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 2013年中考数学方程(组)和不等式(组)试题解析

一、选择题

1. (2012江苏常州2分)已知a、b、c、d都是正实数，且 ，给出下列四个不等式：

① ;② ;③ ;④ 。

其中不等式正确的是【 】

A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③

【答案】A。

【考点】不等式的性质。

【分析】根据不等式的性质，计算后作出判断：

∵a、b、c、d都是正实数，且 ，∴ ，即 。

∴ ，即 ，∴③正确，④不正确。

∵a、b、c、d都是正实数，且 ，∴ 。∴ ，即 。

∴ 。∴①正确，②不正确。

∴不等式正确的是①③。故选A。

2. (2012江苏淮安3分)方程 的解为【 】源:]

A、 B、 C、 D、

【答案】D。

【考点】方程的解，因式分解法解一元二次方程。

【分析】解出方程与所给选项比较即可：

。故选D。

3. (2012江苏泰州3分)某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒.设平均每次降

价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是【 】

A. B.

C. D.

【答案】C。

【考点】一元二次方程的应用(增长率问题)。

【分析】平均每次降价的百分率为x，

第一次降价后售价为36(1-x)，

第二次降价后售价为36(1-x) (1-x)=36(1-x)2。据此列出方程： 。故选C。

4. (2012江苏镇江3分)二元一次方程组 的解是【 】

A. B. C. D.

【答案】B。

【考点】解二元一次方程组。

【分析】 。故选B。

二、填空题

1. (2012江苏常州2分)已知关于x的方程 的一个根是2，则m= ▲ ，另一根为

▲ 。

【答案】1， 。

【考点】方程根的意义，解一元二次方程。

【分析】∵关于x的方程 的一个根是2，∴ ，解得m=1。

∴方程为 ，解得另一根为 。

【本题或用根与系数的关系求解】

2. (2012江苏连云港3分)方程组 的解为　▲　.

【答案】 。

【考点】解二元一次方程组。

【分析】利用①+②可消除y，从而可求出x，再把x的值代入①，易求出y。

，

①+②，得3x=9，解得x=3。

把x=3代入①，得3+y=3，解得y=0。

∴原方程组的解是 。

3. (2012江苏连云港3分)今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调数台，条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为　▲　元.

【答案】2200。

【考点】分式方程的应用。

【分析】设条例实施前此款空调的售价为x元，根据题意得出：

，

解得：x=2200，

经检验得出：x=2200是原方程的解，

则条例实施前此款空调的售价为2200元。

4. (2012江苏南京2分)方程 的解是 ▲

【答案】x=6。

【考点】解分式方程。

【分析】方程最简公分母为： 。故方程两边乘以 ，化为整式方程后求解，并代入检验即可得出方程的根：

去分母得：3(x-2)-2x=0，

去括号得：3x-6-2x=0，

整理得：x=6，

经检验得x=6是方程的根。

5. (2012江苏南通3分)甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元.若购买甲、乙两种电影票共

40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了 ▲ 张.

【答案】20。

【考点】一元一次方程的应用。

【分析】设购买甲电影票x张，乙电影票40-x张，由题意得，

20x+15(40-x)=700 ，解得， x=20 。即甲电影票买了20张。

6. (2012江苏南通3分)设m、n是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根，则m2+4m+n= ▲ .

【答案】4。

【考点】求代数式的值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系。

【分析】∵m、n是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根，

∴m 2+3 m-7=0，即m 2+3 m=7;m+n=-3。

∴m2+4m+n=(m 2+3 m)+(m+n)=7-3=4。

7. (2012江苏宿迁3分)不等式组 的解集是 ▲ .

【答案】1

考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)。因此，

由x-1>0得，x>1;由 得x<2。

∴原不等式组的解集是1

8. (2012江苏无锡2分)方程 的解为　 ▲ 　.

【答案】8。

【考点】解分式方程。

【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是x(x﹣2)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为一元一次方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解：

方程的两边同乘x(x﹣2)，得：4(x﹣2)﹣3x=0，解得：x=8.

检验：把x=8代入x(x﹣2)=48≠0，即x=8是原分式方程的解。故原方程的解为：x=8。

三、解答题

1. (2012江苏常州5分)解方程组： ;

【答案】解： ，

②×3-①，得11y=22，y=2;

将y=1代入②，得x+6=9，x=3。

∴方程组的解为 。

【考点】解二元一次方程组。

【分析】解二元一次方程组的解题思想是消元，方法有加减消元法和代入消元法。本题可用加减消元法，也可将②化为x=9-3 y代入①，消元求解。

2.(2012江苏常州5分)解不等式组： 。

【答案】解： ，

解①，得x>-3，

解②，得x<5。

∴不等式组的解为-3

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)。

3. (2012江苏淮安6分)解不等式组： 。

【答案】解：解 得， ，

解 得， 。

∴不等式组的解为 。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)。

4. (2012江苏淮安10分)某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下：

第一档电量 第二档电量 第三档电量

月用电量210度以下，每度价格0.52元 月用电量210至350度，每度比第一档提价0.05元 月用电量350度以上，每度电比第一档提价0.30元

例：若某户月用电量400度，则需缴电费为

210×0.52+(350-210)×(0.52+0.05)+(400-350)×(0.52+0.30)=230元

(1)如果按此方案计算，小华家5月份电费为138.84元，请你求出小华家5月份的用电量;

(2)依此方案请你回答：若小华家某月的电费为a元，则小华家该月用量属于第几档?

5. (2012江苏连云港6分)解不等式 x-1>2x，并把解集在数轴上表示出来

.

【答案】解：移项得： x-2x>1，

合并同类项得：- x>1，

不等式的两边都乘以-2得：x<-2。

∴原不等式的解集为x<-2。在数轴上表示为：

【考点】解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】移项后合并同类项得出- x>1，不等式的两边都乘以-2即可得出答案。不等式的解集在数轴上表示的方法：>，≥向右画;<，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示;“<”，“>”要用空心圆点表示。

6. (2012江苏南京6分)解方程组

【答案】解： ，

由①得x=-3y-1③，

将③代入②，得3(-3y-1)-2y=8，解得：y=-1。

将y=-1代入③，得x=2。

∴原方程组的解是 。

【考点】解二元一次方程组。

【分析】解二元一次方程组的解题思想是用代入法或加减法消元，化为一元一次方程求解。本题易用代入法求解。先由①表示出x，然后将x的值代入②，可得出y的值，再代入①可得出x的值，继而得出了方程组的解。

7. (2012江苏南京8分)某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部。月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元。

① 若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元;

② 如果汽车的销售价位28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车?(盈利=销售利润+返利)

【答案】解：(1)26.8。 (2)设需要售出x部汽车，

由题意可知，每部汽车的销售利润为：28-[27-0.1(x-1)]=(0.1x+0.9)(万元)，

当0≤x≤10，根据题意，得x•(0.1x+0.9)+0.5x=12，整理，得x2+14x-120=0，

解这个方程，得x1=-20(不合题意，舍去)，x2=6。

当x>10时，根据题意，得x•(0.1x+0.9)+x=12，整理，得x2+19x-120=0，

解这个方程，得x1=-24(不合题意，舍去)，x2=5。

∵5<10，∴x2=5舍去。

答：要卖出6部汽车。

【考点】一元二次方程的应用。

【分析】(1)根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：27-0.1×2=26.8。，

(2)利用设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润，根据当0≤x≤10，以及当x>10时，分别讨论得出即可。

8. ((2012江苏南京9分)“?”的思考

下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅。

我的结果也正确

小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打开了一个“?”

结果为何正确呢?

(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：

变化一下会怎样……

(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件?请说明理由.

【答案】解：(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由。

在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm.”前补充以下过程：

设温室的宽为ym，则长为2ym。

则矩形蔬菜种植区域的宽为(y-1-1)m，长为(2y-3-1)m。

∵ ，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1。

(2)a+c b+d =2。理由如下：

要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要 ，即 ，

即 ，即a+c b+d =2。

【考点】一元二次方程的应用(几何问题)，相似多边形的性质，比例的性质。

【分析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可。

(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得 ，然后利用比例的性质。

9. (2012江苏苏州5分)解不等式组： 。

【答案】解：

由不等式①得，x<2，

由不等式②得，x≥-2，

∴不等式组的解集为-2≤x<2。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)。

10. (2012江苏苏州6分)解分式方程：

【答案】解：去分母得：3x+x+2=4，

解得：x= 。

经检验，x= 是原方程的解。

∴原方程的解为，x= 。

【考点】解分式方程。

【分析】两边同乘分式方程的最简公分母 ，将分式方程转化为整式方程，再解答，然后检验。

11. (2012江苏苏州6分)我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的 ，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13800m3，问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少(单位：m3)?

【答案】解：设中国人均淡水资源占有量为xm3，则美国人均淡水资源占有量为5xm3。

根据题意得： x +5x =13800，解得，x=2300 ，5 x =11500。

答：中、美两国人均淡水资源占有量各为2300m3，11500m3。

【考点】一元一次方程的应用。

【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：

中、美两国人均淡水资源占有量之和为13800m3

x +5x = 13800。

12. (2012江苏宿迁8分)解方程

【答案】解：去分母，得x-1+x+1=0，

∴x=0。

经检验，x=0是原方程的根。

∴原方程的解为x=0。

【考点】解分式方程。

【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是(x+1)(x-1)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解。

13. (2012江苏宿迁10分)某学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，共用了6.5h;原路返回时，汽车以40km/h的速度下坡，又以50km/h的速度走平路，共用了6 h。问平路和坡路各有多远?

【答案】解：设平路有x km ，坡路有y km，根据题意，得

，解得 。

答：平路有150 km ，坡路有120 km。

【考点】二元一次方程组的应用(行程问题)。

【分析】方程(组)的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：

(1)以60km/h的速度走平路的时间+以30km/h的速度爬坡的时间=6.5 h;

(2)以40km/h的速度下坡的时间+以50km/h的速度走平路的时间=6 h。

14. (2012江苏泰州8分) 当x为何值时，分式 的值比分式 的值大3 ?

15. (2012江苏无锡4分)解方程：x2﹣4x+2=0

【答案】解：∵△=42﹣4×1×2=8，∴ ，

∴原方程的解为 。

【考点】公式法解一元二次方程。

【分析】首先找出方程中得a、b、c，再根据公式法求出b2﹣4ac的值，用公式计算，即可得到答案。

16.(2012江苏无锡4分)解不等式组： .

【答案】解： ，

由①得x≤2，

由②得x>﹣2，

∴原不等式组的解集是﹣2

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)。

17. (2012江苏无锡8分)某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：

投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：

方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%.

方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用.

(1)请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高?为什么?(注：投资收益率= ×100%)

(2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元.问：甲、乙两人各投资了多少万元?

【答案】解：(1)设商铺标价为x万元，则

按方案一购买，则可获投资收益(120%﹣1)•x+x•10%×5=0.7x，

投资收益率为 ×100%=70%。

按方案二购买，则可获投资收益(120%﹣0.85)•x+x•10%×(1﹣10%)×3=0.62x，

投资收益率为 ×100%≈72.9%。

∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高。

(2)由题意得0.7x﹣0.62x=5， 解得x=62.5

∴甲投资了62.5万元，乙投资了62.5×80%=53.125万元。

【考点】列代数式，一元一次方程的应用。

【分析】(1)利用方案的叙述，可以得到投资的收益，即可得到收益率，即可进行比较。

(2)利用(1)的表示，根据二者的差是5万元，即可列方程求解。

18. (2012江苏徐州5分)解不等式组： 。

【答案】解： ，

由①得，x<5;由②得，x>3。

∴不等式组的解为3

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)。

19. (2012江苏徐州6分)某校为了进一步开展“阳光体育”活动，计划用2000元购买乒乓球拍，用2800元购买羽毛球拍。已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵14元。该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同吗?请说明理由。

【答案】解：不能相同。理由如下：

假设能相等，设兵乓球每一个x元，羽毛球就是x+14。

∴得方程 ，解得x=35。

但是当x=35时，2000÷35不是一个整数，这不符合实际情况，不可能球还能零点几个地买，所以不可能。

【考点】分式方程的应用。

【分析】假设能相等，列方程求出此时兵乓球的价格，用金额÷价格=数量不是一个整数，说明不可能。

20. (2012江苏盐城8分) 解方程:

【答案】解：去分母，得 ，

解之得， 。

检验: 当 时， 。

∴原方程的解是 。

【考点】解分式方程。

【分析】观察可得最简公分母是 ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解。

21. (2012江苏扬州10分)为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青

年志愿者的支援，每日比原计划多种 ，结果提前4天完成任务，原计划每天种多少棵树?

【答案】解：设原计划每天种x棵树，则实际每天种 棵树，根据题意得，

，解得x=30，

经检验得出：x=30是原方程的解。

答：原计划每天种30棵树。

【考点】分式方程的应用。

【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：

原计划完成任务的天数-实际完成任务的天数=4

- =4。

22. (2012江苏镇江5分)解方程： ;

【答案】解：去分母，得 ，

移项，得 ，

合并同类项，得 。

经检验， 是原方程的解。

∴原方程的解为 。

【考点】解分式方程。

【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是2(x﹣2)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解。

23. (2012江苏镇江5分)解不等式组： 。

【答案】解：

解①得， ， 解②得， 。

∴原不等式组的解为 。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)。

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