以下是精品学习网为您推荐的2013年部分地区中考数学几何综合型问题试题(附答案)，希望本篇文章对您学习有所帮助。

 2013年部分地区中考数学几何综合型问题试题(附答案)

7.(2012贵州六盘水，7，3分)下列命题为真命题的是( ▲ )

A.平面内任意三个点确定一个圆

B.五边形的内角和为540°

C.如果a>b,则ac2>bc2

D.如果两条直线被第三条直线所截那么所截得的同位角相等

分析：根据命题的定义：对一件事情做出判断的语句叫命题.正确的命题叫真命题，据此即对四个选项进行分析即可回答.

解答：解：A、平面内任意三点确定一个圆是一个假命题，，如三点在一条直线上，不能构成圆，故本选项错误;

B、五边形的内角和为540°，故本选项正确;

C、如果 则 ，如果c=0,结论不成立，故本选项错误;

D、如果两条直线被第三条直线所截，那么所得的同位角相等.没有平行线，故本选项错误;

故选B.

点评：此题考查了命题的定义，包括真命题和假命题.

13. (2012贵州省毕节市，13，3分)下列命题是假命题的是( )

A.同弧或等弧所对的圆周角相等 B.平分弦的直径垂直于弦

C.两条平行线间的距离处处相等 D.正方形的两条对角线互相垂直平分

解析：分析是否为假命题，可以举出反例;也可以分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.

解答：解：A、错误，同弧或等弧所对的圆周角相等或互补，是假命题;B、平分弦的直径垂直于弦是正确的，是真命题;C、两条平行线间的距离处处相等是正确的，是真命题;D、正方形的两条对角线互相垂直平分是正确的，是真命题.故选A.

点评：主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

31. ( 2012年四川省巴中市,31,12)如图12，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=43 ,点E、F分别是线段AD、AC上的动点(点E不与点A、D重合)，且∠CEF=∠ACB.

(1)求AC的长和点D的坐标;

(2)说明△AEF与△DCE相似;

(3)当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标.

【解析】①∵四边形ABCO为矩形,∴∠B=900

tan∠ACB=43 ,在Rt△ACB中，设BC=3k,AB=4k,由勾

股定理，AC=5K,∵AB=4k=16,∴k=4,

∴AC=20,OA=BC==3k=12,

∴点A的坐标为(-12，0)，

而点D与点A关于y轴对称,∴点D的坐标为(12，0)

②由：∠CDE=∠EAF,∠AEF

=∠DCE，得出△AEF∽△DCE

③分类讨论：

当CE=EF时，则△AEF∽△DCE，

∴AE=CD，即AO+OE=CD

设E(x,0),有12+x=20,∴x=8

此时，点E的坐标为(8.0)

当EF=FC时，∠FCE=∠FEC=∠ACB,

∴tan∠FCG =tan∠ACB=43 ,

作FG⊥CE于G,在Rt△FCG中，设CE=6a,则CG=3a

FG=4a,于是CF=5a,

∵△AEF∽△DCE

∴CE2=CF•AC,即36a2=5a•20,a=259

∴CE=259 ×6=503 .在Rt△CEO中，OE=CE2-OC2 =143 ∴E(143 ,0)

当CE=CF时，E与D重合与题目矛盾。

【答案】①AC=20,D(12.0) ②由：∠CDE=∠EAF,∠AEF=∠DCE，得出△AEF∽△DCE ③ E(8.0)或E(143 ,0)

【点评】本题难度比较大，综合考查了解直角三角形，勾股定理、相似三角形的条件、矩形又一次展现了数形结合思想的必要性。

25.(本题满分12分)如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE.

已知tan∠CBE= ，A(3，0)，D(-1，0)，E(0，3).

(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标;

(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线;

(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由;

(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0

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【解析】 (1)解：由题意，设抛物线解析式为y=a(x-3)(x+1).

将E(0，3)代入上式，解得：a=-1.

∴y=-x2+2x+3.

则点B(1，4).…………………………………………………………………………………2分

(2)如图6，证明：过点B作BM⊥y于点M，则M (0，4).

在Rt△AOE中，OA=OE=3，

∴∠1=∠2=45°，AE= =3 .

在Rt△EMB中，EM=OM-OE=1=BM，

∴∠MEB=∠MBE=45°，BE= = .

∴∠BEA=180°-∠1-∠MEB=90°.

∴AB是△ABE外接圆的直径.………………………………………………………………3分

在Rt△ABE中，tan∠BAE= = =tan∠CBE，

∴∠BAE=∠CBE.

在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°.

∴∠CBA=90°，即CB⊥AB.

∴CB是△ABE外接圆的切线.………………………………………………………………5分

(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，- ).………………………………………………………8分

(4)解：设直线AB的解析式为y=kx+b.

将A(3，0)，B(1，4)代入，得 解得

∴y=-2x+6.

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x= ， ∴F( ，3).…………9分

情况一：如图7，当0

则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L.

由△AHD∽△FHM，得 .即 .解得HK=2t.

∴S阴=S△MND-S△GNA-S△HAD= ×3×3- (3-t)2- t•2t=- t2+3t.…………11分

情况二：如图8，当

∴S阴=S△IQA-S△VQA= ×(3-t)×2(3-t)- (3-t)2= (3-t)2= t2-3t+ .

综上所述：s= ……………………………………………………12分

【答案】(1) y=-x2+2x+3， B(1，4);

(2) 证明：如图，过点B作BM⊥y于点M，则M (0，4).

在Rt△AOE中，OA=OE=3，

∴∠1=∠2=45°，AE= =3 .

在Rt△EMB中，EM=OM-OE=1=BM，

∴∠MEB=∠MBE=45°，BE= = .

∴∠BEA=180°-∠1-∠MEB=90°.

∴AB是△ABE外接圆的直径.………………………………………………………………3分

在Rt△ABE中，tan∠BAE= = =tan∠CBE，

∴∠BAE=∠CBE.

在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°.

∴∠CBA=90°，即CB⊥AB.

∴CB是△ABE外接圆的切线.

(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，- ).

(4) s=

【点评】本题以平面直角坐标系为背景，综合考察了二次函数、直线与圆的位置关系、锐角三角函数、三角形相似、勾股定理、待定系数法、分类讨论等知识，而且是中考的压轴题。知识点丰富全面，考查了学生综合运用知识、分类讨论思想来解决问题的能力。第1小题常规题，利用待定系数法求二次函数的解析式，难度较低;第2小题是利用勾股定理、锐角三角函数、90°的圆周角所对的弦是直径、等量代换等证明圆的切线，综合性较强，难度中等;第3小题，考察了分类讨论思想，在坐标轴上找点，构造寻找相似三角形，难度中等;第4小题，利用分类讨论思想、二次函数、和差法计算阴影部分面积，是压轴题的最后一题，将中下层面的学生拒之题外，难度较大.

23.(2012河南，23，11分)如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 交于A，B两点，点A在 轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不 与A，B重合)，过点P作 轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D

(1)求 及 的值

(2)设点P的横坐标为

①用含 的代数式表示线段PD的长，

并求出线段PD长的最大值;

②连接PB，线段PC把△PBD分成

两个三角形，是否存在适合的 值，

使这两个三角形的面积之比为9:10?

若存在，直接写出 值;若不存在，说明理由.

23.解析：(1)根据题意知，点A纵坐标为0，求出横坐标，点B纵坐标为3，也可求出横坐标，将A、B两点坐标代人求出 ，设直线 与 轴交于点 ，则 ，∵ ∥ 轴，∴ .能求∠ACP的正弦;(2)①在Rt△PCD中，用m表示出PC，结合上面求出的 值，表示出PD的长;②分别过点D,B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F，G，利用△PCD与△PCB公共边PC，分别用m表示出它们的高DF，BG，在Rt△PDF中， 又

∴

当 时.解得

当 时，解得

解：(1)由 ，得到 ∴

由 ，得到 ∴

∵ 经过 两点，

∴

设直线 与 轴交于点 ，则

∵ ∥ 轴，∴ .

∴

(2)由(1)可知抛物线的解析式为

∴

在Rt△PCD中，

∵ ∴当 时， 有最大值

②存在满足条件的 值，

点评：本题是一道函数与几何问题的综合题，先根据一次函数与抛物线的交点坐标求出函数的解析式，然后利用图象上面点的坐标来表示图形中线段的长，图形的面积等问题，再建立方程，或根据二次函数的性质求最值.

27.(2012江苏苏州，27，8分)如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x(2

(1)当x= 时，求弦PA、PB的长度;

(2)当x为何值时，PD•CD的值最大?最大值是多少?

分析： (1)由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l，又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形PCA与三角形PAB相似，由相似得比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在直角三角形PAB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长;

(2)过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PC﹣EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PC﹣PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值.

解答： 解：(1)∵⊙O与直线l相切于点A，且AB为⊙O的直径，

∴AB⊥l，又∵PC⊥l，

∴AB∥PC，

∴∠CPA=∠PAB，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠APB=90°，又PC⊥l，

∴∠PCA=∠APB=90°，

∴△PCA∽△APB，

∴ = ，即PA2=PC•AB，

∵PC= ，AB=4，

∴PA= = ，

∴Rt△APB中，AB=4，PA= ，

由勾股定理得：PB= = ;

(2)过O作OE⊥PD，垂足为E，

∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，

∴PE=ED，

又∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，

∴四边形OACE为矩形，

∴CE=OA=2，又PC=x，

∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2，

∴CD=PC﹣PD=x﹣2(x﹣2)=4﹣x，

∴PD•CD=2(x﹣2)•(4﹣x)=﹣2x2+12x﹣16=﹣2(x﹣3)2+2，

∵2

∴当x=3时，PD•CD的值最大，最大值是2.

点评： 此题考查了切线的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键.

(2012•哈尔滨，题号28分值 10) 28.(本题10分)

已知：在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，A0=MN.

(1)如图l，求证：PC=AN;

(2)如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC =3，CK：CF=2：3，求D Q的长.

【解析】本题是对三角形全等、相似、勾股定理、三角函数的综合考查.

(1)先证明△AQP≌△MNA，得AN=PQ，PA=AM，再利用等角的余角相等证∠ABP=∠CBP，结合角平分线性质说明PQ=PC，从而PQ=AN得证;

(2)NP=2，PC=3，结合(1)中结论易知AN=3，AP=AM=5，由勾股定理可计算MN=AQ=5

通过△PNM∽△PBC可得BC=6，则BP可求;

设CK=2m,CF=3m,通过△PNE∽△PKC， NE、EM可用m表示，由sin∠PBC= sin∠EMH= ，可将EH、FH用m表示;

作ER垂直BF于R，有tan∠BPC=tan∠EFR=2可求RF值，在RT△REP中勾股定理计算EF，可求m值，进而CK、BK可计算;

计算tan∠PKC= tan∠BDK=1，tan∠ABC= ，作KG垂直BA于G，设KG=4n,则BG=3n,BK=5n=3,n值可得解，BD=7n，DQ=AB-BD-AQ可解.

【答案】证明：(1)∵MA⊥AM，MN⊥AP，∠BAM=∠ANM=90°，∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，∴∠PAQ=∠AMN. ∵∠PQA=∠ANM=90°，AQ=MN，∴△APQ≌△MNA，∴AN=PQ，AM=AP，∴∠AMN=∠APN，又因为∠APM=∠BPC，∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°。∴∠ABM=∠PBC，又PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ=PC，∴AN=PC;

(2)∵NP=2，PC=5，∴由(1)知PA=NC=5，AC=8，∴AM=AP=5，∴AQ=MN=4.

设CK=2m,CF=3m.∵MN∥BF，∴△PNM∽△PBC，△PNE∽△PKC，

∴ ，∴BC=6，NE= ，∴BF=6+3m,ME=4- ,BP=3 ,

∴sin∠PBC= sin∠EMH= = ,∵EF⊥PM，∴FH=BF sin∠PBC= (6+3m)，EH=EM sin∠EMH= (4- ).

作ER垂直BF于R，则ER=NC=5.

∵∠RFE+∠REF=∠RFE+∠PBC=90°，∴∠REF=∠PBC，∴tan∠BPC=tan∠EFR= =2，∴RF= ，∴EF= ，∴m= ,∴CK=3，BK=3.

∵∠PKC+∠DKE=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，∴∠BDK=∠PKC.

∵tan∠PKC=1，∴tan∠BDK=1，作KG⊥BA于G，∵tan∠BDK=1，tan∠ABC= ，

∴设KG=4n,则BG=3n,GD=4n,∴BK=5n=3, n= ，∴BD=7n= .

∵AB=10，AQ=4，∴BQ=6，∴DQ=BQ-BD= .

【点评】本题第二问的难点在于如何巧妙添加辅助线、如何反复利用相似、同角(等角)的三角函数表示其他相关线段并列方程求解.

由MN∥BF推到三角形相似、结合CK：CF=2:3设定参数表示其他线段是本题的突破口，同角(等角)的三角函数值相等、勾股定理是解答本题的重要工具.

解答此类题目的宗旨是根据已知条件表示能表示的所有线段，寻找各线段之间的关系，建立起联系，逐步推进达到求解的目的.

23.(2012四川达州，23，12分)(12分)如图1，在直角坐标系中，已知点A(0，2)、点B(-2，0)，过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE.

(1)填空：点D的坐标为( )，点E的坐标为( ).

(2)若抛物线 经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式.?

(3)若正方形和抛物线均以每秒 个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在 轴上时，正方形和抛物线均停止运动.

①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为 ，求 关于平移时间 (秒)的函数关系式，并写出相应自变量 的取值范围.

②运动停止时，求抛物线的顶点坐标.??

解析：对于(1)，可知OC=1，过D作DF垂直y轴，则△OBC≌△FCD，则FC=OB=2，DF=OC=1，故点D坐标为(-1，3)，同理可得E点坐标为(-3，2);对于(2)，可用待定系数法，求出抛物线的解析式;对于(3)，可考虑当点D、B、E运动到y轴上时是三种情况，在这三个时间段内分别讨论，能做到不混淆、不重、不漏;求抛物线的顶点坐标，可以先求出点E平移到y轴后的坐标，从而可确定抛物线是如何平移，即可求出抛物线平移后的顶点坐标。

答案：(1)D(-1，3)、E(-3，2)(2分)

?(2)抛物线经过(0，2)、(-1，3)、(-3，2)，则

?……………………………………………………………….(3分)?

解得

?∴ ……………………………………………………….(4分)

?(3)①当点D运动到y轴上时，t= .

?当0

?设D′C′交y轴于点F

?∵?tan∠BCO= =2,又∵∠BCO=∠FCC′

?∴?tan∠FCC′=2, 即 =2

?∵CC′= t,∴FC′=2 t.?

∴S△CC′F?= CC′•FC′= t× t=5 t2…………………………………(5分)

?当点B运动到点C时，t=1.?当

?设D′E′交y轴于点G，过G作GH⊥B′C′于H.

?在Rt△BOC中，BC=

?∴GH= ,∴CH= GH=

?∵CC′= t,∴HC′= t- ,∴GD′= t-

?∴S梯形CC′D′G?= ( t- + t) =5t- ……………………………(7分)

?当点E运动到y轴上时，t= .

?当1

?设D′E′、E′B′分别交y轴于点M、N

?∵CC′= t，B′C′= ,

∴CB′= t- ,?∴B′N=2CB′= t-

∵B′E′= ,∴E′N=B′E′-B′N= - t

?∴E′M= E′N= ( - t)

?∴S△MNE′?= ( - t)• ( - t)=5t2-15t+

?∴S五边形B′C′D′MN?=S正方形B′C′D′E′?-S△MNE′?= (5t2-15t+ )=-5t2+15t-

?综上所述，S与x的函数关系式为：

当0

当

当1

?

②当点E运动到点E′时，运动停止.如下图所示

?∵∠CB′E′=∠BOC=90°，∠BCO=∠B′CE′

?∴△BOC∽△E′B′C

?∴

?∵OB=2，B′E′=BC=

?∴

?∴CE′=

?∴OE′=OC+CE′=1+ =

?∴E′(0， )…………………………………………………………………..(10分)

?由点E(-3，2)运动到点E′(0， ),可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了 个单位.

?∵ = ?

∴原抛物线顶点坐标为( ， )……………………………………………(11分)

?∴运动停止时，抛物线的顶点坐标为( ， )…………………………(12分)

点评：本题以直角坐标系内的正方形为基本图形，设计出正方形沿着某条直线平移的运动型问题，考查了三角形全等、三角形相似的判定及其性质，图形的平移及其性质等知识点，考察了待定系数法、数形结合方法，分类思想方法，具体有较强的综合性和一定的区分度。

28.(2012江苏苏州，28，12分)如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x(s)，线段GP的长为y(cm)，其中0≤x≤2.5.

(1)试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值;

(2)记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2.试说明S1﹣S2是常数;

(3)当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.

分析： (1)根据题意表示出AG、GD的长度，再由△GCD∽△APG，利用对应边成比例可解出x的值.

(2)利用(1)得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可.

(3)延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度.

解答： 解：(1)∵CG∥AP，

∴△GCD∽△APG，

∴ = ，

∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，

∴GD=3﹣x，AG=4﹣x，

∴ = ，即y= ，

∴y关于x的函数关系式为y= ，

当y=3时， =3，解得x=2.5，

经检验的x=2.5是分式方程的根.

故x的值为2.5;

(2)∵S1= GP•GD= • •(3﹣x)= ，

S2= GD•CD= (3﹣x)1= ，

∴S1﹣S2= ﹣ = 即为常数;

(3)延长PD交AC于点Q.

∵正方形ABCD中，AC为对角线，

∴∠CAD=45°，

∵PQ⊥AC，

∴∠ADQ=45°，

∴∠GDP=∠ADQ=45°.

∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP，

∴3﹣x= ，

化简得：x2﹣5x+5=0.

解得：x= ，

∵0≤x≤2.5，

∴x= ，

在Rt△DGP中，PD= = (3﹣x)= .

点评： 此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形的知识，解答本题的关键是用移动的时间表示出有关线段的长度，然后运用所学知识进行求解.

23(2012深圳市 23 ，19分)如图9—①，平在面直角从标系中，直线 的位置随 的不同取值而变化。

(1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2

当 时，直线 经过圆心M;

当 时，直线 与 ⊙M相切;

(2)若把⊙M换成矩形 ，如图9—②，其三个顶点的坐标分别为： 。设直线 扫过矩形 的面积为 ，当 由小到大变化时，请求出 与 的函数关系式。

【解析】：(1)若直线经过圆心，则点M在直线 上，将M(4，2)代入直线解析式中，即可求出 的值;(2)当直线与⊙M相切时，构造直角三角形，得用相似或解直角三角形的方法，可求 的值，注意分类。(3)直线在运动中，扫过知形之前，扫过的面积为0，直线扫过矩形时，扫过的图形分别为三角形，直角梯形，五边形、矩形，故可分5种情况，求出 与 的函数关系式，是典型的分段函数。

【解答】：(1) ;

如图9—3，易求 ，则 ，又 ∥

则 ，

由于 ，

则 ，

设 则 ，有 ，

， ,

, 故 ，

代入 ，求得 ，类似可求

(2)如图9—4 ①当 时，直线不扫过知形，此时

② 时，直线扫过矩形的面积为三角形的面积，由于直线与 轴的交点为意 ，故

③ 当 时，直线扫过矩形的面积为

直角梯形的面积，此时与DC交点为

④ 当 时，直线扫地矩形的面积为五边形，

此时直线与DC的交点为 则

⑤ 当 时，直线扫过矩形的面积即为矩形的面积，故

综上，

【点评】：本题主要考查分段函数和分类计论思想。分类时要做到不重不漏，各种情况要仔细分析，计算量大。各种情况根据图形的特点，用面积公式求解。

23.(2012广东汕头，23，12分)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8.把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G;E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合.

(1)求证：△ABG≌△C′DG;

(2)求tan∠ABG的值;

(3)求EF的长.

分析： (1)根据翻折变换的性质可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出结论;

(2)由(1)可知GD=GB，故AG+ GB=AD，设AG=x，则GB=8﹣x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长，进而得出tan∠ABG的值;

(3)由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD= AD=4，再根据tan∠ABG即可得 出EH的长，同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结论.

解答： (1)证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，

∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，

∴∠ABG=∠ADE，

在：△ABG≌△C′DG中，

∵ ，

∴△ABG≌△C′DG;

(2)解：∵由(1)可知△ABG≌△C′DG，

∴GD=GB，

∴AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8﹣x，

在Rt△ABG中，

∵AB2+AG2=BG2，即62+x2=(8﹣x)2，解得x= ，

∴tan∠ABG= = = ;

(3)解：∵△AEF是△DEF翻折而成，

∴EF垂直平分AD，

∴HD= AD=4，

∴tan∠ABG=tan∠ADE= ，

∴EH=HD× =4× = ，

∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，

∴HF是△ABD的中位线，

∴HF= AB= ×6=3，

∴EF=EH+HF= +3= .

点评： 本题考查的是翻折变换、全等三角形的判定与性质、矩形的性质及解直角三角形，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状 和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键.

25.(2012山西，25，12分)问题情境：将一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由.

探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：

解：OM=ON，证明如下：

连接CO，则CO是AB边上中线，

∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线.(依据1)

∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON.(依据2)

反思交流：

(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：

依据1：

依据2：

(2)你有与小宇不同的思考方法吗?请写出你的证明过程.

拓展延伸：

(3)将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程.

【解析】(1)解：故答案为：等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)，角平分线上的点到角的两边距离相等.

(2)证明：∵CA=CB，

∴∠A=∠B，

∵O是AB的中点，

∴OA=OB.

∵DF⊥AC，DE⊥BC，

∴∠AMO=∠BNO=90°，

∵在△OMA和△ONB中

，

∴△OMA≌△ONB(AAS)，

∴OM=ON.

(3)解：OM=ON，OM⊥ON.理由如下：

连接CO，则CO是AB边上的中线.

∵∠ACB=90°，

∴OC= AB=OB，

又∵CA=CB，

∴∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°，

∴∠2=∠B，

∵BN⊥DE，

∴∠BND=90°，

又∵∠B=45°，

∴∠3=45°，

∴∠3=∠B，

∴DN=NB.

∵∠ACB=90°，∴∠NCM=90°.又∵BN⊥DE，∴∠DNC=90°

∴四边形DMCN是矩形，

∴DN=MC，

∴MC=NB，

∴△MOC≌△NOB(SAS)，

∴OM=ON，∠MOC=∠NOB，

∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，

即∠MON=∠BOC=90°，

∴OM⊥ON.

【答案】(1)解：故答案为：等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)，角平分线上的点到角的两边距离相等.

(2)证明过程省略.

(3)解：OM=ON，OM⊥ON.理由见解析.

【点评】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质等初数中常见的几何知识点.对考生的综合能力有一定的要求，故是选拔考生较好的能力题.难度较大.

23.(本题满分10分)

(2012山东东营，23，10分)(1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.求证：CE=CF;

(2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用(1)的结论证明：GE=BE+GD.

(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积.

【解析】(1)利用已知条件，可证出△BCE≌△DCF(SAS)，即CE=CF.(2)延长AD至F，使DF=BE.连接CF.借助(1)的全等得出∠BCE=∠DCF，∴∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°-∠GCE=45°，即∠GCF=∠GCE，又因为CE=CF，CG=CG，∴△ECG≌△FCG，∴EG=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD.(3)过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).再设AB=x，利用(1)、(2)的结论，在Rt△AED中利用勾股定理可求出x.

【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，

∴△CBE≌△CDF.∴CE=CF.

(2)证明： 如图2，延长AD至F，使DF=BE.连接CF.

由(1)知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF.

∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°，

又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°.

∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，

∴△ECG≌△FCG.∴GE=GF,∴GE=DF+GD=BE+GD.

(3)如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G.在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°，又∠CGA=90°，AB=BC，

∴四边形ABCD 为正方形.∴AG=BC.已知∠DCE=45°，

根据(1)(2)可知，ED=BE+DG.

所以10=4+DG，即DG=6.设AB=x，则AE=x-4，AD=x-6,在Rt△AED中，∵ ，即 .解这个方程，得：x=12，或x=-2(舍去).∴AB=12.所以梯形ABCD的面积为S=

【点评】本题是一道几何综合题，内容涉及三角形的全等、图形的旋转以及勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能力.本题的设计由浅入深，循序渐进，考虑到学生的个体差异.

专项八 几何综合型问题(42)

23.(湖南株洲市8,23题)(本题满分8分)如图，在△ABC中，∠C=90°,BC=5米,AC=12米。M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒;同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒。运动时间为t秒。

(1)、当t 为何值时，∠AMN=∠ANM ?

(2)、当t 为何 值时，△AMN的面积最大?并求出这个最大值。

【解析】(1)当两角相等可知，AM=AN，列出方程求出t的值，(2)面积的最值问题是利用二次函数的最值问题，根据题意写出三角形的面积与t的函数关系式，根据自变量的取值及二次函数的性质求出最值.

【解】(1)、依题意有 …… 1分

…… 2分

解得：t=4 秒，即为所求。 …… 3分

(2)、

解法一：如图作 …… 4分

…… 6分

…… 8分21世纪教育网

解法二：

…… 4分

…… 6分

…… 8分

【点评】求最大面积、最大利润等问题，一定要考虑到函数关系式的应用，特别是二次函数的应用。

19. (2012四川省南充市，19，8分) 矩形ABCD中，AB=2AD,E为AD的中点，EF⊥EC交AB于点F，连接FC.

(1)求证：△AEF∽△DCE;

(2)求tan∠ECF的值.

解析：(1)由四边形ABCD是矩形，EF⊥EC，易得∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DEC，由有两组角对应相等的两个三角形相似，即可判定△AEF∽△DCE;

(2)由△AEF∽△DCE，根据相似三角形的对应边成比例，可得 ，又由矩形ABCD中，AB=2AD，E为AD的中点，tan∠ECF= ，即可求得答案.

答案：解：(1)在矩形ABCD中，∠A=∠D=900.

∵EF⊥EC，∴∠FEC =900.∴∠FEA+∠CED=900.

∵∠FEA+∠EAF=900.∴∠EAF=∠CED.

∴⊿AEF∽⊿DCE.

(2)∵AB=2AD，E为AD的中点,

∴ .

∵⊿AEF∽⊿DCE. ∴ .

在 中， .

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及锐角三角函数的定义.此题难度适中，在根据题意无法直接求得三角形中边的长短时，可考虑利用三角形的相似关系，通过对应边的比例相等的特点，结合题中的线段间倍数关系，推得某角的三角函数值。解题时还要注意数形结合思想的应用。

24. (2012浙江省嘉兴市，24，14分)在平面直角坐标系xOy中,点P是抛物线y= 上的动点(点P在笫一象限内).连结OP,过点O作OP的垂线交抛物线于另一点Q.连结PQ,交y轴于点M.作PA⊥x轴于点A,QB⊥x轴于点B.设点P的横坐标为m.

(1)如图①,当m= 时,

①求线段OP的长和tan∠POM的值;

②在y轴上找一点C,使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形,求点C的坐标;

(2)如图②,连结AM、BM,分别与OP、OQ相交于点D、E。

①用含m的代数式表示点Q的坐标;

②求证:四边形ODME是矩形。

【解析】(1)①欲求线段OP的长,需要先求得点P的坐标,把P点的横坐标m代入 ,可得;由PA⊥x轴, 得PA∥MO, ∴tan∠POM=tan∠OPA= .

②欲求点C的坐标, 需要先求得点Q的坐标.设Q(n, ),由题意可得 ,进而得

Q( , ),∴OQ= .以OQ为腰, 分别讨论当OQ=OC和OQ=CQ时,点C的坐标即可.

(2)①由P点的横坐标为m,利用相似三角形的性质可推得点Q( , ).②先利用待定系数法求得直线PQ的函数解析式,进而得点M的坐标.利用相似三角形的判定证得△QBO∽△MOA,进而证得Q0∥ MA. 同理可证:EM∥ OD. 又∵∠EOD=90° .所以四边形ODME是矩形。

【答案】 (1)①把m= 代入 , y=2.∴P( ,2), ∴OP= .

∵PA⊥x轴,∴PA∥MO.

∴tan∠POM=tan∠OPA= = .

②设Q(n, ),∵tan∠QOB=tan∠PON, ∴ .

∴ ,∴Q( , ),∴OQ= .

当OQ=OC时,则 , ;

当OQ=CQ时,则 .

综上所述,所求点C的坐标为: , , .

(2)①∵P(m , ),设Q(n, ). ∵△APO∽△BOQ,∴ .∴ ,得

∴Q( , ).

②设直线PO的廨析式为:y=kx+b,把P(m , )、Q( , )代入得:

解得b=1, ∴M(0,1)

∵ ,∠QBO=∠MOA=90°, ,∴△QBO∽△MOA.

∴∠MAO=∠QOB, ∴QO∥ MA.

同理可证:EM∥ OD.

又∵∠EOD=90°, ∴四边形ODME是矩形。

【点评】本题是一道几何代数综合题,主要考查了一次函数,二次函数, 勾股定理, 相似三角形的性质与判定,矩形的判定及方程思想,分类讨论,特殊到一般的数学思想等的综合应用.

解题的关键:灵活应用所学,求出关键点P、Q、M点的坐标.

(1)中,①运用了勾股定理,平行线的性质,锐角三角函数的意义; ②运用了方程思想,分类讨论的思想. (2)中相似三角形的性质与判定,,矩形的判定.

26.(2012湖北襄阳，26，13分)如图12，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点.

(1)求AD的长及抛物线的解析式;

(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似?

(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点M与点N的坐标(不写求解过程);若不存在，请说明理由.

【解析】(1)根据折叠前后的相等线段，先在Rt△OEC中求出OE长，再在Rt△ADE中运用勾股定理构建方程求AD.然后将O，D，C三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c求出a，b，c即可.(2)分别用含t的代数式表示CQ和CP的长，再利用相似三角形产生的相似比构建含t的方程，解之即得.(3)从两定点C，E形成的边CE为平行四边形的边和对角线两个角度分析求解.

【答案】解：(1)∵四边形ABCO为矩形，

∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10.

由题意得，△BDC≌△EDC.

∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD.

由勾股定理易得EO=6.

∴AE=10-6=4.

设AD=x，则BD=DE=8-x，由勾股定理，得x2+42=(8-x)2.

解之得，x=3，∴AD=3.

∵抛物线y=ax2+bx+c过点O(0，0)，∴c=0.

∵抛物线y=ax2+bx+c过点D(3，10)，C(8，0)，

∴ 解之得

∴抛物线的解析式为：y=- x2+ x.

(2)∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，

∴∠DEA=∠OCE.

由(1)可得AD=3，AE=4，DE=5.

而CQ=t，EP=2t，PC=10-2t.

当∠PQC=∠DAE=90°时，△ADE∽△QPC，

∴ = ，即 = ，解得t= .

当∠QPC=∠DAE=90°时，△ADE∽△PQC，

∴ = ，即 = ，解得t= .

∴当t= 或 时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似.

(3)存在.M1(-4，-32)，N1(4，-38).

M2(12，-32)，N2(4，-26).

M3(4， )，N3(4，- ).

【点评】本题是一道直线形坐标几何问题，综合考查轴对称，全等三角形，矩形的性质，相似三角形，勾股定理与方程，平行四边形等方面的知识.重点考查学生综合运用数学知识解决综合问题的能力，以及运用方程思想，数形结合思想和分类讨论的思想解决问题的能力.本题入口较宽，第(1)问就是教材习题，能保证大部分考生得分，具有公平性;第(2)问属于动态探究问题，根据相似三角形产生的相似比建立含t的方程是求解关键.第(3)问情况有三种，所要求的点有六个，如何条理清晰的进行分类得出点的位置是解题先决条件.这类问题通常是以两定点形成的边为突破口，把它当作边和对角线分别思

23.(2012四川攀枝花，23，12分)(12分)如图9，在平面直角坐标系 中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=

(1)求过A、C、D三点的抛物线的解析式;

(2)记直线AB的解析式为 ，(1)中抛物线的解析式为 ，求当 时，自变量 的取值范围;

(3)设直线AB与(1)中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大?并求出面积的最大值。

【解析】菱形的性质，求抛物线解析式，

三角形函数，三角形的面积的求法

【答案】解：

(1)∵四边形ABCD是菱形

∴AB=CD=5，∠B=∠ADC

∴OC：CD=sin∠ADC

即OC=4

在Rt△OCD中，OD=3

OA=AD–OD=2

∴D(3，0)，A(–2，0)，C(0，4)，B(–5，4)

设抛物线解析式为y=a(x–3)(x+2)

将C(0，4)代入，得a= –

y= – (x–3)(x+2)= – x2+ x+4

(2)把A(–2，0)和B(–5，4)代入

解得 ∴

解得x1=5,x2= –2，

∴ –2

(3)作AF∥y轴，EF∥x轴，连结PF

xB=5,yB= ∴E(5， ) A(–2，0)

设P(m, – m2+ m+4)

AF= ，EF=7，

S△PAE=S△AFP+S△EFP–S△AFE= AF(xP–xA)+ EF(yP–yE)– AF×EF

=

= =

∴当m= ，即P( ， )时△PAE有最大值为 。

【点评】(1)本题重点考查了菱形的性质，以及利用三角函数求线段长度和点的坐标。利用坐标求抛物线解析式。

(2)求出直线与抛物线的两交点坐标，并结合图像解答问题。

(3)求三角形面积的方法有很多种，此种方法利用割补法求出三角形面积关于m的函数关系式，并求最大值。

24.(2012四川攀枝花，24，12分)(12分)如图10所示，在 形状和大小不确定的△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于 D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP= ，PE= .

(1)当 时，求 的值;

(2)当CQ= CE时，求 与 之间的函数关系式;

(3)①当CQ= CE时，求 与 之间的函数关系式;

②当CQ= CE( 为不小于2的常数)时，求直接 与 之间的函数关系式。

【解析】平行、角平分线、等腰三角形、相似、对应边成比例

【答案】

解：

(1)∵E、F是AB、AC中点

∴EF∥BC，EF=0.5BC=3

∴EP= =1

∵EF∥BC

∴△DPE∽△DBC

∴EP：BC=1：6

∴ =1：36

(2)延长BQ交射线EF于点G

∵EF∥BC

∴∠G=∠GBC

又∵∠GBC=∠GBP

∴∠G=∠GBP

∴PG=BP=y

即EG=x+y

∵EF∥BC

∴△QEG∽△QCB

∴EQ：QC=EG：BC=1

x+y=6

y= –x+6

(3)

①同(2)中

△QEG∽△QCB

EQ：QC=EG：BC=2

x+y=2×6

y= –x+12

②y= –x+6(n–1)

【点评】本题考查了角平分线和平行所形成的等腰三角形，以及平行有相似，利用相似三角形对应边成比例求解。

专项八 几何综合型问题(42)

19. (2012四川省南充市，19，8分) 矩形ABCD中，AB=2AD,E为AD的中点，EF⊥EC交AB于点F，连接FC.

(1)求证：△AEF∽△DCE;

(2)求tan∠ECF的值.

解析：(1)由四边形ABCD是矩形，EF⊥EC，易得∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DEC，由有两组角对应相等的两个三角形相似，即可判定△AEF∽△DCE;

(2)由△AEF∽△DCE，根据相似三角形的对应边成比例，可得 ，又由矩形ABCD中，AB=2AD，E为AD的中点，tan∠ECF= ，即可求得答案.

答案：解：(1)在矩形ABCD中，∠A=∠D=900.

∵EF⊥EC，∴∠FEC =900.∴∠FEA+∠CED=900.

∵∠FEA+∠EAF=900.∴∠EAF=∠CED.

∴⊿AEF∽⊿DCE.

(2)∵AB=2AD，E为AD的中点,

∴ .

∵⊿AEF∽⊿DCE. ∴ .

在 中， .

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及锐角三角函数的定义.此题难度适中，在根据题意无法直接求得三角形中边的长短时，可考虑利用三角形的相似关系，通过对应边的比例相等的特点，结合题中的线段间倍数关系，推得某角的三角函数值。解题时还要注意数形结合思想的应用。

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