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 2013年中考数学开放探究型问题试题归总解析

一、选择题

1.(2011辽宁抚顺3分)如图所示，在平面直角坐标系中，直线OM是正比例函数y=-3x的图象，点A的坐标为(1,0)，在直线OM上找点N，使△ONA是等腰三角形，符合条件的点N的个数是.

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

【答案】A。

【考点】正比例函数图象的性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定。

【分析】如图，根据正比例函数图象的性质和锐角三角函数，可以求出

∠AON2=600，故当OA=O N2时，A N2=OA。因此符合条件的点N只有

N1和N2两个。故选A。

2.(2011黑龙江龙东五市3分)如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD

上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为E、F、G、H，则图中

面积相等的平行四边形的对数为

A、3 B、4 C、5 D、6

【答案】D。

【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的全等三角形，即 。则 ，

。因此图

中面积相等的平行四边形的对数有三对： ， 。故

选D。

3.(2011黑龙江龙东五市3分)在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP=MP ②当∠ABC=60°时，MN∥BC ③ BN=2AN ④AN︰AB=AM︰AC，一定正确的有

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

【答案】C。

【考点】直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定与和性质，平行的判定，锐角三角函数的定义。

【分析】①由BN、CM为高，P为BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得NP=MP。故①正确。

②由BN、CM为高与∠A是公共角，易证△AMN∽△ABC，然后由∠BAC=60°与∠ABC=60°，可得△ABC是等边三角形，则得∠AMN=∠ABC=60°，即可得MN∥BC。故②正确。

③若BN=2AN，需∠ABN=30°= ∠ABC，这个条件已知没有，故③错误。

④由②△AMN∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例的性质，即可证得AN：AB=AM：AC。故④正确。

综上所述，一定正确的有3个：①②④。故选C。

4.(2011广西梧州3分)如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC

与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是

(A)△ACE≌△BCD (B)△BGC≌△AFC

(C)△DCG≌△ECF (D)△ADB≌△CEA

【答案】D。

【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平角的定义。

【分析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定可得结论：

(A)∵BC=AC，∠BCD=600+∠ACD=∠ACE，CD=CE，∴△ACE≌△BCD(SAS);

(B)∵BC=AC，由(A)得∠GBC=∠FAC，∠BCG=600=∠ACF，∴△BGC≌△AFC(AAS);

(C)∵DC=EC，由(A)得∠GDC=∠FEC，∠GCD=600=∠FCE，∴△DCG≌△ECF(AAS);

(D)△ADB≌△CEA不一定成立，只有△ABC≌△CDE才成立。

故选D。

5. (2011江西南昌3分)如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是

A.BD=DC， AB=AC B.∠ADB=∠ADC，BD=DC

C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D. ∠B=∠C，BD=DC

【答案】D。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】.∵AD=AD，A、当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABC≌△ACD，正确;B、当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABC≌△ACD，正确;

C、当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABC≌△ACD，正确;D、当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABC≌△ACD，错误。故选D。

6.(2011四川雅安3分)已知线段AB=10cm，点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，则AC的长为

A 、 B、 C、 D、

【答案】C。

【考点】黄金分割。

【分析】黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的 倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点。

∵点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，∴AC= AB，

而AB=10cm，∴AC= ×10= (cm)。故选C。

7.(2011安徽省4分)如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD= ，CD= ，

点P在四边形ABCD的边上.若点P到BD的距离为 ，则点P的个数为

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B。

【考点】点到直线的距离，勾股定理，等腰三角形的性质。

【分析】如图，过点A 作AE⊥BD于E，过点C 作AE⊥BD于F，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2 ，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴AE=2> ，∴在AB和AD边上各有一点，使点P到BD的距离为 。又∵∠CDF=∠ADC-∠ADB=45°，CD= ，∴CF=1< 。∴在CB和DD边上不存在点，使点P到BD的距离为 。故选B。

8.(2011贵州毕节3分)如图，已知AB=AC，∠A= ，AB的中垂线MD交AC于

点D、交AB于点M。下列结论：①BD是∠ABC的平分线;②△BCD是等腰三角形;

③△ABC∽△BCD;④△AMD≌△BCD，正确的有( )个

A、4 B、3 C、2 D、1

【答案】B。

【考点】相似三角形的判定，全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理。

【分析】首先由AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M，求得△ABD是等腰三角形，即可求得∠ABD的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC与∠C的度数，则可求得所有角的度数，可得△BCD也是等腰三角形，则可证得△ABC∽△BCD：

∵AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M，∴AD=BD。∴∠ABD=∠A=36°。

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°。∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=36°。∴∠ABD=∠CBD。

∴BD是∠ABC的平分线。故①正确。

∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°。∴∠BDC=∠C=72°。

∴△BCD是等腰三角形，故②正确。

∵∠C=∠C，∠BDC=∠ABC=72°，∴△ABC∽△BCD。故③正确。

∵△AMD中，∠AMD=90°，△BCD中没有直角，∴△AMD与△BCD不全等。故④错误。

故选B。

9.(2011福建龙岩4分)现定义运算“★”，对于任意实数 、 ，都有 ★ = ，如：3★5= ，若x★2=6，则实数x的值是

A. 或 B.4或 C.4或 D. 或2

【答案】B。

【考点】新定义.因式分解法解一元二次方程。

【分析】根据新定义 ★ = ，将方程x★2=6转化为一元二次方程求解：

依题意，原方程化为x2-3x+2=6，即x2-3x-4=0，

分解因式，得(x+1)(x-4)=0，解得x1=-1，x2=4。故选B。

二、填空题

1.(2011天津3分)) 已知一次函数的图象经过点(0.1).且满足 随 的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为 ▲ (写出一一个即可).

【答案】 (答案不唯一)。

【考点】一次函数的图象和性质。

【分析】根据一次函数的图象和性质，直接得出结果。答案不唯一，形如 都可以。

2.(2011浙江湖州4分)如图，已知抛物线 经过点(0，-3)，请你确定一

个 的值，使该抛物线与 轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间.你所确定的 的值

▲ .

【答案】 (答案不唯一)。

【考点】抛物线与 轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】把(0，-3)代入抛物线的解析式 得： =-3，∴ ∵确定一个 的值，使该抛物线与 轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，假如过(2，0)，代入得：0=4+2 -3，

∴ 。

3.(2011浙江金华、丽水4分)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是　 ▲ 　(写出一个即可).

【答案】6。

【考点】三角形三边关系，解不等式。

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果：设第三边的长度为 ，则有8-4< <8+4，即4< <12。故答案为4< <12之间的数。

4.(2011浙江台州5分)如果点P( ， )的坐标满足 + = ，那么称点P为和谐点.

请写出一个和谐点的坐标： ▲ .

【答案】(2，2)(答案不唯一)。

【考点】点的坐标。

【分析】由题意点P( ， )的坐标满足 + = ，当 =2时，代入得到2+ =2 ，求出y=2。所以

(2，2)是和谐点。

5.(2011浙江省3分)定义新运算“⊕”如下：当 ≥ 时， ⊕ = + ,当 < 时， ⊕ = - ;若(2 -1)⊕( +2)=0，则 = ▲ .

【答案】-1或 。

【考点】求代数式的值。

【分析】根据定义，当2 -1≥ +2时，即 ≥3时，

由(2 -1)⊕( +2)=0得(2 -1) ( +2)+( +2)=0，解之得 =-2或0，均不合 ≥3，舍去;

当2 -1≥ +2时，即 <3时，

由(2 -1)⊕( +2)=0得(2 -1) ( +2)-(2 -1) =0，解之得 =-1或 ，符合 <3。

6.(2011辽宁沈阳4分)如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE=EF=FA.下列结论：①△ABE≌△ADF;②CE=CF;③∠AEB=75°;④BE+DF=EF;⑤S△ABE+S△ADF=S△CEF，其中正确的是 ▲ (只填写序号).

【答案】①②③⑤。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】由已知得AB=AD，AE=AF，利用“HL”可证△ABE≌△ADF，利用全等的性质判断①②③正确。在AD上取一点G，连接FG，使AG=GF，由正方形，等边三角形的性质可知∠DAF=15°，从而得∠DGF=30°，设DF=1，则AG=GF=2，DG= ，分别表示AD，CF，EF的长，判断④⑤的正确性：AD=CD=2+ ，CF=CE=CD-DF=1+ ，∴EF= CF= + ，而BE+DF=2，∴④错误。⑤∵S△ABE+S△ADF=2× AD×DF=2+ ，

S△CEF= CE×CF= =2+ ，∴⑤正确。

7.(2011辽宁抚顺3分)已知点P(-1,2)在反比例函数 的图象上，请任意写出此函数图象上一个点(不同于P点)的坐标是 ▲ .

【答案】(1，-2)答案不唯一。

【考点】点的坐标与方程的关系。

【分析】根据点在反比例函数的图象上，点的坐标满足方程的关系，由点P(-1,2)在反比例函数的图象上，代入即可求出 =-2，从而得到反比例函数的表达式 ，这样只要写出任意一点满足 的点即可。

5.(2011吉林省2分)如图，⊙O是⊿ABC的外接圆，∠BAC=500，点P在AO上(点P 不点A.O重合)则∠BPC可能为____ ▲_____度 (写出一个即可).

【答案】70 (答案不唯一，大于50小于100都可)。

【考点】三角形外角定理，同弧所对圆周角与圆心角的关系。

【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角一半的关系，得∠BOC=1000，由三角形外角定理知，∠BPC在∠BAC和∠BOC之间，即500和1000之间。

6.(2011黑龙江大庆3分)在四边形ABCD中，已知△ABC是等边三角形，

∠ADC=30º，AD=3，BD=5，则边CD的长为 ▲ .

【答案】4。

【考点】等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】如图，过点D作DE⊥AD并取DE=DC，连接CE，AE。

∵∠ADC=30º，∴∠EDC=60º。∴△DCE是等边三角形。∴DC=EC，∠DCE=60º。

又∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠BCA=60º。∴∠BCD=60º+∠ACD=∠ACE。

∴△BCD≌△DACE(SAS)。∴AE=BD。

∴在R △ADE中，AD=3，AE=BD=5，DE= 。

∴边CD的长为4。

6.(2011黑龙江龙东五市3分)如图所示，正方形ABCD中，点E在BC上，点F在

DC上，请添加一个条件： ▲ ，使△ABE≌△BCF(只添一个条件即可)。

【答案】BE=CF(答案不唯一)。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定。

【分析】根据已知条件正方形ABCD可知AB=BC，∠ABC=∠C=90°，要使△ABE≌△BCF，加上条件BE=CF，可以用SAS证明其全等;或加上条件AE=BF，可以用HL证明其全等;或……

7.(2011黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西3分)如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF=CE，请添加一个适当的条件： ▲ ，使得AC=DF.

【答案】AB=DE(答案不唯一)。

【考点】全等三角形的判定，平行的性质。

【分析】要使AC=DF，则必须满足△ABC≌△DEF，已知AB∥DE，BF=CE，则可得到∠B=∠E，BC=EF，从而添加AB=DE即可利用SAS判定△ABC≌△DEF;添加∠A=∠D即可利用AAS判定△ABC≌△DEF;

添加∠ACB=∠DFE即可利用ASA判定△ABC≌△DEF;等等。

9.(2011黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西3分)某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有 ▲ 种购买方案.

【答案】2。

【考点】二元一次方程(不定方程)的应用。

【分析】设甲种运动服买 套，乙种买 套钱都用尽，根据题意列出方程：20 +35 =365得 = ，根据 ， 必须为整数，化为 = 。要使 为整数， 要被4整除。同时考虑到35 ≤365，即 ≤10 ，所以 只能取3，7。故在钱都用尽的条件下，有2种购买方案：甲种运动服买13套，乙种买3套;甲种运动服买6套，乙种买7套。

10.(2011黑龙江牡丹江3分)如图，△ABC的高BD、CE相交于点O.请你添加一对相等的线段或一对相等的角的条件，使BD=CE.你所添加的条件是 ▲

【答案】∠DBC=∠ECB或∠EBC=∠DCB 或AB=AC或AE=AD等。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】由△ABC的高BD、CE相交于点0，可得∠BEC=∠CDB=90°，又由要使BD=CE，只需△BCE≌△CBD或△ABD≌△ACE，根据全等三角形的判定定理与性质，即可求得答案：∠DBC=∠ECB或∠EBC=∠DCB时，利用AAS即可证得△BCE≌△CBD;当BE=CD时，利用HL即可证得△BCE≌△CBD;当AB=AC或AE=AD时，利用AAS即可证得△ABD≌△ACE等。

11.(2011广西贺州3分)写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：_ ▲ .

【答案】 (答案不唯一)。

【考点】正比例函数图象的性质。

【分析】根据正比例函数图象的性质知，对于正比例函数 ，当 时其图象经过第二、四象限。

12.(2011广西钦州3分)写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：_ ▲ .

【答案】 (答案不唯一)。

【考点】正比例函数图象的性质。

【分析】根据正比例函数图象的性质知，对于正比例函数 ，当 时其图象经过第二、四象限。

13.(2011广西玉林、防城港3分)如图，AB是半圆O的直径，以OA为直径的半圆O′与弦AC交于点D，O′E∥AC，并交OC于点E.则下列四个结论：

①点D为AC的中点;② ;③ ;④四边形O'DEO是菱形.其中正确的结论是 ▲ .(把所有正确的结论的序号都填上)

【答案】①③④。

【考点】圆周角定理，平行的判定和性质，互为余角的性质，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，弧长公式，菱形的判定。

【分析】①如图，连接OD，∵AO是半圆O′的直径，∴∠ADO=900。

∴∠CDO=900。又∵O′E∥AC且A O′=O′O，∴CE=EO。∴DE=CE。∴∠CDE=∠DCE。又∵AO=CO，

∴∠ACE=∠CAO。∴∠CDE=∠CAO。∴DE∥AO。∴点D为AC的中点。故结论①正确。

②由①易知，△O′OE∽△AOC，而AO=2O′O，∴ 。故结论②错误。

③由弧长公式知， ， ，∴ 。故结论③正确。

④由①易知，O′O=OE=DE=AD，∴四边形O'DEO是菱形。故结论④正确。

综上所述，①③④正确

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