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 2013年浙江省中考数学函数的图象与性质试题分类解析

一、选择题

1.(2012浙江杭州3分)已知抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是【 】

A.2　　B.3　　C.4　　D.5

【答案】B。

【考点】抛物线与x轴的交点。

【分析】根据抛物线的解析式可得C(0，﹣3)，再表示出抛物线与x轴的两个交点的横坐标，再根据ABC是等腰三角形分三种情况讨论，求得k的值，即可求出答案：

根据题意，得C(0，﹣3).

令y=0，则 ，解得x=﹣1或x= 。

设A点的坐标为(﹣1，0)，则B( ，0)，

①当AC=BC时，OA=OB=1，B点的坐标为(1，0)，∴ =1，k=3;

②当AC=AB时，点B在点A的右面时，

∵ ，∴AB=AC= ，B点的坐标为( ﹣1，0)，

∴ ;

③当AC=AB时，点B在点A的左面时，B点的坐标为( ，0)，

∴ 。

∴能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是3条。故选B。

2.(2012浙江湖州3分)如图，已知点A(4，0)，O为坐标原点，P是线段OA上任意一点(不含端点O，A)，过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【 】

A. B. C.3 D.4

3. (2012浙江衢州3分)已知二次函数y=﹣ x2﹣7x+ ，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0

A.y1>y2>y3　　B.y1

【答案】A。

【考点】二次函数图象上点的坐标特征。

【分析】根据x1、x2、x3与对称轴的大小关系，判断y1、y2、y3的大小关系：

∵二次函数 ，∴此函数的对称轴为： 。

∵ <0

∴对称轴右侧y随x的增大而减小。∴y1>y2>y3。故选A。

4. (2012浙江台州4分)点(﹣1，y1)，(2，y2)，(3，y3)均在函数 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是【 】

A.y3

【答案】D。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，有理数的大小比较。

【分析】由点(﹣1，y1)，(2，y2)，(3，y3)均在函数 的图象上，得y1=-6，y2=3，y3=2。根据有理数的大小关系，-6<2<3，从而y1

5. (2012浙江温州4分)一次函数y=-2x+4图象与y轴的交点坐标是【 】

A. (0, 4) B. (4, 0) C. (2, 0) D. (0, 2 )

【答案】A。

【考点】一次函数图象上点的坐标特征。

【分析】在解析式中令x=0，即可求得与y轴的交点的纵坐标：y=-2×0+4=4，则函数与y轴的交点坐标是(0，4)。故选A。

6. (2012浙江义乌3分)如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2.若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M;若y1=y2，记M=y1=y2.例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1

①当x>0时，y1>y2; ②当x<0时，x值越大，M值越小;

③使得M大于2的x值不存在; ④使得M=1的x值是 或 .

其中正确的是【 】

A.①②　　B.①④　　C.②③　　D.③④

【答案】D。

【考点】二次函数的图象和性质。

【分析】①∵当x>0时，利用函数图象可以得出y2>y1。∴此判断错误。

②∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，

若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M。

∴当x<0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大。∴此判断错误。

③∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：(0，2)，

当x=0时，M=2，抛物线y1=﹣2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在;∴此判断正确。

④ ∵使得M=1时，

若y1=﹣2x2+2=1，解得：x1= ，x2=﹣ ;

若y2=2x+2=1，解得：x=﹣ 。

由图象可得出：当x= >0，此时对应y1=M。

∵抛物线y1=﹣2x2+2与x轴交点坐标为：(1，0)，(﹣1，0)，

∴当﹣1

∴M=1时，x= 或x=﹣ 。∴此判断正确。

因此正确的有：③④。故选D。

二、填空题

1. (2012浙江湖州4分)一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为 ▲

【答案】x=-1。

【考点】一次函数与一元一次方程，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】∵一次函数y=kx+b过(2，3)，(0，1)点，∴ ，解得： 。

∴一次函数的解析式为：y=x+1。

∵一次函数y=x+1的图象与x轴交与(-1，0)点，

∴关于x的方程kx+b=0的解为x=-1。

2. (2012浙江衢州4分)如图，已知函数y=2x和函数 的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是　 ▲ 　.

【答案】(0，﹣4)，(﹣4，﹣4)，(4，4)。

【考点】反比例函数综合题，平行四边形的性质。

【分析】先求出B、O、E的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出P点的坐标：

如图，∵△AOE的面积为4，函数 的图象过一、三象限，∴k=8。

∴反比例函数为

∵函数y=2x和函数 的图象交于A、B两点，

∴A、B两点的坐标是：(2，4)(﹣2，﹣4)，

∵以点B、O、E、P为顶点的平行四边形共有3个，

∴满足条件的P点有3个，分别为：P1(0，﹣4)，P2(﹣4，﹣4)，P3(4，4)。

3. (2012浙江绍兴5分)教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为 ，由此可知铅球推出的距离是 ▲ m。

【答案】10。

【考点】二次函数的应用。

【分析】在函数式 中，令 ，得

，解得 ， (舍去)，

∴铅球推出的距离是10m。

4. (2012浙江温州5分)如图，已知动点A在函数 (x>o)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC.直线DE分别交x轴，y轴于点P,Q.当QE：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于 ▲ _.

【答案】 。

【考点】反比例函数综合题，曲线上坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥y轴于点F。

∵A在函数 (x>o)的图象上，∴设A(t， )，

则AD=AB=DG= ，AE=AC=EF=t。

在Rt△ADE中，由勾股定理，得

。

∵△EFQ∽△DAE，∴QE：DE=EF：AD。∴QE= 。

∵△ADE∽△GPD，∴DE：PD=AE：DG。∴DP= 。

又∵QE：DP=4：9，∴ 。解得 。

∴图中阴影部分的面积= 。

三、解答题

1. (2012浙江杭州8分)当k分别取﹣1，1，2时，函数y=(k﹣1)x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗?请写出你的判断，并说明理由;若有，请求出最大值.

【答案】解：∵当开口向下时函数y=(k﹣1)x2﹣4x+5﹣k取最大值

∴k﹣1<0，解得k<1。

∴当k=﹣1时函数y=(k﹣1)x2﹣4x+5﹣k有最大值，当k=1，2时函数没有最大值。

∴当k=﹣1时，函数y=﹣2x2﹣4x+6=﹣2(x+1)2+8。

∴最大值为8。

【考点】二次函数的最值。

【分析】首先根据函数有最大值得到k的取值范围，然后判断即可。求最大值时将函数解析式化为顶点式或用公式即可。

2. (2012浙江杭州12分)在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k(x2+x﹣1)的图象交于点A(1，k)和点B(﹣1，﹣k).

(1)当k=﹣2时，求反比例函数的解析式;

(2)要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围;

(3)设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值.

【答案】解：(1)当k=﹣2时，A(1，﹣2)，

∵A在反比例函数图象上，∴设反比例函数的解析式为： 。

将A(1，﹣2)代入得： ，解得：m=﹣2。

∴反比例函数的解析式为： 。

(2)∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，∴k<0。

∵二次函数y=k(x2+x﹣1)= ，∴它的对称轴为：直线x=﹣ 。

要使二次函数y=k(x2+x﹣1)满足上述条件，在k<0的情况下，x必须在对称轴的左边，即x<﹣ 时，才能使得y随着x的增大而增大。

∴综上所述，k<0且x<﹣ 。

(3)由(2)可得：Q 。

∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，(如图是其中的一种情况)

∴原点O平分AB，∴OQ=OA=OB。

作AD⊥OC，QC⊥OC，垂足分别为点C，D。

∴ 。

∵ ，

∴ ，解得：k=± 。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数和二次函数的性质。

【分析】(1)当k=﹣2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为： ，利用待定系数法即可求得答案;

(2)由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k<0。

又由二次函数y=k(x2+x﹣1)的对称轴为x=﹣ ，可得x<﹣ 时，才能使得y随着x的增大而增大。

(3)由△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q ，A(1，k)，即可得 ，从而求得答案。

3. (2012浙江湖州6分)如图，已知反比例函数 (k≠0)的图象经过点(-2，8).

(1)求这个反比例函数的解析式;

(2)若(2，y1)，(4，y2)是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1、y2的大小，并说明理由.

【答案】解：(1)把(-2，8)代入 ，得 ，解得：k=-16。

∴这个反比例函数的解析式为 。 (2)y1

∵k=-16<0，∴在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大。

∵点(2，y1)，(4，y2)都在第四象限，且2<4，

∴y1

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象上点的坐标特征。

【分析】(1)把经过的点的坐标代入解析式进行计算即可得解。

(2)根据反比例函数图象的性质，在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大解答。

4. (2012浙江嘉兴、舟山10分)如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数 的图象相交于点A(2，3)和点B，与x轴相交于点C(8，0).

(1)求这两个函数的解析式;

(2)当x取何值时，y1>y2.

【答案】解：(1)把 A(2，3)代入 ，得m=6。

∴反比例函数的解析式为 。

把 A(2，3)、C(8，0)代入y1=kx+b，得

，解得 。

∴一次函数的解析式为y1= x+4。

(2)由题意得 ，解得 ， 。

∴从图象可得，当x<0 或 2

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)将A、B中的一点代入 ，即可求出m的值，从而得到反比例函数解析式;把 A(2，3)、C(8，0)代入y1=kx+b，可得到k、b的值，从而得到一次函数解析式。

(2)求出反比例函数与一次函数图象的交点坐标，根据图象可直接得到y1>y2时x的取值范围。

5. (2012浙江嘉兴、舟山12分)某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出;当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆;公司平均每日的各项支出共4800元.设公司每日租出工辆车时，日收益为y元.(日收益=日租金收入一平均每日各项支出)

(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为　 　元(用含x的代数式表示);

(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大?最大是多少元?

(3)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏?

6. (2012浙江嘉兴、舟山14分)在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点(点在第一象限内).连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q.连接PQ，交y轴于点M.作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B.设点P的横坐标为m.

(1)如图1，当m= 时，

①求线段OP的长和tan∠POM的值;

②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标;

(2)如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E.

①用含m的代数式表示点Q的坐标;

②求证：四边形ODME是矩形.

【答案】解：(1)①把x= 代入 y=x2，得 y=2，∴P( ，2)，∴OP= 。

∵PA丄x轴，∴PA∥MO.∴ 。

②设 Q(n，n2)，∵tan∠QOB=tan∠POM，∴ .∴ 。

∴Q( )。∴OQ= 。

∴当 OQ=OC 时，则C1(0， )，C2(0，- )。

当 OQ=CQ 时，则 C3(0，1)。

(2)①∵点P的横坐标为m，∴P(m，m2)。设 Q(n，n2)，

∵△APO∽△BOQ，∴ 。∴ ，得 。

∴Q( )。

②设直线PO的解析式为：y=kx+b，把P(m，m2)、Q( )代入，得：

，解得b=1。∴M(0，1)。

∵ ，∠QBO=∠MOA=90°，∴△QBO∽△MOA。

∴∠MAO=∠QOB，∴QO∥MA。

同理可证：EM∥OD。

又∵∠EOD=90°，∴四边形ODME是矩形。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定。

【分析】(1)①已知m的值，代入抛物线的解析式中可求出点P的坐标;由此确定PA、OA的长，通过解直角三角形易得出结论。

②题目要求△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，所以分QO=OC、QC=QO两种情况来判断：

QO=QC时，Q在线段OC的垂直平分线上，Q、O的纵坐标已知，C点坐标即可确定;

QO=OC时，先求出OQ的长，那么C点坐标可确定。

(2)①由∠QOP=90°，易求得△QBO∽△MOA，通过相关的比例线段来表示出点Q的坐标。

②在四边形ODME中，已知了一个直角，只需判定该四边形是平行四边形即可，那么可通过证明两组对边平行来得证。

7. (2012浙江丽水、金华8分)如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y= (k>0)经过边OB的中点C和AE的中点D.已知等边△OAB的边长为4.

(1)求该双曲线所表示的函数解析式;

(2)求等边△AEF的边长.

【答案】解：(1)　过点C作CG⊥OA于点G，

∵点C是等边△OAB的边OB的中点，

∴OC=2，∠ AOB=60°。∴OG=1，CG= ，

∴点C的坐标是(1， )。由 ，得：k= 。

∴该双曲线所表示的函数解析式为 。

(2)　过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，则DH= a。

∴点D的坐标为(4+a， a)。

∵点D是双曲线 上的点，

∴由xy= ，得 a (4+a)= ，即：a2+4a-1=0。

解得：a1= -2，a2=- -2(舍去)。∴AD=2AH=2 -4。

∴等边△AEF的边长是2AD=4 -8。.

【考点】反比例函数综合题，等边三角形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程。

【分析】(1)过点C作CG⊥OA于点G，根据等边三角形的性质求出OG、CG的长度，从而得到点C的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式列式计算即可得解。

(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，根据等边三角形的性质表示出DH的长度，然后表示出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式，解方程得到a的值，从而得解。

8. (2012浙江丽水、金华12分)在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB= .如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC= ，AC与y轴交于点E.【来源：全,品…中&高*考+网】

(1)求AC所在直线的函数解析式;

(2)过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积;

(3)已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧?若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1) 在Rt△OCE中，OE=OCtan∠OCE= ，∴点E(0， 。

设直线AC的函数解析式为y=kx+ ，有 ，解得：k= 。

∴直线AC的函数解析式为y= 。

(2) 在Rt△OGE中，tan∠EOG=tan∠OCE= ，

设EG=3t，OG=5t， ，∴ ，得t=2。

∴EG=6，OG=10。∴ /

(3) 存在。

①当点Q在AC上时，点Q即为点G，

如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P1，

由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴，

由于点P1在直线AC上，当x=10时，

y=

∴点P1(10， )。

②当点Q在AB上时，如图2，有OQ=OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P2，过点Q作QH⊥OB于点H，设OH=a，

则BH=QH=14-a，

在Rt△OQH中，a2+(14-a)2=100，

解得：a1=6，a2=8，∴Q(-6，8)或Q(-8，6)。

连接QF交OP2于点M.

当Q(-6，8)时，则点M(2，4);当Q(-8，6)时，则点M(1，3)。

设直线OP2的解析式为y=kx，则2k=4，k=2。∴y=2x。

解方程组 ，得 。

∴P2( );

当Q(-8，6)时，则点M(1，3).同理可求P2′( )。

综上所述，满足条件的P点坐标为

(10， )或( )或( )。

【考点】一次函数综合题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和应用。

【分析】(1)根据三角函数求E点坐标，运用待定系数法求解。

(2)在Rt△OGE中，运用三角函数和勾股定理求EG，OG的长度，再计算面积。

(3)分两种情况讨论求解：①点Q在AC上;②点Q在AB上.求直线OP与直线AC的交点坐标即可。

9. (2012浙江宁波6分)如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A(﹣4，﹣2)和B(a，4).

(1)求反比例函数的解析式和点B的坐标;

(2)根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值?

【答案】解：(1)设反比例函数的解析式为 ，

∵反比例函数图象经过点A(﹣4，﹣2)，∴ ，解得k=8。

∴反比例函数的解析式为 。

∵B(a，4)在 的图象上，∴ ，解得a=2。

∴点B的坐标为B(2，4)。

(2)根据图象得，当x>2或﹣4

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数与一次函数的图象。

【分析】(1)利用待定系数法设反比例函数解析式为 ，把点A的坐标代入解析式，求解即可，把点B的坐标代入反比例函数解析式进行计算求出a的值，从而得到点B的坐标。

(2)写出一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可。

10. (2012浙江宁波12分)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(﹣1，0)，B(2，0)，交y轴于C(0，﹣2)，过A，C画直线.

(1)求二次函数的解析式;

(2)点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长;

(3)点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H.

①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC(点C与点A对应)，求点M的坐标;

②若⊙M的半径为 ，求点M的坐标.

【答案】解：(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(﹣1，0)，B(2，0)

∴设该二次函数的解析式为：y=a(x+1)(x﹣2)，

将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a(0+1)(0﹣2)，解得a=1。

∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x﹣2)，即y=x2﹣x﹣2。

(2)设OP=x，则PC=PA=x+1，

在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=(x+1)2，

解得，x= ，即OP= 。

(3)①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。

(i)如图1，当H在点C下方时，

∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x轴，∴yM=﹣2。

∴x2﹣x﹣2=﹣2，解得x1=0(舍去)，x2=1。

∴M(1，﹣2)。

(ii)如图2，当H在点C上方时，

∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。

由(2)得，M′为直线CP与抛物线的另一交点，

设直线CM′的解析式为y=kx﹣2，

把P( ，0)的坐标代入，得 k﹣2=0，解得k= 。

∴y= x﹣2。

由 x﹣2=x2﹣x﹣2，解得x1=0(舍去)，x2= 。此时y= × 。

∴M′( )。

②在x轴上取一点D，如图3，过点D作DE⊥AC于点E，使DE= ，

在Rt△AOC中，AC= 。

∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，

∴△AED∽△AOC，

∴ ，即 ，解得AD=2。

∴D(1，0)或D(﹣3，0)。

过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图

则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6。

当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，

当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时，即x2+x﹣4=0，解得 。

∴点M的坐标为( )或( )。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。

【分析】(1)根据与x轴的两个交点A、B的坐标，故设出交点式解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式。

(2)设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。

(3)①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分(i)点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2，代入抛物线解析式计算即可;(ii)点H在点C上方时，根据(2)的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标。

②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标。

11. (2012浙江绍兴12分)把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子(纸板的厚度忽略不计)。

(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。

①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少?

②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值?如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长;如果没有，说明理由。

(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)。

【答案】解：(1)①设剪掉的正方形的边长为xcm。

则(40-2x)2=484，解得 (不合题意，舍去)， 。

∴剪掉的正方形的边长为9cm。

②侧面积有最大值。

设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，

则y与x的函数关系为： ，

∴x=10时，y最大=800。

即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2。

(2)在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm。

则 ，

解得： (不合题意，舍去)， 。

∴剪掉的正方形的边长为15cm。

此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm。

【考点】二次函数的应用，一元二次方程的应用。

【分析】(1)①假设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出(40-2x)2=484，求出即可

②假设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系为：y=4(40-2x)x，利用二次函数最值求出即可。

(2)假设剪掉的正方形的边长为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，得出等式方程求出即可。

12. (2012浙江台州8分)如图，正比例函数y=kx(x≥0)与反比例函数 的图象交于点

A(2，3)，

(1)求k，m的值;

(2)写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围.

【答案】解：(1)把(2，3)代入y=kx得：3=2k，∴ k= 。

把(2，3)代入 得：m=6。

(2)x>2。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，正比例函数和反比例函数图象的性质。

【分析】(1)根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将A(2，3)分别代入y=kx和 即可求得k，m的值。

(2)由图象可知，当正比例函数值大于反比例函数值时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方，∴自变量x的取值范围是x>2。

13. (2012浙江台州12分)某汽车在刹车后行驶的距离s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系得部分数据如下表：

时间t(秒) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 …

行驶距离s(米) 0 2.8 5.2 7.2 8.8 10 10.8 …

(1)根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点;

(2)选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数解析式;

(3)①刹车后汽车行驶了多长距离才停止?

②当t分别为t1，t2(t1

【答案】解：(1)描点图所示：

(2)由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式为：s=at2+bt+c，

∵抛物线经过点(0，0)，∴c=0。

又由点(0.2，2.8)，(1，10)可得：

，解得： 。

经检验，其余各点均在s=-5t2+15t上。

∴二次函数的解析式为： 。

(3)①汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。

∵ ，∴当t= 时，滑行距离最大，为 。

因此，刹车后汽车行驶了 米才停止。

②∵ ，∴ 。

∴ 。

∵t1

其实际意义是刹车后到t2时间内的平均速到t1时间内的度小于刹车后平均速度。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。

【分析】(1)描点作图即可。

(2)首先判断函数为二次函数。用待定系数法，由所给的任意三点即可求出函数解析式。

(3)将函数解析式表示成顶点式(或用公式求)，即可求得答案。

(4)求出 与 ，用差值法比较大小。

14. (2012浙江温州14分)如图，经过原点的抛物线 与x轴的另一个交点为A.过点 作直线 轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(B、C不重合).连结CB,CP。

(1)当 时，求点A的坐标及BC的长;

(2)当 时，连结CA，问 为何值时CA⊥CP?

(3)过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在 ，使得点E落在坐标轴上?若存在，求出所有满足要求的 的值，并写出相对应的点E坐标;若不存在，请说明理由。

【答案】解：(1)当m=3时，y=-x2+6x。

令y=0得-x2+6x=0，解得，x1=0，x2=6。∴A(6，0)。

当x=1时，y=5。∴B(1，5)。

∵抛物线y=-x2+6x的对称轴为直线x=3，且B，C关于对称轴对称，∴BC=4。

(2)过点C作CH⊥x轴于点H(如图1)

由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB。

又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△AGH∽△PCB。

∴ 。

∵抛物线y=-x2+2mx的对称轴为直线x=m，其中m>1，且B，C关于对称轴对称，

∴BC=2(m-1)。

∵B(1，2m-1)，P(1，m)，∴BP=m-1。

又∵A(2m，0)，C(2m-1，2m-1)，∴H(2m-1，0)。

∴AH=1，CH=2m-1，

∴ ，解得m= 。

(3)存在。∵B，C不重合，∴m≠1。

(I)当m>1时，BC=2(m-1)，PM=m，BP=m-1，

(i)若点E在x轴上(如图1)，

∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP。

∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2(m-1)=m，解得m=2。

此时点E的坐标是(2，0)。

(ii)若点E在y轴上(如图2)，过点P作PN⊥y轴于点N，

易证△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，即m-1=1，解得，m=2。

此时点E的坐标是(0，4)。

(II)当0

(i)若点E在x轴上(如图3)，

易证△BPC≌△MEP，

∴BC=PM，即2(1-m)=m，解得，m= 。

此时点E的坐标是( ，0)。

(ii)若点E在y轴上(如图4)，

过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，即1-m=1，∴m=0(舍去)。

综上所述，当m=2时，点E的坐标是(0，2)或(0，4)，

当m= 时，点E的坐标是( ，0)。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】(1)把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，从而求出BC的长。

(2)过点C作CH⊥x轴于点H(如图1)由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明

△AGH∽△PCB，根据相似的性质得到： ，再用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值。

(3)存在。本题要分当m>1时，BC=2(m-1)，PM=m，BP=m-1和当0

15. (2012浙江义乌8分)如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E(4，n)在边AB上，反比例函数 (k≠0)在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA= .

(1)求边AB的长;

(2)求反比例函数的解析式和n的值;

(3)若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长.

【答案】解：(1)∵点E(4，n)在边AB上，∴OA=4，

在Rt△AOB中，∵tan∠BOA= ，∴AB=OA×tan∠BOA=4× =2。

(2)由(1)，可得点B的坐标为(4，2)，

∵点D为OB的中点，∴点D(2，1)。

∵点D在反比例函数 (k≠0)的图象上，∴ ，解得k=2。

∴反比例函数解析式为 。

又∵点E(4，n)在反比例函数图象上，∴ 。

(3)如图，设点F(a，2)，

∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，

∴ ，解得a=1。∴CF=1。

连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2﹣t，

在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，即t2=(2﹣t)2+12，

解得t= ，∴OG=t= 。

【考点】反比例函数综合题，锐角三角函数定义，曲线上点的坐标与方程的关系，折叠对称的性质，勾股定理。

【分析】(1)由点E的纵坐标得出OA=4，再根据tan∠BOA= 即可求出AB的长度;

(2)根据(1)求出点B的坐标，再根据点D是OB的中点求出点D的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式求出反比例函数解析式，再把点E的坐标代入进行计算即可求出n的值。

(3)利用反比例函数解析式求出点F的坐标，从而得到CF的长度，连接FG，根据折叠的性质可得FG=OG，然后用OG表示出CG的长度，再利用勾股定理列式计算即可求出OG的长度。

16. (2012浙江义乌10分)周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游.从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地.小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象.已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍.

(1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间;

(2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上?此时离家多远?

(3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程.

【答案】解：(1)由图象，得：小明骑车速度：10÷0.5=20(km/ h)。

在甲地游玩的时间是1﹣0.5=0.5(h)。

(2)妈妈驾车速度：20×3=60(km/h)

如图，设直线BC解析式为y=20x+b1，

把点B(1，10)代入得b1=﹣10。

∴直线BC解析式为y=20x﹣10 ①。

设直线DE解析式为y=60x+b2，

把点D( ，0)代入得b2=﹣80。

∴直线DE解析式为y=60x﹣80②。

联立①②，得x=1.75，y=25。

∴交点F(1.75，25)。

答：小明出发1.75小时(105分钟)被妈妈追上，此时离家25km。

17. (2012浙江义乌12分)如图1，已知直线y=kx与抛物线 交于点A(3，6).

(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;

(2)点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M(点M、O不重合)，交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N.试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是，求出这个定值;如果不是，说明理由;

(3)如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O、A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个?

【答案】解：(1)把点A(3，6)代入y=kx 得;6=3k，即k=2。

∴y=2x。

∴ 。

(2)线段QM与线段QN的长度之比是一个定值，理由如下：

如图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H.

①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，

此时 。

②当QH与QM不重合时，

∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，

∴∠MQH=∠GQN。

又∵∠QHM=∠QGN=90°，∴△QHM∽△QGN。∴ 。

当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得 。

∴线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。

(3)如图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R。

∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF。

∴OC=AC= 。

∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，

∴△AOR∽△FOC。∴ 。∴OF= 。

∴点F( ，0)。

设点B(x， )，过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF。

∴ ，即 。

解得x1=6，x2=3(舍去)。∴点B(6，2)。

∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4。∴AB=5。

在△ABE与△OED中，∵∠BAE=∠BED，∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB。

∴∠ABE=∠DEO。

∵∠BAE=∠EOD，∴△ABE∽△OED。

设OE=x，则AE= ﹣x ( )，

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