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 中考数学方程(组)和不等式(组)试题解析

一、选择题

1.(2012浙江杭州3分)已知关于x，y的方程组 ，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论：

① 是方程组的解;

②当a=﹣2时，x，y的值互为相反数;

③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解;

④若x≤1，则1≤y≤4.

其中正确的是【 】

A.①②　　B.②③　　C.②③④　　D.①③④

【答案】C。

【考点】二元一次方程组的解，解一元一次不等式组。

【分析】解方程组得出x、y的表达式，根据a的取值范围确定x、y的取值范围，逐一判断：

解方程组 ，得 。

∵﹣3≤a≤1，∴﹣5≤x≤3，0≤y≤4。

① 不符合﹣5≤x≤3，0≤y≤4，结论错误;

②当a=﹣2时，x=1+2a=﹣3，y=1﹣a=3，x，y的值互为相反数，结论正确;

③当a=1时，x+y=2+a=3，4﹣a=3，方程x+y=4﹣a两边相等，结论正确;

④当x≤1时，1+2a≤1，解得a≤0，y=1﹣a≥1，已知0≤y≤4，

故当x≤1时，1≤y≤4，结论正确。，

故选C。

2. (2012浙江丽水、金华3分)把分式方程 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以【 】

A.x　　B.2x　　C.x+4　　D.x(x+4)

【答案】D。

【考点】解分式方程。

【分析】根据各分母寻找公分母x(x+4)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程。故选D。

3. (2012浙江台州4分)小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了 ，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是【 】

A. B. C. D.

【答案】A。

【考点】方程的应用(行程问题)。

【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题只要列出方程即可。由题设公共汽车的平均速度为x千米/时，则根据出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时得出租车的平均速度为x+20千米/时。等量关系为：回来时路上所花时间比去时节省了 ，即

回来时路上所花时间是去时路上所花时间的

= •

故选A。

4. (2012浙江温州4分)楠溪江某景点门票价格：成人票每张70元，儿童票每张35元.小明买20张门票共花了1225元,设其中有 张成人票， 张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是【 】

A. B. C. D.

【答案】B。

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组。

【分析】根据“小明买20张门票”可得方程： ;根据“成人票每张70元，儿童票每张35元，共花了1225元”可得方程： ，把两个方程组合即可。故选B。

5. (2012浙江义乌3分)在x=﹣4，﹣1，0，3中，满足不等式组 的x值是【 】

A.﹣4和0　　B.﹣4和﹣1　　C.0和3　　D.﹣1和0

【答案】D。

【考点】解一元一次不等式组，不等式的解集。

【分析】解出不等式组，再检验所给四个数是否在不等式的解集的解集即可：

由2(x+1)>-2得x>﹣2。∴此不等式组的解集为：﹣2

x=﹣4，﹣1，0，3中只有﹣1，0在﹣2

二、填空题

1. (2012浙江杭州4分)已知 ，若b=2﹣a，则b的取值范围是 ▲ .

【答案】2﹣

【考点】二次根式有意义的条件，不等式的性质，解不等式。

【分析】根据被开方数大于等于0以及不等式的基本性质求出a的取值范围，然后再求出2﹣a的范围即可得解：

∵ ，∴ ，解得 。∴0

∴﹣ <﹣a<0，2﹣ <2﹣a<2，即2﹣

2. (2012浙江宁波3分)分式方程 的解是 ▲ .

【答案】x=8。

【考点】解分式方程。

【分析】因为方程最简公分母为：2(x+4)。故方程两边乘以2(x+4)，化为整式方程后求解：

方程的两边同乘2(x+4)，得2(x﹣2)=x+4，解得x=8。

检验：把x=8代入x(x+4)=96≠0。∴原方程的解为：x=8。

3. (2012浙江衢州4分)不等式2x﹣1> x的解是　 ▲ 　.

【答案】 。

【考点】解一元一次不等式。

【分析】先去分母，再移项、合并同类项、化系数为1即可：

去分母得，4x﹣2>x，移项得，4x﹣x>2，合并同类项得，3x>2，系数化为1得， 。

三、解答题

1. (2012浙江湖州6分)解方程组

【答案】解： ，

①+②得3x=9，解得x=3，

把x=3代入②，得3-y=1，解得y=2。

∴原方程组的解是 。

【考点】解二元一次方程组。

【分析】①+②消去未知数y求x的值，再把x=3代入②，求未知数y的值。

2. (2012浙江湖州10分)为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，现计划用210000元资金，购买这三种树共1000棵.

(1)求乙、丙两种树每棵各多少元?

(2)若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍，恰好用完计划资金，求这三种树各能购买多少棵?

(3)若又增加了10120元的购树款，在购买总棵树不变的前提下，求丙种树最多可以购买多少棵?

【答案】解：(1)已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，

∴乙种树每棵200元，丙种树每棵 ×200=300(元)。

(2)设购买乙种树x棵，则购买甲种树2x棵，丙种树(1000-3x)棵.

根据题意：200•2x+200x+300(1000-3x)=210000，

解得x=30。

∴2x=600，1000-3x=100，

答：能购买甲种树600棵，乙种树300棵，丙种树100棵。

(3)设购买丙种树y棵，则甲、乙两种树共(1000-y)棵，

根据题意得：200(1000-y)+300y≤210000+10120，

解得：y≤201.2。

∵y为正整数，∴y最大为201。

答：丙种树最多可以购买201棵。

【考点】一元一次方程和一元一次不等式的应用。

【分析】(1)利用已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，即可求出乙、丙两种树每棵钱数。

(2)设购买乙种树x棵，则购买甲种树2x棵，丙种树(1000-3x)棵，利用(1)中所求树木价格以及现计划用210000元资金购买这三种树共1000棵，得出等式方程，求出即可。

(3)设购买丙种树y棵，则甲、乙两种树共(1000-y)棵，根据题意列不等式，求出即可。

3. (2012浙江嘉兴、舟山8分)解不等式2(x﹣1)﹣3<1，并把它的解集在数轴上表示出来.

【答案】解：去括号得，2x﹣2﹣3<1，

移项、合并得，2x<6，

系数化为1得，x<3。

∴不等式的解为x<3。

在数轴上表示如下：

【考点】解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】根据一元一次不等式的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解。

不等式的解集在数轴上表示的方法：>，≥向右画;<，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示;“<”，“>”要用空心圆点表示。

4. (2012浙江宁波10分)为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费.如表是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息：

自来水销售价格 污水处理价格

每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨

17吨以下 a 0.80

超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.80

超过30吨的部分 6.00 0.80

(说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量;②水费=自来水费用+污水处理费用)

已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元;5月份用水25吨，交水费91元.

(1)求a、b的值;

(2)随着夏天的到来，用水量将增加.为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%.若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨?

【答案】解：(1)由题意，得

，

②﹣①，得5(b+0.8)=25，b=4.2。

把b=4.2代入①，得17(a+0.8)+3×5=66，解得a=2.2。

∴a=2.2，b=4.2。

(2)当用水量为30吨时，水费为：17×3+13×5=116元，9200×2%=184元，

∵116<184，∴小王家六月份的用水量超过30吨。

设小王家六月份用水量为x吨，

由题意，得17×3+13×5+6.8(x﹣30)≤184，

6.8(x﹣30)≤68，解得x≤40。

∴小王家六月份最多能用水40吨。

【考点】一元一次不等式和二元一次方程组的应用。

【分析】(1)根据等量关系：“小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元”;“5月份用水25吨，交水费91元”可列方程组求解即可。

(2)先求出小王家六月份的用水量范围，再根据6月份的水费不超过家庭月收入的2%，列出不等式求解即可。

5. (2012浙江衢州10分)在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并有甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑.已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工.乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务有甲工程队单独完成，直到公路修通.下图是甲乙两个工程队修公路的长度y(米)与施工时间x(天)之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题：

(1)乙工程队每天修公路多少米?

(2)分别求甲、乙工程队修公路的长度y(米)与施工时间x(天)之间的函数关系式.

(3)若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成?

【答案】解：(1)由图得：720÷(9﹣3)=120(米)，

答：乙工程队每天修公路120米。

(2)设y乙=kx+b，则 ，解得： 。∴y乙=120x﹣360。

当x=6时，y乙=360。

设y甲=kx，则360=6k，k=60，∴y甲=60x。

(3)当x=15时，y甲=900，∴该公路总长为：720+900=1620(米)。

设需x天完成，由题意得：

(120+60)x=1620，解得：x=9。

答：该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需9天完成。

【考点】一次函数和一元一次方程的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)根据图形用乙工程队修公路的总路程除以天数，即可得出乙工程队每天修公路的米数。

(2)根据函数的图象运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式。

(3)先求出该公路总长，再设出需要x天完成，根据题意列出方程组，求出x，即可得出该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需要的天数。

6. (2012浙江绍兴4分)解不等式组： 。

【答案】解：

解不等式①，得 ;

解不等式②，得 。

∴原不等式组的解集是 。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)。

7. (2012浙江台州8分)解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来.

8. (2012浙江温州5分)解方程：x²-2x=5

【答案】解：配方得(x-1)2=6

∴x-1=± 。

∴x1=1+ ，x2=1- 。

【考点】配方法解一元二次方程。

【分析】方程两边同时加上1，左边即可化成完全平方式的形式，然后进行开方运算，转化成两个一元一次方程，即可求解。

9. (2012浙江温州12分)温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将 件产品运往A,B,C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示。设安排 件产品运往A地。

(1)当 时，

①根据信息填表：

A地 B地 C地 合计

产品件数(件)

200

运费(元) 30

②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案?

(2)若总运费为5800元，求 的最小值。

【答案】解：(1)①根据信息填表

A地 B地 C地 合计

产品件数(件)

200

运费(元) 30

②由题意，得 ，解得40≤x≤ 。

∵x为整数，∴x=40或41或42。

∴有三种方案，分别是

(i)A地40件，B地80件，C地80件;

(ii)A地41件，B地77件，C地82件;

(iii)A地42件，B地74件，C地84件。

(2)由题意，得30x+8(n-3x)+50x=5800，整理，得n=725-7x.

∵n-3x≥0，∴x≤72.5。

又∵x≥0，∴0≤x≤72.5且x为整数。

∵n随x的增大而减少，∴当x=72时，n有最小值为221。

【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。

【分析】(1)①运往B地的产品件数=总件数n-运往A地的产品件数-运往B地的产品件数;运费=相应件数×一件产品的运费。

②根据运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元列出不等式组，求得整数解的个数即可。

(2)总运费=A产品的运费+B产品的运费+C产品的运费，从而根据函数的增减性得到的x的取值求得n的最小值即可。

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