-(-2a)=3a，AC= 。

∵四边形ABCD的周长为8，而四边形ABCD为矩形，

∴AB+AC=4，即3a+ =4，整理得，3a2-4a+1=0，即(3a-1)(a-1)=0。

∴a1= ，a2=1。

∵AB

9. (2012江苏宿迁3分)在平面直角坐标系中，若一条平行于x轴的直线l分别交双曲线 和 于A，B两点，P是x轴上的任意一点，则△ABP的面积等于 ▲ .

【答案】4。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】设平行于x轴的直线l为y=m(m≠0)，

则它与双曲线 和 的交点坐标为A( ，m)，B( ，m)。

∴AB= 。

∴△ABP的面积 。

10. (2012江苏无锡2分)若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为　 ▲ 　.

【答案】y=﹣x2+4x﹣3。

【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2，1)，∴可设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2+1。

又∵抛物线y=a(x﹣2)2+1经过点B(1，0)，∴(1，0)满足y=a(x﹣2)2+1。

∴将点B(1，0)代入y=a(x﹣2)2得，0=a(1﹣2)2即a=﹣1。

∴抛物线的函数关系式为y=﹣(x﹣2)2+1，即y=﹣x2+4x﹣3。

11. (2012江苏徐州2分)正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点(1，2)，则

▲ 。

【答案】4。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将(1，2)分别代入 和 ，得 ， ，

则 。

12. (2012江苏徐州2分)函数 的图象如图所示，关于该函数，下列结论正确的是 ▲ (填序号)。

①函数图象是轴对称图形;②函数图象是中心对称图形;③当x>0时，函数有最小值;④点(1，4)在函数图象上;⑤当x<1或x>3时，y>4。

13. (2012江苏盐城3分)若反比例函数的图象经过点 ,则它的函数关系式是 ▲ .

【答案】 。

【考点】待定系数法，反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】设函数解析式为 ，将 代入解析式得 。故函数解析式为 。

14. (2012江苏扬州3分)如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是　▲　.

【答案】1。

【考点】动点问题，等腰直角三角形的性质，平角定义，勾股定理，二次函数的最值。

【分析】设AC=x，则BC=2-x，

∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，

∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC= ，CE= 。

∴∠DCE=90°。

∴DE2=DC2+CE2=( )2+[ ]2=x2-2x+2=(x-1)2+1。

∴当x=1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1。

15. (2012江苏扬州3分)如图，双曲线 经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA=2AN，△OAB的面积为5，则k的值是　▲　.

【答案】12。

【考点】反比例函数综合题。

【分析】如图，过A点作AC⊥x轴于点C，则AC∥NM，

∴△OAC∽△ONM，∴OC：OM=AC：NM=OA：ON。

又∵OA=2AN，∴OA：ON=2：3。

设A点坐标为(x0，y0)，则OC=x0，AC=y0。

∴OM= ，NM= 。∴N点坐标为( ， )。

∴点B的横坐标为 ，设B点的纵坐标为yB，

∵点A与点B都在 图象上，∴k=x0 •y0= •yB。∴ 。

∴B点坐标为( )。

∵OA=2AN，△OAB的面积为5，∴△NAB的面积为 。∴△ONB的面积= 。

∴ ，即 。∴ 。∴k=12。

16. (2012江苏镇江2分)写出一个你喜欢的实数k的值 ▲ ，使得反比例函数 的图象在第一象限内，y随x的增大而增大。

【答案】1(答案不唯一)。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】根据反比例函数 的性质：当 时函数图象的每一支上，y随x的增大而减小;当 时，函数图象的每一支上，y随x的增大而增大。因此，

若反比例函数 的图象在第一象限内，y随x的增大而增大，则 ，即 。

∴只要取 的任一实数即可，如 (答案不唯一)。

三、解答题

1. (2012江苏常州7分)某商场购进一批L型服装(数量足够多)，进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件。根据市场调研，若每件每降1元，则每天销售数量比原来多3件。现商场决定对L型服装开展降价促销活动，每件降价x元(x为正整数)。在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件降价多少元?每天最大销售毛利润为多少?(注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差)

【答案】解：根据题意，商场每天的销售毛利润Z=(60-40-x)(20+3x)=-3x2+40x+400

∴当 时，函数Z取得最大值。

∵x为正整数，且 ，

∴当x=7时，商场每天的销售毛利润最大，最大销售毛利润为-3•72+40•7+400=533。

答：商场要想每天获得最大销售利润，每件降价7元，每天最大销售毛利润为533元。

【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。

【分析】求出二次函数的最值，找出x最接近最值点的整数值即可。

2. (2012江苏淮安10分)国家和地方政府为了提高农民种粮的积极性，每亩地每年发放种粮补贴120元，种粮大户老王今年种了150亩地，计划明年再承租50~150亩土地种粮以增加收入，考虑各种因素，预计明年每亩种粮成本y(元)与种粮面积x(亩)之间的函数关系如图所示：

(1)今年老王种粮可获得补贴多少元?

(2)根据图象，求y与x之间的函数关系式;

(3)若明年每亩的售粮收入能达到2140元，求老王明年种粮总收入W(元)与种粮面积x(亩)之间的函数关系式，当种粮面积为多少亩时，总收入最高?并求出最高总收入。

3. (2012江苏连云港10分)如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y=x+b(b>0)与⊙O交于A、B两点，点O关于直线y=x+b的对称点O′，

(1)求证：四边形OAO′B是菱形;

(2)当点O′落在⊙O上时，求b的值.

【答案】(1)证明：∵点O、O′关于直线y=x+b的对称，

∴直线y=x+b是线段OO′的垂直平分线，∴AO=AO′，BO=BO′。

又∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA=OB。

∴AO=AO′=BO=BO′。∴四边形OAO′B是菱形.

(2)解：如图，设直线y=x+b与x轴、y轴的交点坐标分别是

N(-b，0)，P(0，b)，AB与OO′相交于点M。

则△ONP为等腰直角三角形，∴∠OPN=45°。

∵四边形OAO′B是菱形，∴OM⊥PN。

∴△OMP为等腰直角三角形。

当点O′落在圆上时，OM= OO′=1。

在Rt△OMP中，由勾股定理得：OP= ，即b= 。

【考点】一次函数综合题，线段中垂线的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】(1)根据轴对称得出直线y=x+b是线段OO′D的垂直平分线，根据线段中垂线上的点到比下有余两端的距离相等得出AO=AO′，BO=BO′，从而得AO=AO′=BO=BO′，即可推出答案。

(2)设直线y=x+b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(-b，0)，P(0，b)，得出等腰直角三角形ONP，求出OM⊥NP，求出MP=OM=1，根据勾股定理求出即可。

4. (2012江苏连云港10分)我市某医药公司要把药品运往外地，现有两种运输方式可供选择，

方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元;

方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元，

(1)请分别写出邮车、火车运输的总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式;

(2)你认为选用哪种运输方式较好，为什么?

【答案】解：(1)由题意得：y1=4x+400;y2=2x+820。

(2)令4x+400=2x+820，解得x=210。

∴当运输路程小于210千米时，y1

当运输路程小于210千米时，y1=y2，，两种方式一样;

当运输路程大于210千米时，y1>y2，选择火车运输较好。

【考点】一次函数的应用。

【分析】(1)根据方式一、二的收费标准即可得出y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式。

(2)比较两种方式的收费多少与x的变化之间的关系，从而根据x的不同，选择合适的运输方式。

5. (2012江苏连云港12分)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3，

(1)求抛物线所对应的函数解析式;

(2)求△ABD的面积;

(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上?请说明理由.

【答案】解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF=2，EF=3，

∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3).

把x=0，y=3;x=2，y=3分别代入y=-x2+bx+c，得

，解得 。

∴抛物线所对应的函数解析式为y=-x2+2x+3。

(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，

∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)。∴△ABD中AB边的高为4。

令y=0，得-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3。

∴AB=3-(-1)=4。

∴△ABD的面积= ×4×4=8。

(3)如图，△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由(1)(2)可知OA=1，OC=3，

∵点A对应点G的坐标为(3，2)。

∵当x=3时，y=-32+2×3+3=0≠2，

∴点G不在该抛物线上。

【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的性质，旋转的性质。

【分析】(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式。

(2)根据(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积。

(3)根据旋转条件求出点A对应点G的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可。

6. (2012江苏南通9分)甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地.如图，线段OA表示货车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系.请根据图象，解答下列问题：

(1)线段CD表示轿车在途中停留了 h;

(2)求线段DE对应的函数解析式;

(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车.

【答案】解：(1)0.5。 (2)设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b(2.5≤x≤4.5)，

∵D点坐标为(2.5，80)，E点坐标为(4.5，300)，

∴代入y=kx+b，得： ，解得： 。

∴线段DE对应的函数解析式为：y=110x-195(2.5≤x≤4.5)。

(3)设线段OA对应的函数解析式为y=mx(0≤x≤5)，

∵A点坐标为(5，300)，代入解析式y=mx得，300=5m，解得：m=60。

∴线段OA对应的函数解析式为y=60x(0≤x≤5)

由60x=110x-195，解得：x=3.9。

∴货车从甲地出发经过3.9小时与轿车相遇，即轿车从甲地出发后经过2.9小时追上货车。

答：轿车从甲地出发后经过2.9小时追上货车。

【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)利用图象得出CD这段时间为2.5-2=0.5，得出答案即可。

(2)由D点坐标(2.5，80)，E点坐标(4.5，300)，用待定系数法求出线段DE对应的函数

解析式。

(3)用待定系数法求出OA的解析式，列60x=110x-195时，求解减去1小时即为轿车追上货车的时间。

7. (2012江苏南通14分)如图，经过点A(0，-4)的抛物线y= 1 2x2+bx+c与x轴相交于点B(-0，0)和C，O为坐标原点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)将抛物线y= 1 2x2+bx+c向上平移 7 2个单位长度、再向左平移m(m>0)个单位长度，得到新抛物

线.若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围;

(3)设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的长.

【答案】解：(1)将A(0，-4)、B(-2，0)代入抛物线y= 1 2x2+bx+c中，得：

，解得， 。

∴抛物线的解析式：y= 1 2x2-x-4。源:]

(2)由题意，新抛物线的解析式可表示为： ，

即： 。它的顶点坐标P(1-m，-1)。

由(1)的抛物线解析式可得：C(4，0)。

∴直线AB：y=-2x-4;直线AC：y=x-4。

当点P在直线AB上时，-2(1-m)-4=-1，解得：m= ;

当点P在直线AC上时，(1-m)+4=-1，解得：m=-2;

又∵m>0，

∴当点P在△ABC内时，0

(3)由A(0，-4)、B(4，0)得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形。

如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°。

∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，

即∠ONB=∠OMB。

如图，在△ABN、△AM1B中，

∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，

∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN•AM1;

由勾股定理，得AB2=(-2)2+42=20，

又AN=OA-ON=4-2=2，

∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1-OA=10-4=6。

而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，∴OM1=OM2=6，AM2=OM2-OA=6-4=2。

综上，AM的长为6或2。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】(1)该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解。

(2)首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，从而用m表示出该函数的顶点坐标，将其

代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围。

(3)先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点;以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长。

8. (2012江苏苏州10分)如图，已知抛物线 (b是实数且b>2)与x轴的正半轴

分别交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴的正半轴交于点C.

⑴点B的坐标为 ▲ ，点C的坐标为 ▲ (用含b的代数式表示);

⑵请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角

顶点的等腰直角三角形?如果存在，求出点P的坐标;如果不存在，请说明理由;

⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形

均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在，求出点Q的坐标;如果不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)B(b，0)，C(0， )。

(2)假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶

点的等腰直角三角形。

设点P坐标(x，y)，连接OP，

则

∴ 。

过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，

∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°。∴四边形PEOD是矩形。∴∠EPD=90°。

∵△PBC是等腰直角三角形，∴PC=PB，∠BPC=90°。

∴∠EPC=∠BPD。∴△PEC≌△PDB(AAS)。∴PE=PD，即x=y。

由 解得， 。

由△PEC≌△PDB得EC=DB，即 ，解得 符合题意。

∴点P坐标为( ， )。

(3)假设存在这样的点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.

∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB>∠AOQ，∠QAB>∠AQO.

∴要使得△QOA和△QAB相似，只能∠OAQ=∠QAB=90°，即QA⊥x轴。

∵b>2，∴AB>OA. ∴∠QOA>∠QBA，∴∠QOA=∠AQB，此时∠OQB =90°。

由QA⊥x轴知QA∥y轴，∴∠COQ=∠OQA。

∴要使得△QOA和△OQC相似，只能∠OCQ=90°或∠OQC=90°。

(Ⅰ)当∠OCQ=90°时，△QOA≌△OQC，∴AQ=CO= 。

由 得： ，解得： 。

∵b>2，∴ 。∴点Q坐标为(1， ).

(Ⅱ)当∠OQC=90°时，△QOA∽△OCQ，∴ ，即 。

又 ，∴ ，即 ，解得：AQ=4

此时b=17>2符合题意。∴点Q坐标为(1，4)。

综上可知：存在点Q(1， )或(1，4)，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任

意两个三角形均相似。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)令y=0，即 ，解关于x的一元二次方程即可求出A，B横坐标，令

x=0，求出y的值即C的纵坐标。

(2)存在，先假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直

角顶点的等腰直角三角形.设点P的坐标为(x，y)，连接OP，过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，利用已知条件证明△PEC≌△PDB，进而求出x和y的值，从而求出P的坐标。

(3)存在，假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似，

由条件可知：要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴;要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°。再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可。

9. (2012江苏宿迁12分)如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线l1:y= x与直线l2：y=-x+6相交于点M，直线l2与x轴相较于点N.

(1) 求M，N的坐标;

(2) 在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个

单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S.移动的时间为t(从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束)。直接写出S与自变量t之间的函数关系式(不需要给出解答过程);

(3) 在(2)的条件下，当t为何值时，S的值最大?并求出最大值.

【答案】解：(1)解 得 。∴M的坐标为(4，2)。

在y=-x+6中令y=0得x=6，∴N的坐标为(6，0)。

(2)S与自变量t之间的函数关系式为：

(3)当0≤t≤1时，S的最大值为 ，此时t=1。

当1

当4

∴S的最大值为 ，此时t= 。

当5

当6

综上所述，当t= 时，S的值最大，最大值为 。

【考点】一次函数综合题，平移问题，直线上点的坐标与方程的关系，一次函数和二次函数的最值。

【分析】(1)联立两直线方程即可求得M的坐标，在y=-x+6中令y=0即可求得N的坐标。

(2)先求各关键位置，自变量t的情况：

起始位置时，t=0;当点A与点O重合时，如图1，t=1;当点C与点M重合时，如图2，t=4;当点D与点M重合时，如图3，t=5;当点B与点N重合时，如图4，t=6;结束位置时，点A与点N重合，t=7。

①当0≤t≤1时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积(不含t=0)，三角形的底为t，高为 ，∴ 。

②当1

③当4

∴ 。

④当5

6-t ，下底为7-t，高为1。∴ 。

⑤当6

(3)分别讨论各分段函数的最大值而得所求。

10. (2012江苏泰州10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分

别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数 的图象经过B、C两点.

(1)求该二次函数的解析式;

(2)结合函数的图象探索：当y>0时x的取值范围.

【答案】解：(1)∵正方形OABC的边长为2，∴点B、C的坐标分别为(2，2)，(0，2)，

将点B、C的坐标分别代入 得

，解得 。

∴二次函数的解析式为 。

(2)令y=0，则 ，整理得，x2-2x-3=0，

解得x1=-1，x2=3。

∴二次函数图象与x轴的交点坐标为(-1，0)(3，0)。

∴当y>0时，二次函数图象在x轴的上方，x的取值范围是-1

【考点】二次函数综合题，正方形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数图象与x轴的交点问题。

【分析】(1)根据正方形的性质得出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式解答。

(2)令y=0求出二次函数图象与x轴的交点坐标，再根据y>0，二次函数图象在x轴的上

方写出c的取值范围即可。

11. (2012江苏泰州12分) 如图，已知一次函数 的图象与x轴相交于点A，与反比例函数

的图象相交于B(-1，5)、C( ，d)两点.点P(m，n)是一次函数 的图象上的动点.

(1)求k、b的值;

(2)设 ，过点P作x轴的平行线与函数 的图象相交于点D.试问△PAD的面积是

否存在最大值?若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标;若不存在，请说明理由;

(3)设 ，如果在两个实数m与n之间(不包括m和n)有且只有一个整数，求实数a的取值

范围.

【答案】解：(1)将点B 的坐标代入 ，得 ，解得 。

∴反比例函数解析式为 。

将点C( ，d)的坐标代入 ，得 。∴C( ，-2)。

∵一次函数 的图象经过B(-1，5)、C( ，-2)两点，

∴ ，解得 。

(2)存在。

令 ，即 ，解得 。∴A( ，0)。

由题意，点P(m，n)是一次函数 的图象上的动点，且

∴点P在线段AB 上运动(不含A、B)。设P( )。

∵DP∥x轴，且点D在 的图象上，

∴ ，即D( )。

∴△PAD的面积为 。

∴S关于n的二次函数的图象开口向下，有最大值。

又∵n= ， ，得 ，而 。

∴当 时，即P( )时，△PAD的面积S最大，为 。

(3)由已知，P( )。

易知m≠n，即 ，即 。

若 ，则 。

由题设， ，解出不等式组的解为 。

若 ，则 。

由题设， ，解出不等式组的解为 。

综上所述，数a的取值范围为 ， 。

【考点】反比例函数和一次函数综合问题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的性质，二次函数的性质，不等式组的应用。

【分析】(1)根据曲线上点的坐标与方程的关系，由B 的坐标求得 ，从而得到 ;由点C在 上求得 ，即得点C的坐标;由点B、C在 上，得方程组，解出即可求得k、b的值。

(2)求出△PAD的面积S关于n的二次函数(也可求出关于m)，应用二次函数的最值原理即可求得面积的最大值及此时点P的坐标。

(3)由m≠n得到 。分 和 两种情况求解。

12. (2012江苏无锡8分)如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A.B.C.D四个顶点正好重合于上底面上一点).已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x(cm).

(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V;

(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大，试问x应取何值?

【答案】解：(1)根据题意，知这个正方体的底面边长a= x，EF= a=2x，

∴x+2x+x=24，解得：x=6。则 a=6 ，

∴V=a3=(6 )3=432 (cm3);

(2)设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a= x， ，

∴S=4ah+a2= 。

∵0

【考点】二次函数的应用。

【分析】(1)根据已知得出这个正方体的底面边长a= x，EF= a=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V。

(2)利用已知表示出包装盒的表面，从而利用函数最值求出即可。

13. (2012江苏徐州8分)二次函数 的图象经过点(4，3)，(3，0)。

(1)求b、c的值;

(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴;

(3)在所给坐标系中画出二次函数 的图象。

【答案】解：(1)∵二次函数 的图象经过点(4，3)，(3，0)，

∴ ，解得 。

(2)∵该二次函数为 。

∴该二次函数图象的顶点坐标为(2，-1)，对称轴为x=1。

(3)列表如下：

x ••• 0 1 2 3 4 •••

y ••• 3 0 1 0 3 •••

描点作图如下：

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，描点作图。

【分析】(1)根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将(4，3)，(3，0)代入 得关于b、c的方程组，解之即得。

(2)求出二次函数的顶点式(或用公式法)即可求得该二次函数图象的顶点坐标和对称轴。

(3)描点作图。

14. (2012江苏徐州8分)为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元;若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交 元。某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元;4月份用电45千瓦时，交电费20元。

(1)求a的值;

(2)若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时?

【答案】解：(1)根据3月份用电80千瓦时，交电费35元，得，

，即 。

解得a=30或a=50。

由4月份用电45千瓦时，交电费20元，得，a≥45。

∴a=50。

(2)设月用电量为x千瓦时，交电费y元。则

∵5月份交电费45元，∴5月份用电量超过50千瓦时。

∴45=20+0.5(x-50)，解得x=100。

答：若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为100千瓦时。

【考点】一元二次方程和一次函数的应用。

【分析】(1)根据3月份用电80千瓦时，交电费35元列出方程求解，结合4月份用电45千瓦时，交电费20元，确定a的范围，从而得出结果。

(2)列出电费y元与用电量x千瓦时的函数关系式，根据5月份交电费45元，代入即可。

15. (2012江苏盐城12分)

知识迁移： 当 且 时，因为 ≥ ,所以 ≥ ,从而 ≥ (当

时取等号).记函数 ,由上述结论可知：当 时,该函数有最小值为 .

直接应用：已知函数 与函数 , 则当 _________时, 取得最小值

为_________.

变形应用：已知函数 与函数 ,求 的最小值,并指出取得该

最小值时相应的 的值.

实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共 元;二是燃油费,每

千米为 元;三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为 .设该汽车一次运输的路程为 千米,

求当 为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低?最低是多少元?

【答案】解：直接应用：1;2 。

变形应用：∵ ，

∴ 有最小值为 。

当 ，即 时取得该最小值。

实际应用：设该汽车平均每千米的运输成本为 元，则

，

∴当 (千米)时,

该汽车平均每千米的运输成本 最低，

最低成本为 元。

【考点】二次函数的应用，几何不等式。

【分析】直接运用：可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果：

∵函数 ,由上述结论可知：当 时,该函数有最小值为 ，

∴函数 与函数 ，则当 时， 取得最小值为 。

变形运用：先得出 的表达式，然后将 看做一个整体，再运用所给结论即可。

实际运用：设该汽车平均每千米的运输成本为 元，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所

给的结论即可得出答案。

16. (2012江苏盐城12分)在平面直角坐标系 中，已知二次函数 的图象经过点 和点 ，直线 经过抛物线的顶点且与 轴垂直，垂足为 .

(1) 求该二次函数的表达式;

(2) 设抛物线上有一动点 从点 处出发沿抛物线向上运动,其纵坐标 随时间

≥ )的变化规律为 .现以线段 为直径作 .

①当点 在起始位置点 处时，试判断直线 与 的位置关系，并说明理由;在点 运动的过

程中，直线 与 是否始终保持这种位置关系? 请说明你的理由;

②若在点 开始运动的同时，直线 也向上平行移动，且垂足 的纵坐标 随时间 的变化规律为

，则当 在什么范围内变化时，直线 与 相交? 此时，若直线 被 所截得的弦长为 ,试求 的最大值.

【答案】解：(1)将点 和点 的坐标代入 ,得

，解得 。

∴二次函数的表达式为 。

(2)①当点 在点 处时，直线 与 相切。理由如下：

∵点 ，∴圆心的坐标为 ， 的半径为 。

又抛物线的顶点坐标为(0，-1)，即直线 上所有点的巫坐标均为-1，从而圆心 到直线 的距离为 。

∴直线 与 相切。

在点 运动的过程中，直线 与 始终保持相切的位置关系。理由如下：

设点 ，则圆心的坐标为 ，

∴圆心 到直线 的距离为 。

又∵ ，∴ 。

则 的半径为 。

∴直线 与 始终相切。

②由①知 的半径为 ，

又∵圆心 的纵坐标为 ，直线 上的点的纵坐标为 ，

∴(ⅰ)当 ≥ ,即 ≤ 时，圆心 到直线 的距离为

。

则由 ，得 ，解得 ,

∴此时 ≤ 。

(ⅱ)当 < ,即 > 时, 圆心 到直线 的距离为

。

则由 ,得 ，解得 。

∴此时 < 。

综上所述，当 时,直线 与 相交。

∵当 时，圆心 到直线 的距离为 ，又半径为 ，∴ 。

∴当 时, 取得最大值为 。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆的位置关系，勾股定理，点到直线的距离，二次函数的性质。

【分析】(1)所求函数的解析式中有两个待定系数，直接将点 和点 坐标代入即可得解。

(2)①由于 是 的直径，由 点的纵坐标可表示出 点的纵坐标，从而能表示出 到直线 的距离， 长易得。然后通过比较 的半径和 到直线 的距离，即可判定直线 与 的位置关系。

②该题要分两问来答，首先看第一问;该小题的思路和①完全一致，唯一不同的地方：要注意直线 与 的位置关系(需要考虑到 到直线 的表达方式)。

在第二问中， 最大，那么求出 关于 的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可求解。

17. (2012江苏扬州12分)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的函数关系式;

(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标;

(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形?若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)∵A(-1，0)、B(3，0)经过抛物线y=ax2+bx+c，

∴可设抛物线为y=a(x+1)(x-3)。

又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3=a(0+1)(0-3)，即a=-1。

∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3)，即y=-x2+2x+3。

(2)连接BC，直线BC与直线l的交点为P。

则此时的点P，使△PAC的周长最小。

设直线BC的解析式为y=kx+b，

将B(3，0)，C(0，3)代入，得：

，解得： 。

∴直线BC的函数关系式y=-x+3。

当x-1时，y=2，即P的坐标(1，2)。

(3)存在。点M的坐标为(1， )，(1，- )，(1，1)，(1，0)。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段中垂线的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质。

【分析】(1)可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可。

(2)由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点。

(3)由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、②AC=MC;可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解：

∵抛物线的对称轴为： x=1，∴设M(1，m)。

∵A(-1，0)、C(0，3)，∴MA2=m2+4，MC2=m2-6m+10，AC2=10。

①若MA=MC，则MA2=MC2，得：m2+4=m2-6m+10，得：m=1。

②若MA=AC，则MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=± 。

③若MC=AC，则MC2=AC2，得：m2-6m+10=10，得：m=0，m=6，

当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去。

综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1， )，(1，- )，(1，1)，(1，0)。

18. (2012江苏扬州12分)如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=2，OC=1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H.

(1)①直接写出点E的坐标：　　.

②求证：AG=CH.

(2)如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式.

(3)在(2)的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径.

【答案】解：(1)① (1， )。

②证明：∵四边形OABC是矩形，∴CE=AE，BC∥OA。∴∠HCE=∠GAE。

∵在△CHE和△AGE中，∠HCE=∠GAE， CE=AE，∠HEC=∠G EA，

∴△CHE≌△AGE(ASA)。∴AG=CH。

(2)连接DE并延长DE交CB于M，连接AC，

则由矩形的性质，点E在AC上。

∵DD=OC=1= OA，∴D是OA的中点。

∵在△CME和△ADE中，

∠MCE=∠DAE， CE=AE，∠MEC=∠DEA，

∴△CME≌△ADE(ASA)。∴CM=AD=2-1=1。

∵BC∥OA，∠COD=90°，∴四边形CMDO是矩形。∴MD⊥OD，MD⊥CB。

∴MD切⊙O于D。

∵HG切⊙O于F，E(1， )，∴可设CH=HF=x，FE=ED= =ME。

在Rt△MHE中，有MH2+ME2=HE2，即(1-x)2+( )2=( +x)2，解得x= 。

∴H( ，1)，OG=2- 。∴G( ，0)。

设直线GH的解析式是：y=kx+b，

把G、H的坐标代入得： ，解得： 。

∴直线GH的函数关系式为 。

(3)连接BG，

∵在△OCH和△BAG中，

CH=AG，∠HCO=∠GAB，OC=AB，

∴△OCH≌△BAG(SAS)。∴∠CHO=∠AGB。

∵∠HCO=90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F。

∴OH平分∠CHF。∴∠CHO=∠FHO=∠BGA。

∵△CHE≌△AGE，∴HE=GE。

∵在△HOE和△GBE中，HE=GE，∠HEO=∠GEB，OE=BE，

∴△HOE≌△GBE(SAS)。∴∠OHE=∠BGE。21世纪教育网

∵∠CHO=∠FHO=∠BGA，∴∠BGA=∠BGE，即BG平分∠FGA。

∵⊙P与HG、GA、AB都相切，∴圆心P必在BG上。

过P做PN⊥GA，垂足为N，则△GPN∽△GBA。∴ 。

设半径为r，则 ，解得 。

答：⊙P的半径是 .

【考点】一次函数综合题，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，切线的判定和性质，勾股定理，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，角平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1))①根据矩形的性质和边长即可求出E的坐标。

②推出CE=AE，BC∥OA，推出∠HCE=∠EAG，证出△CHE≌△AGE即可。

(2)连接DE并延长DE交CB于M，求出DD=OC= OA，证△CME≌△ADE，推出四边形CMDO是矩形，求出MD切⊙O于D，设CH=HF=x，推出(1-x)2+( )2=( +x)2，求出H、G的坐标，设直线GH的解析式是y=kx+b，把G、H的坐标代入求出即可。

(3)连接BG，证△OCH≌△BAG，求出∠CHO=∠AGB，证△HOE≌△GBE，求出∠OHE=∠BGE，得出BG平分∠FGA，推出圆心P必在BG上，过P做PN⊥GA，垂足为N，根据△GPN∽△GBA，得出 ，设半径为r，代入求出即可。

19. (2012江苏镇江6分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线 在第一象限交于点C(1，m)。

(1)求m和n的值;

(2)过x轴上的点D(3，0)作平行于y轴的直线l，分别与直线AB和双曲 线交于点P、Q，求

△APQ的面积。

【答案】解：(1)∵点C(1，m)在双曲线 上，∴ 。

将点C(1，4)代入 ，得 ，解得 。

(2)在 中，令 ，得 ，∴A(-1，0)。

将 分别代入 和 ，得P(3，8)。Q(3， )。

∴AD=3-(-1)=4，PQ= 。

∴△APQ的面积= 。

【考点】反比例函数和一次函数交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)由已知条件，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，先将点C的坐标代入 ，求出m的值，再将C(1，4)代入 即可求出n的值。

(2)求出点A、P、Q的坐标即可得到△APQ的边PQ和PQ上的高AD的长，即可求得△APQ的面积。

20. (2012江苏镇江8分)甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5小时后乙开始出发，结果比甲早1小时到达B地。如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离s(千米)与时间t(小时)的关系，a表示A、B两地间的距离。请结合图象中的信息解决如下问题：

(1)分别计算甲、乙两车的速度及a的值;

(2)乙车到达B地后以原速度立即返回，请问甲车到达B地后以多大的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地?并在图中画出甲、乙两车在返回过程中离地的距离s(千米)与时间t(小时)的函数图象。

【答案】解：(1)由图知，甲车的速度为 (千米/小时)，乙车的速度为 (千米/小时)。

根据题意，得 ，解得a=180(千米)。

(2)设甲车返回的速度为x千米/小时，则 ，解得x=90。

经检验，x=90是方程的解并符合题意，

∴甲车到达B地后以90千米/小时的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地。

甲、乙两车在返回过程中离地的距离s(千米)与时间t(小时)的函数图象如图：

【考点】一次函数和方程的应用。

【分析】(1)由图结合已知甲出发0.5小时后乙开始出发，可求出甲、乙两车的速度。

根据时间列出方程求解即可得a的值(也可用路程相等列出方程求解)。

应用函数求解如下：由题意知M(0.5，0)，

由点O、P、M的坐标用待定系数法求得线段OP、MN表示的函数关系式分别为：

。

设N(t，a)，P(t+1，a))，代入函数关系式，得

，解得 。

(2)根据时间列出方程求解即可求解(也可用路程相等列出方程 求解)。

应用函数求解如下：如图，线段PE、NE分别表示甲、乙两车在返回过程中离地的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系，点E的横坐标为 。

若两车同时返回A地，则甲车返回时需用的时间为 (小时)。

∴甲车返回时的速度为180÷2=90(千米/小时)。

根据E点的坐标，连接PE、NE即可得甲、乙两车在返回过程中离地的距离s(千米)与时间t(小时)的函数图象。

21. (2012江苏镇江9分)对于二次函数 和一次函数 ，把 称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E。现有点A(2，0)和抛物线E上的点B(-1，n)，请完成下列任务：

【尝试】

(1)当t=2时，抛物线 的顶点坐标为 ▲ 。

(2)判断点A是否在抛物线E上;

(3)求n的值。

【发现】通过(2)和(3)的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为 ▲ 。

【应用1】二次函数 是二次函数 和一次函数 的一个“再生二次函数”吗?如果是，求出t的值;如果不是，说明理由;

【应用2】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，或抛物线E经过A、B、C、D其中的一点，求出所有符合条件的t的值。

【答案】解：【尝试】(1)(1，-2)。

(2)点A在抛物线E上，理由如下：

将x=2代入 得y=0。

∴点A在抛物线E上。

(3)将(-1，n)代入 得

。

【发现】A(2，0)和B(-1，6)。

【应用1】不是。

∵将x=-1代入 ，得 ，

∴二次函数 的图象不经过点B。

∴二次函数 不是二次函数 和一次函数 的一个“再生二次函数”。

【应用2】如图，作矩形ABC1D1和ABC2D2，过点B作BK⊥y轴于点K，过点D1作D1G⊥x轴于点G，过点C2作C2H⊥y轴于点H，过点B作BM⊥x轴于点M，C2H与BM相交于点T。

易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC1∽△NBA，

则 ，即 ，得 。

∴C1(0， )。

易得△KBC1≌△GAD1，得AG=1，GD1= 。∴D1(3， )。

易得△OAD2∽GAD1，则 ，

由AG=1，OA=2，GD1= 得 ，得OD2=1。∴D2(0，-1)。

易得△TBC2≌△OD2A，得TC2=AO=2，BT==OD2=1。∴C2(-3，5)。

∵抛物线E总过定点A、B，∴符合条件的三点只可能是A、B、C或A、B、D。

当抛物线经过A、B、C1时，将C1(0， )代入 得 ;

当抛物线经过A、B、D1时，将D1(3， )代入 得 ;

当抛物线经过A、B、C2时，将C2(-3，5)代入 得 ;

当抛物线经过A、B、D2时，将D2(0，-1)代入 得 。

∴满足条件的所有t值为 ， ， ， 。

【考点】新定义，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质。

【分析】【尝试】(1)当t=2时，抛物线为 ，∴抛物线的顶点坐标为(1，-2)。

(2)根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。

(3)根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将(-1，n)代入函数关系式 即可求得n的值。

【发现】由(1)可得。

【应用1】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。

【应用2】根据条件，作出矩形，求出各点坐标，根据新定义求出t的值。 

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