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 2013年图形的变换中考数学题分类解析

一、选择题

1. (2012江苏常州2分)如图所示，由三个相同的小正方体组成的立体图形的主视图是【 】

【答案】B。

【考点】简单组合体的三视图。

【分析】找到从正面看所得到的图形即可：从正面看易得上层右边有1个正方形，下层有2个正方形。故选B。

2. (2012江苏淮安3分)如图所示几何体的俯视图是【 】

【答案】B。

【考点】简单组合体的三视图。

【分析】找到从上面看所得到的图形即可：从上面看易得有1个长方形，长方形内左侧有1个圆形。故选B。

3. (2012江苏连云港3分)用半径为2cm的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为【 】

A.1cm B.2cm C.πcm D.2πcm

【答案】A。

【考点】圆锥的计算。

【分析】根据半圆的弧长=圆锥的底面周长，则圆锥的底面周长=2π，∴底面半径=2π÷2π=1cm。故选A。

4. (2012江苏南京2分)如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’F CD时， 的值为【 】

A. B. C. D.

【答案】A。

【考点】翻折变换(折叠问题)，菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】延长DC与A′D′，交于点M，

∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，

∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。

∴∠D=180°-∠A=120°。

根据折叠的性质，可得

∠A′D′F=∠D=120°，

∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。

∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。

∵∠BCM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM-∠M=30°。∴∠CBM=∠M。

∴BC=CM。

设CF=x，D′F=DF=y， 则BC=CM=CD=CF+DF=x+y。∴FM=CM+CF=2x+y，

在Rt△D′FM中，tan∠M=tan30°= ，∴ 。

∴ 。故选A。

5. (2012江苏南通3分)如图，在△ABC中，∠ACB=90º，∠B=30º，AC=1，AC在直线l上.将△ABC

绕点A顺时针旋转到位置①，可得到点P1，此时AP1=2;将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，

可得到点P2，此时AP2=2+3;将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3

=3+3;…，按此规律继续旋转，直到得到点P2012为止，则AP2012=【 】

A.2011+6713 B.2012+6713 C.2013+6713 D.2014+6713

【答案】B。

【考点】分类归纳(图形的变化类)，旋转的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。

【分析】寻找规律，发现将Rt△ABC绕点A，P1，P2，•••顺时针旋转，每旋转一次， APi(i=1,2,3,•••)

的长度依次增加2， 3 ，1，且三次一循环，按此规律即可求解：

∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，BC=3。

根据旋转的性质，将Rt△ABC绕点A，P1，P2，•••顺时针旋转，每旋转一次， APi(i=1,2,3,•••)

的长度依次增加2， 3 ，1，且三次一循环。

∵2012÷3==670…2，

∴AP2012=670(3+ 3 )+2+ 3=2012+671 3。故选B。

6. (2012江苏宿迁3分)如图是一个用相同的小立方块搭成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小立方块的个数是【 】

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】C。

【考点】由三视图判断几何体。

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，从三视图看，该几何体有一行三列两层，上层有1个小立方块，下层有3个小立方块，计有4个小立方块。故选C。

7. (2012江苏泰州3分)用4个小立方块搭成如图所示的几何体，该几何体的左视图是【 】

【答案】A。

【考点】简单组合体的三视图。

【分析】找到从左面看所得到的图形即可：从左面看易得共一排，上下边各有1个正方形。故选A。

8. (2012江苏盐城3分)如图是一个由3个相同的正方体组成的立体图形，则它的主视图为【 】

【答案】A。

【考点】简单组合体的三视图。

【分析】找到从正面看所得到的图形即可：从正面看易得第一层左边有2个正方形，右边有1个正方形。故选A。

9. (2012江苏扬州3分)如图是由几个相同的小立方块搭成的几何体的三视图，则这几个几何体的小立方块的个数是【 】

A.4个 B.5个 C.6个 D.7个

【答案】B。

【考点】由三视图判断几何体。

【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三列，底层应该有3+1=4个小正方体，第二层应该有1个小正方体，共有5个小正方体。故选B。

二、填空题

2. (2012江苏常州2分)已知扇形的半径为3 cm，圆心角为1200，则此扇形的的弧长是 ▲ cm，扇形的面积是 ▲ cm2(结果保留π)。

【答案】 ， 。

【考点】扇形的的弧长和面积。

【分析】直接根据扇形的的弧长和面积公式计算即可：

扇形的的弧长= (cm)，扇形的面积= (cm2)。

3. (2012江苏淮安3分)若圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则此圆锥的侧面积为 ▲ cm2。

【答案】10π。

【考点】圆锥的计算。

【分析】由圆锥的底面半径为2cm得圆锥的底面周长为4π;由母线长为5cm，根据圆锥的侧面积公式，得，圆锥的侧面积= (cm2)。

4. (2012江苏苏州3分)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于 ，则该扇形的半径是 ▲ .

【答案】2。

【考点】弧长的计算。

【分析】根据弧长的公式 ，得 ，即该扇形的半径为2。

5. (2012江苏宿迁3分)如图，SO，SA分别是圆锥的高和母线，若SA=12cm，∠ASO=30°，则这个圆锥的侧面积是 ▲ cm2.(结果保留π)

【答案】 。

【考点】圆锥的计算。

【分析】∵SO，SA分别是圆锥的高和母线， SA=12，∠ASO=30°，∴OA=6。

∴圆锥的底面周长为12π。∴圆锥的侧面积= (cm2.)。

6. (2012江苏宿迁3分)如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C’，D’处，C’E交AF于点G.若∠CEF=70°，则∠GFD’= ▲ °.

【答案】40。

【考点】折叠问题矩形的性质，平行的性质。

【分析】根据折叠的性质，得∠DFE=∠D’FE。

∵ABCD是矩形，∴AD∥BC。∴∠GFE=∠CEF=70°，∠DFE=1800-∠CEF=110°。

∴∠GFD’=∠D’FE-∠GFE=110°-70°=40°。

7. (2012江苏宿迁3分)按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 ▲ .

【答案】365。

【考点】分类归纳(图形的变化类)。寻找规律，

【分析】画树状图：记第n个图案中黑色小正方形地砖的块数是an，则

∴an-an-1=4(n-1)(n=2，3，4，•••)，

∴(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+•••+(an-an-1)=4+8+•••+4(n-1)，

即an-a1=4[1+2+3+•••+(n-1)]=

∴an= +a1= 。

当n=14时，a14 = 。

8. (2012江苏无锡2分)如图，△ABC中，∠C=30°.将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB=　 ▲ 　°.

【答案】90。

【考点】旋转的性质，三角形外角性质。

【分析】根据旋转的性质可知∠CAF=60°，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和的性质，得：∠CFA=∠C+∠CAF=90°。

9. (2012江苏盐城3分)如图,在△ABC中，D,、E分别是边AB、AC的中点, ∠B=50°º.现将△ADE沿

DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A1,则∠BDA1的度数为 ▲ °.

【答案】80。

【考点】翻折变换(折叠问题)，折叠对称的性质，三角形中位线定理，平行的性质。

【分析】∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC(三角形中位线定理)。

∴∠ADE=∠B=50°(两直线平行，同位角相等)。

又∵∠ADE=∠A1DE(折叠对称的性质)，∴∠A1DA=2∠B。

∴∠BDA1=180°-2∠B=80°。

10. (2012江苏扬州3分)如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果 ，那么tan∠DCF的值是　▲　.

【答案】 。

【考点】翻折变换(折叠问题)，翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。

【分析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠D=90°，

∵将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，∴CF=BC，

∵ ，∴ 。∴设CD=2x，CF=3x，

∴ 。∴tan∠DCF= 。

11. (2012江苏扬州3分)已知一个圆锥的母线长为10cm，将侧面展开后所得扇形的圆心角是144°，则这个圆锥的底面圆的半径是　▲　cm.

【答案】4。

【考点】圆锥的计算。

【分析】由圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即可求解：

设圆锥底面半径为rcm，则圆锥底面圆周长为2πrcm，即侧面展开图的弧长为2πrcm，

∴ ，解得：r=4。

12. (2012江苏镇江2分)若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则圆锥的侧面积等于 ▲ 。

【答案】 。

【考点】圆锥的计算。

【分析】直接根据圆锥的侧面积公式化计算：

∵圆锥的底面半径为3，∴圆锥的底面周长为6π。

又∵母线长为6，∴圆锥的侧面积为 。

三、解答题

1. (2012江苏常州7分)平面上两条直线AB、CD相交于点O，且∠BOD=1500(如图)，现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：

(1)点O的“距离坐标”为(0，0);

(2)在直线CD上，且到直线AB的距离为p(p>0)的点的“距离坐标”为(p，0);在直线AB上，且到直线CD的距离为q(q>0)的点的“距离坐标”为(0，q);

(3)到直线AB、CD的距离分别为p、q(p>0，q>0)的点的“距离坐标”为(p，q)。

设M为此平面上的点，其“距离坐标”为(m，n)，根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：

(1)画出图形(保留画图痕迹)：

①满足m=1且n=0的点的集合;

②满足m=n的点的集合;

(2)若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满足的关系式。

(说明：图中OI长为一个单位长)

【答案】解：(1)①如图1中，F1，F2即为所求;

②如图2中，两条角平分线即为所求。

(2)如图3，过点M作MH⊥AB于点H。则

根据定义，MH=m，MO=n。

∵∠BOD=1500，∠DOM=900(∵l⊥CD)，

∴ ∠HOM=600。

在Rt△MHO中， ，

∴ ，即 ，即 。

∴ m与n所满足的关系式为 。

【考点】新定义，作图(复杂作图)，含300角直角三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】(1)①以点I为圆心，OI为半径画圆交AB于点E;以点O为圆心，OE为半径画圆交CD于点F1，F2，则F1，F2即为所求。

由作法知，OF1=2OI=2，由∠BOD=1500知∠EOF1=300，根据含300角直角三角形中300角所对边是斜边一半的性质，得点F1到AB的距离m =1，同时点F1在CD上，即n=0。同理，F2的证明。

②分别作∠BOD和∠BOC的平分线，根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，两角平分线上的点满足m=n，故两条角平分线即为所求。

(2)由已知和锐角三角函数定义即可得出m与n所满足的关系式。

2. (2012江苏淮安12分)

阅读理解

如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分;将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分;…;将余下部分沿BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角。

小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情况。情形一：如图2，沿等腰三角形△ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合;情形二：如图3，沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分;将余下的部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合。

探究发现

(1)△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角? (填“是”或“不是”)

(2)小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系。

根据以上内容猜想：若经过n 次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为

应用提升

(3)小丽找到一个三角形，三个角分别为150，600，1050，发现600和1050的两个角都是此三角形的好角，

请你完成，如果一个三角形的最小角是40，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角

【答案】解：(1)是。 (2)∠B=3∠C。

如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平

分线AB1折叠，剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角。

证明如下：

∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，

∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C。

∵根据四边形的外角定理知，

∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1 B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，

根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴∠B=3∠C。

故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为∠B=n∠C。

(3)利用(2)的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角，然后三角形内角和定理可求得另外两个角的度数可以是88°、88°。

3. (2012江苏南通12分)如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，点D是BC边的中点.点P从点B出发，以acm/s(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动;点Q同时以1cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts.

(1)若a=2，△BPQ∽△BDA，求t的值;

(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形.

①若a= 5 2，求PQ的长;

②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上?若存在，请求出a的值;若不存在，请说明

理由.

【答案】解：(1)△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中点，∴BD=CD= BC=6。

∵a=2，∴BP=2t，DQ=t。∴BQ=BD-QD=6-t。

∵△BPQ∽△BDA，∴ ，即 ，解得： 。

(2)①过点P作PE⊥BC于E，

∵四边形PQCM为平行四边形，

∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM。

∴PB：AB=CM：AC。

∵AB=AC，∴PB=CM。∴PB=PQ。

∴BE= BQ= (6-t)。

∵a= 5 2，∴PB= 5 2t。

∵AD⊥BC，∴PE∥AD。∴PB：AB=BE：BD，即 。

解得，t= 。

∴PQ=PB= 5 2t= (cm)。

②不存在.理由如下：

∵四边形PQCM为平行四边形，∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM。

∴PB：AB=CM：AC。

∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ。

若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM，

∵PM∥CQ，∴∠PCQ=∠CPM。∴∠CPM=∠PCM。

∴PM=CM。∴四边形PQCM是菱形。∴PQ=CQ。

∴PB=CQ。

∵PB=at，CQ=BD+QD=6+t，∴PM=CQ=6+t，AP=AB-PB=10-at，且 at=6+t①。

∵PM∥CQ，∴PM：BC=AP：AB，∴ ，化简得：6at+5t=30②。

把①代入②得，t= 。

∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上。

【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行的性质，菱形的判定和性质，反证法。

【分析】(1)由△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，

即可求得BD与CD的长，又由a=2，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值。

(2)①首先过点P作PE⊥BC于E，由四边形PQCM为平行四边形，易证得PB=PQ，又由平行

线分线段成比例定理，即可得方程 ，解此方程即可求得答案。

②用反证法，假设存在点P在∠ACB的平分线上，由四边形PQCM为平行四边形，可得四边形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程组，解此方程组求得t值为负，故可得不存在。

4. (2012江苏宿迁12分)(1)如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE= ∠ABC(0°<∠CBE< ∠ABC)。以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC，得到△BE’A(点C与点A重合，点E到点E’处)，连接DE’。求证：DE’=DE.

(2)如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，

且满足∠DBE= ∠ABC(0°<∠CBE<45°).求证：DE2=AD2+EC2.[来

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【答案】证明：(1)∵△BE’A是△BEC按逆时针方向旋转∠ABC得到，

∴BE’=BE，∠E’BA=∠EBC。

∵∠DBE= ∠ABC，∴∠ABD+∠EBC = ∠ABC。

∴∠ABD+∠E’BA = ∠ABC，即∠E’BD= ∠ABC。∴∠E’BD=∠DBE。

在△E’BD和△EBD中，∵BE’=BE，∠E’BD=∠DBE，BD=BD，

∴△E’BD≌△EBD(SAS)。∴DE’=DE。

(2)以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC=90°，得到△BE’A(点C与点A重合，点E到点E’处)，连接DE’。

由(1)知DE’=DE。

由旋转的性质，知E’A=EC，∠E’ AB=∠ECB。

又∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°。

∴∠E’ AD=∠E’ AB+∠BAC=90°。

在Rt△DE’A中，DE’2=AD2+E’A2，∴DE2=AD2+EC2。

【考点】旋转的性质，等腰(直角)三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】(1)由旋转的性质易得BE’=BE，∠E’BA=∠EBC，由已知∠DBE= ∠ABC经等量代换可得

∠E’BD=∠DBE，从而可由SAS得△E’BD≌△EBD，得到DE’=DE。

(2)由(1)的启示，作如(1)的辅助图形，即可得到直角三角形DE’A，根据勾股定理即可证得结论。

5. (2012江苏泰州10分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2.

(1)在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2;

(2)计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积(重叠部分不重复计算)

【答案】解：(1)如图所示：

(2)∵图中是边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，

∴ 。

∵将△ABC向下平移4个单位AC所扫过的面积是以4为底，以2为高的平行四边形的面积：4×2=8。

再向右平移3个单位AC所扫过的面积是以3为底，以2为高的平行四边形的面积：4×2=6。

当△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°到△A1B2C2时，A1C1所扫过的面积是以A1为圆心以以 为半径，圆心角为90°的扇形的面积，重叠部分是以A1为圆心，以 为半径，圆心角为45°的扇形的面积，去掉重叠部分，面积为：

∴线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积=8+6+π×=14+π。

【考点】作图(平移和旋转变换)，平移和旋转的性质，网格问题，勾股定理，平行四边形面积和扇形面积的计算。

【分析】(1)根据图形平移及旋转的性质画出△A1B1C1及△A1B2C2即可。

(2)画出图形，根据图形平移及旋转的性质分三部分求取面积。

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