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 2013湖北圆中考数学题解析

一、选择题

1. (2012湖北黄石3分)如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为【 】

A. B. C. D.

【答案】A。

【考点】扇形面积的计算，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂径定理，勾股定理。

【分析】过点O作OD⊥AB，

∵∠AOB=120°，OA=2，

∴ 。

∴OD= OA= ×2=1， 。

∴ ，

∴ 。故选A。

2. (2012湖北黄石3分)如图所示，直线CD与线段AB为直径的圆相切于点D，并交BA的延长线于

点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD上移动.当∠APB的度数最大时，则∠ABP的度数为【 】

A. ° B. ° C. ° D. °

【答案】B。

【考点】切线的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】连接BD，

∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，∴∠ADB=90°。

∵当∠APB的度数最大时，点P和D重合，∴∠APB=90°。

∵AB=2，AD=1，∴ 。∴∠ABP=30°。

∴当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为30°。故选B。

3. (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6cm，CD⊥AB于D，以C为圆心，CD为半径画弧，交BC于E，则图中阴影部分的面积为【 】

A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2

【答案】A。

【考点】扇形面积的计算，解直角三角形。

【分析】∵∠A=30°，AC=6cm，CD⊥AB，

∴∠B=60°，∠BCD=30°，CD=3cm，BD= cm，

∴ 。

∴阴影部分的面积为： cm2。故选A。

4. (2012湖北宜昌3分)已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是【 】

A. B. C. D.

【答案】B。

【考点】直线与圆的位置关系。1419956

【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交⇔d

线l和⊙O相离⇔d>r(d为直线与圆的距离，r为圆的半径)。因此，

∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，

∵5>3，即：d

5. (2012湖北恩施3分)如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为【 】

A.3cm B.4cm C.6cm D.8cm

【答案】C。

【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理。

【分析】如图，连接OC，AO，

∵大圆的一条弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB。∴AC=BC= AB

∵OA=5cm，OC=4cm，

∴在Rt△AOC中， 。

∴AB=2AC=6(cm)。故选C。

6. (2012湖北咸宁3分)如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为【 】.

A. π2 B. 2π3 C. π2 D. 2π3

【答案】A。

【考点】正多边形和圆，多边形内角和定理，等边三角形的判定和性质，切线的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，扇形面积。

【分析】∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=60°。

又∵OA0OB，∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2。

设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，

∴OG=OA•sin60°=2× 。

∴ 。故选A。

7. (2012湖北黄冈3分)如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于E，已知CD=12，则⊙O 的直径为【 】

A. 8 B. 10 C.16 D.20

【答案】D.

【考点】垂径定理，勾股定理。

【分析】连接OC，根据题意，CE= CD=6，BE=2.

在Rt△OEC中，设OC=x，则OE=x-2，∴(x-2)2+62=x2，解得：x=10。

∴直径AB=20。故选D.

8. (2012湖北随州4分)如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=350，则么∠ADC=【 】

A.350 B.550 C.700 D.1100

【答案】B。

【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系。

【分析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)。

∵∠BAC=35°，∴∠B=90°-∠BAC=90°-35°=55°(直角三角形两锐角互余)

∵∠B与∠ADC是 所对的圆周角，

∴∠ADC=∠B=55°(同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等)。故选B。

9. (2012湖北襄阳3分)△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是【 】

A.80° B.160° C.100° D.80°或100°

【答案】D。

【考点】圆周角定理。1028458

【分析】根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边四边形性质，即可求得∠AB′C的度数：

如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC= ∠AOC= ×160°=80°。

∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°。

∴∠ABC的度数是：80°或100°。故选D。

15.10. (2012湖北鄂州3分)如下图OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的大小是【 】

A.40° B.50° C.60° D.70°

【答案】C。

【考点】圆周角定理。

【分析】∵OA=OB=OC，∴A、B、C在以O为圆心OA为半径的圆上。

作⊙O。

∵ ∠ACB和∠AOB是同弧 所对的圆周角和圆心角，且∠ACB=30°，

∴根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的性质，得∠AOB=60°。故选C。

二、填空题

1. (2012湖北荆门3分) 如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F.已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE=　 ▲ 　.

【答案】 。

【考点】切线的性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理。

【分析】连接PB、PE.

∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B，∴PB⊥BC，PE⊥OA。

∵BC∥OA，∴B、P、E在一条直线上。

∵A(2，0)，B(1，2)，∴AE=1，BE=2。∴ 。

∵∠EDF=∠ABE，∴tan∠FDE= 。

2. (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为(0，2)，半径为1，点N在x轴的正半轴上，如果以点N为圆心，半径为4的⊙N与⊙M相切，则圆心N的坐标为　 ▲ 　.

【答案】( ，0)或( ，0)。

【考点】相切两圆的性质，坐标与图形性质，勾股定理。

【分析】分别从⊙M与⊙N内切或外切去分析：

①⊙M与⊙N外切，MN=4+1=5， ，

∴圆心N的坐标为( ，0)。

②⊙M与⊙N内切，MN=4﹣1=3， ，

∴圆心N的坐标为( ，0)。

综上所述，圆心N的坐标为( ，0)或( ，0)。

3. (2012湖北咸宁3分)如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度

线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半

圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是 ▲ 度.

【答案】140。

【考点】圆周角定理。

【分析】连接OE，

∵∠ACB=90°，∴点C在以AB为直径的圆上，即点C在⊙O上。

∴∠EOA=2∠ECA。

∵∠ECA=2×35°=70°，

∴∠AOE=2∠ECA=2×70°=140°，即点E在量角器上对应的读数是140°。

4. (2012湖北孝感3分)把如图所示的长方体材料切割成一个体积最大的圆柱，则这个圆柱的体积是

▲ (结果不取近似值).

【答案】3000π。

【考点】圆柱的计算。

【分析】∵底面是边长为20cm的正方形，∴其内切圆的半径为10cm。

∴这个圆柱底面积为100πcm2。∴这个圆柱体积为100π×30=3000π(cm3)。

5. .(2012湖北襄阳3分)如图，从一个直径为4 dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC，

并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为　 ▲ 　dm.

【答案】1。

【考点】圆锥的计算，垂径定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆锥的侧面展开图弧长与圆锥的底面周长的关系。1028458

【分析】如图，作OD⊥AC于点D，连接OA，

∴∠OAD=30°，AC=2AD，∴AC=2OA×cos30°=6。

∴ 。

∴根据圆锥的侧面展开图弧长等于圆锥的底面周长得，圆锥的底面圆的半径=2π÷(2π)=1。

三、解答题

1. (2012湖北武汉8分)在锐角△ABC中，BC=5，sinA= 4 5.

(1)如图1，求△ABC外接圆的直径;

(2)如图2，点I为△ABC的内心，BA=B C，求AI的长。

【答案】解：(1)作△ABC的外接圆的直径CD，连接BD。

则∠CBD=900，∠D=∠A。

∴ 。

∵BC=5，∴ 。

∴△ABC外接圆的直径为 。

(2)连接BI并延长交AC于点H，作IE⊥AB于点E。

∵BA=BC，∴BH⊥AC。∴IH=IE。

在Rt△ABH中，BH=AB•sin∠BDH=4， 。

∵ ，∴ ，即 。

∵IH=IE，∴ 。

在Rt△AIH中， 。

【考点】三角形外心和内心的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，角平分线的判定和性质，勾股定理。

【分析】(1)作△ABC的外接圆的直径CD，连接BD，由直径所对圆周角是直角的性质得∠CBD=900，由同圆中同弧所对圆周角相等得∠D=∠A，从而由已知 ，根据锐角三角函数定义即可求得△ABC外接圆的直径。

(2)连接BI并延长交AC于点H，作IE⊥AB于点E，由三角形内心的性质和角平分线的判定

和性质，知IH=IE。在Rt△ABH中，根据锐角三角函数定义和勾股定理可求出BH=4和AH=3，从而由 求得 。在Rt△AIH中，应用勾股定理求得AI的长。

2. (2012湖北荆门10分)如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图.已知图中ABCD为等腰梯形(AB∥DC)，支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m.设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面(阴影部分)的面积.(参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数)

【答案】解：如图，连接AO、BO.过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F.则OF⊥AB.

∵OA=OB=5m，AB=8m，

∴AF=BF= AB=4(m)，∠AOB=2∠AOF，

在Rt△AOF中， ，

∴∠AOF=53°，∴∠AOB=106°。

∵ (m)，由题意得：MN=1m，∴FN=OM-OF+MN=3(m)。

∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB，∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE。

在Rt△ADE中， ，∴DE=2m，DC=12m。

∴ (m2)。

答：U型槽的横截面积约为20m2。

【考点】解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理，等腰梯形的性质，锐角三角函数定义。

【分析】连接AO、BO.过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F，则OF⊥AB。根据垂径定理求出AF，再在Rt△AOF中利用锐角三角函数的定义求出∠AOB，由勾股定理求出OF，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由 即可得出结果。

3. (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田8分)如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分∠ACD.

(1)求证：CD是⊙O的切线;(2)若AC=2，BC=3，求AB的长.

【答案】(1)证明：过O点作OE⊥CD，垂足为E，

∵AC是切线，∴OA⊥AC。

∵CO平分∠ACD，OE⊥CD，∴∠ACO=∠ECO，∠CAO=∠CEO，

又∵OC=OC，∴△ACO≌△ECO(AAS)。∴OA=OE。

∴CD是⊙O的切线。

(2)解：过C点作CF⊥BD，垂足为F，

∵AC，CD，BD都是切线，∴AC=CE=2，BD=DE=3。

∴CD=CE+DE=5。

∵∠CAB=∠ABD=∠CFB=90°，∴四边形ABFC是矩形。

∴BF=AC=2，DF=BD﹣BF=1。

在Rt△CDF中，CF2=CD2﹣DF2=52﹣12=24，∴AB=CF=2 。

【考点】切线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理。

【分析】(1)过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论。

(2)过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，从而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，可得出AB的长度。

4. (2012湖北宜昌8分)如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为 的中点.

(1)求证：OF∥BD;

(2)若 ，且⊙O的半径R=6cm.

①求证：点F为线段OC的中点;

②求图中阴影部分(弓形)的面积.

【答案】(1)证明：∵OC为半径，点C为 的中点，∴OC⊥AD。

∵AB为直径，∴∠BDA=90°，BD⊥AD。∴OF∥BD。

(2)①证明：∵点O为AB的中点，点F为AD的中点，∴OF= BD。

∵FC∥BD，∴∠FCE=∠DBE。

∵∠FEC=∠DEB，∴△ECF∽△EBD，

∴ ，∴FC= BD。

∴FC=FO，即点F为线段OC的中点。

②解：∵FC=FO，OC⊥AD，∴AC=AO，

又∵AO=CO，∴△AOC为等边三角形。

∴根据锐角三角函数定义，得△AOC的高为 。

∴ (cm2)。

答：图中阴影部分(弓形)的面积为 cm2。

【考点】圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。

【分析】(1)由垂径定理可知OC⊥AD，由圆周角定理可知BD⊥AD，从而证明OF∥BD。

(2)①由OF∥BD可证△ECF∽△EBD，利用相似比证明BD=2CF，再证OF为△ABD的中位线，得出BD=2OF，即CF=OF，证明点F为线段OC的中点;

②根据S阴=S扇形AOC﹣S△AOC，求面积。

5. (2012湖北恩施12分)如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB.

(1)求证：BC是⊙O的切线;

(2)连接AF，BF，求∠ABF的度数;

(3)如果CD=15，BE=10，sinA= ，求⊙O的半径.

【答案】解：(1)证明：连接OB，

∵OB=OA，CE=CB，

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC。

又∵CD⊥OA，

∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。

∴∠OBA+∠ABC=90°。∴OB⊥BC。

∴BC是⊙O的切线。

(2)连接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴△OAF是等边三角形。

∴∠AOF=60°。

∴∠ABF= ∠AOF=30°。

(3)过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，

∴EG= BE=5。

易证Rt△ADE∽Rt△CGE，

∴sin∠ECG=sin∠A= ，

∴ 。

∴ 。

又∵CD=15，CE=13，∴DE=2，

由Rt△ADE∽Rt△CGE得 ，即 ，解得 。

∴⊙O的半径为2AD= 。

【考点】等腰(边)三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。

【分析】(1)连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线。

(2)连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。

(3)过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出EG= BE=5，由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，从而求出⊙O的半径。

6. (2012湖北咸宁9分)如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上的一点，CD是过E点的弦，过点B的切线交AC的延长线于点F，BF∥CD，连接BC.

(1)已知AB=18，BC=6，求弦CD的长;

(2)连接BD，如果四边形BDCF为平行四边形，则点E位于AB的什么位置?试说明理由.

【答案】解：(1)∵BF与⊙O相切，∴BF⊥AB。

又∵BF∥CD，∴CD⊥AB。

又∵AB是直径，∴CE=ED。

连接CO，设OE=x，则BE=9-x。

由勾股定理得： ，

即 ，解得 。

∴ 。

(2)∵四边形BDCF为平行四边形，∴BF=CD。

而 ，∴ 。

∵BF∥CD， ∴△AEC∽△ABF。∴ 。∴点E是AB的中点。

【考点】切线的性质，垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质。相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由BF与⊙O相切，根据切线的性质，可得BF⊥AB，又由BF∥CD，易得CD⊥AB，由垂径定理即可求得CE=DE，然后连接CO，设OE=x，则BE=9-x，由勾股定理即可求得OE的长，从而求得CD的长。

(2)由四边形BDCF为平行四边形，根据平行四边形的性质，即可CD=BF，又由△AEC∽△ABF，即可求得点E是AB的中点。

7. (2012湖北荆州9分)如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图.已知图中ABCD为等腰梯形(AB∥DC)，支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m.设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面(阴影部分)的面积.(参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数)

【答案】解：如图，连接AO、BO.过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F.则OF⊥AB.

∵OA=OB=5m，AB=8m，

∴AF=BF= AB=4(m)，∠AOB=2∠AOF，

在Rt△AOF中， ，

∴∠AOF=53°，∴∠AOB=106°。

∵ (m)，由题意得：MN=1m，∴FN=OM-OF+MN=3(m)。

∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB，∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE。

在Rt△ADE中， ，∴DE=2m，DC=12m。

∴ (m2)。

答：U型槽的横截面积约为20m2。

【考点】解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理，等腰梯形的性质，锐角三角函数定义。

【分析】连接AO、BO.过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F，则OF⊥AB。根据垂径定理求出AF，再在Rt△AOF中利用锐角三角函数的定义求出∠AOB，由勾股定理求出OF，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由 即可得出结果。

8. (2012湖北荆州12分)如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE.已知tan∠CBE= ，A(3，0)，D(﹣1，0)，E(0，3).

(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标;

(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线;

(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由;

(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0

【答案】解：(1)∵抛物线经过点A(3，0)，D(﹣1，0)，∴设抛物线解析式为y=a(x﹣3)(x+1)。

将E(0，3)代入上式，解得：a=﹣1。

∴抛物线的解析式为y=-(x﹣3)(x+1)，即y=﹣x2+2x+3。

又∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴点B(1，4)。

(2)证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4).

在Rt△AOE中，OA=OE=3，

∴∠1=∠2=45°， 。

在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，

∴∠MEB=∠MBE=45°， 。

∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°。

∴AB是△ABE外接圆的直径。

在Rt△ABE中， ，∴∠BAE=∠CBE。

在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°。∴∠CBA=90°，即CB⊥AB。

∴CB是△ABE外接圆的切线。

(3)存在。点P的坐标为(0，0)或(9，0)或(0，﹣ )。

(4)设直线AB的解析式为y=kx+b.

将A(3，0)，B(1，4)代入，得 ，解得 。

∴直线AB的解析式为y=﹣2x+6。

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x= ，∴F( ，3)。

情况一：如图2，当0

则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L.

由△AHD∽△FHM，得 ，即 ，解得HK=2t。

∴

= ×3×3﹣ (3﹣t)2﹣ t•2t=﹣ t2+3t。

情况二：如图3，当

由△IQA∽△IPF，得 .即 ，

解得IQ=2(3﹣t)。

∴

= ×(3﹣t)×2(3﹣t)﹣ (3﹣t)2= (3﹣t)2= t2﹣3t+ 。

综上所述： 。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，圆的切线的判定，相似三角形的性质，平移的性质。

【分析】(1)已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，从而能得到顶点B的坐标。

(2)过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可.BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，从而得证。

(3)在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE= ，sin∠BAE= ，cos∠BAE= 。

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形。

①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合。

由D(﹣1，0)、E(0，3)，得OD=1、OE=3，

即tan∠DEO= =tan∠BAE，

即∠DEO=∠BAE，满足△DEO∽△BAE的条件。

因此 O点是符合条件的P1点，坐标为(0，0)。

②DE为短直角边时，P2在x轴上。

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似∠DEP2=∠AEB=90°sin∠DP2E=sin∠BAE= 。

而DE= ，则DP2=DE÷sin∠DP2E= ÷ =10，OP2=DP2﹣OD=9。

即P2(9，0)。

③DE为长直角边时，点P3在y轴上。

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，

则∠EDP3=∠AEB=90°cos∠DEP3=cos∠BAE= 。

则EP3=DE÷cos∠DEP3= ÷ ，OP3=EP3﹣OE= 。即P3(0，﹣ )。

综上所述，得：P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，﹣ )。

(4)过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个五边形;当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形.按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解。

9. (2012湖北黄冈8分)如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB 为直径作半圆⊙O，交AC 于点D.连结DB，

过点D 作DE⊥BC，垂足为点E.

(1)求证：DE 为⊙O 的切线;

(2)求证：DB2=AB•BE.

【答案】证明：(1)连接OD、BD，则∠ADB=90°(圆周角定理)，

∵BA=BC，∴CD=AD(三线合一)。

又∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线。

∴OD∥BC。

∵∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE。

∴DE为⊙O的切线。

(2)∵∠BED=∠BDC =900，∠EBD=∠DBC，

∴△BED∽△BDC，∴ 。

又∵AB=BC，∴ 。∴BD2=AB•BE。

【考点】切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)连接OD、BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，从而得出点D是AC中点，判断出OD是△ABC的中位线，利用中位线的性质得出∠ODE=90°，这样可判断出结论。

(2)根据题意可判断△BED∽△BDC，从而可得BD2=BC•BE，将BC替换成AB即可得出结论。

10. (2012湖北十堰10分)如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E.

(1)求证：BD是⊙O的切线;

(2)若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形;

(3)作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G(如图2)，求 的值.

【考点】圆的综合题，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定和性质，平行的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，则∠ABC+∠BAC=90°，

而∠CBD=∠BA，得到∠ABC+∠CBD=90°，即OB⊥BD，根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切

线。

(2)连接CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED，则△OBE为等边三角形，于是∠BOE=60°，又因为AC∥OD，则∠OAC=60°，AC=OA=OE，即有AC∥OE且AC=OE，可得到四边形OACE是平行四边形，加上OA=OE，即可得到四边形OACE是菱形。

(3)由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°，而OD∥AC，则∠CAF=∠DOB，根据相似三角形的

判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD，则有 ，即 ，再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD，则 ，即 ，然后求FG与FC的比即可。

11. (2012湖北孝感10分))如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD交AM、

BN于点D、C，DO平分∠ADC.

(1)求证：CD是⊙O的切线;

(2)若AD=4，BC=9，求⊙O的半径R.

【答案】解：(1)证明：过O点作OE⊥CD于点E，

∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD。

又∵DO平分∠ADC，∴OE=OA。

∵OA为⊙O的半径，∴OE为⊙O的半径。

∴CD是⊙O的切线。

(2)过点D作DF⊥BC于点F，

∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，

∴AB⊥AD，AB⊥BC。

∴四边形ABFD是矩形。∴AD=BF，AB=DF。

又∵AD=4，BC=9，∴FC=9-4=5。

∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，

∴DA=DE，CB=CE。∴DC=AD+BC=4+9=13。

在Rt△DFC中，DC2=DF2+FC2，∴ 。

∴AB=12。∴⊙O的半径R是6。

【考点】切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质。

【分析】(1)过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论。

(2)过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，从而可得出半径。

12. (2012湖北襄阳10分)如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF.

(1)求证：直线PA为⊙O的切线;

(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明;

(3)若BC=6，tan∠F= ，求cos∠ACB的值和线段PE的长.

【答案】解：(1)连接OB，

∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO=90°。

∵OA=OB，BA⊥PO于D，

∴AD=BD，∠POA=∠POB。

又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO(SAS)。

∴∠PAO=∠PBO=90°。∴直线PA为⊙O的切线。

(2)EF2=4OD•OP。证明如下：

∵∠PAO=∠PDA=90°，∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°。

∴∠OAD=∠OPA。∴△OAD∽△OPA，∴ ，即OA2=OD•OP。

又∵EF=2OA，∴EF2=4OD•OP。

(3)∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD= BC=3(三角形中位线定理)。

设AD=x，

∵tan∠F= ，∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3。

在Rt△AOD中，由勾股定理，得(2x﹣3)2=x2+32，

解得，x1=4，x2=0(不合题意，舍去)。∴AD=4，OA=2x﹣3=5。

∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°。

又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB= 。

∵OA2=OD•OP，∴3(PE+5)=25。∴PE= 。

【考点】切线的判定和性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系，相似三角

形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。1028458【分析】(1)连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，∠POA=∠POB，从而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论。

(2)先证明△OAD∽△OPA，由相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系，然后将EF=2OA代入关系式即可。

(3)根据题意可确定OD是△ABC的中位线，设AD=x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA，在Rt△AOD中，由勾股定理解出x的值，从而能求出cos∠ACB，再由(2)可得OA2=OD•OP，代入数据即可得出PE的长。

13. (2012湖北鄂州10分)如图，梯形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，O是腰CD的中点，以CD长

为直径作圆，交BC于E，过E作EH⊥AB于H。

(1)求证：OE∥AB;

(2)若EH= CD，求证：AB是⊙O的切线;

(3)若BE=4BH，求 的值。

【答案】解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴∠B=∠C。

∵OE=OC，∴∠OEC=∠C，∴∠B=∠OEC。∴OE∥AB。

(2)证明：过点O作OF⊥AB于点F，过点O作OG∥BC交AB于点G。

∵AB=DC，∴∠B=∠C。

∴OC=OE，∴∠OEC=∠C。∴∠OEC=∠B。∴OE∥GB。

又∵EH⊥AB，∴FO∥HE。∴四边形OEHF是平行四边形。∴OF=EH。

又∵EH= CD，∴OF= CD，即OF是⊙O的半径。

∴AB是⊙O的切线。

(3)连接DE。

∵CD是直径，∴∠DEC=90°。∴∠DEC=∠EHB。

又∵∠B=∠C，∴△EHB∽△DEC。∴ 。

∵BE=4BH，设BH=k，则BE=4k，

，

∴CD=2EH=2 。∴ 。

【考点】等腰梯形(三角形)的性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】(1)判断出∠B=∠OEC，根据同位角相等得出OE∥AB。

(2)过点O作OF⊥AB于点F，过点O作OG∥BC交AB于点G，证明OF是⊙O的半径即可。

(3)求出△EHB∽△DEC，根据相似三角形的性质和勾股定理解答。

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