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 中考数学代数综合型问题试题整理汇集(带答案)

11. (2012山东莱芜， 11，3分)以下说法正确的有：

①正八边形的每个内角都是135°

② 与 是同类二次根式

③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°

④反比例函数 ，当x<0时，y随的x增大而增大

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个

【解析】正八边形的每个内角度数：180° ，①正确

= ， = ， 与 是同类二次根式，②正确

一条非直径的弦对两个圆周角，分别是一个锐角和一个钝角，长度等于半径的弦所对的圆周角为30°错误

反比例函数 ，当x<0时，y随的x增大而增大，④正确

【答案】C.

【点评】掌握基础知识，记住当用的结论如正多边形的各个内角的计算、同类二次根式的识别判断、反比例函数的图象的性质。对于一些多解问题，要做到思考问题全面.

7. (2012山东日照，7，3分)下列命题错误的是 ( )

A.若 a<1，则(a-1) =-

B. 若 =a-3 ，则a≥3

C.依次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形

D. 的算术平方根是9

解析：因为a<1，所以1-a>0，所以(a-1) = (a-1) = =- ,故A正确;B中有a-3≥0，a≥3，故B正确;因为菱形的对角线互相垂直，所以连接其各边中点得到的四边形是矩形，C也正确. =9，9的算术平方根是3，所以D错误.

解答：选D.

点评：本题考查的知识点有 的性质、算术平方根和中点四边形，运用 时，先得 =|a|,再根据a得符号去掉绝对值符号，这样会有效减少错误.另外，中点四边形主要与原四边形的对角线有关，原四边形的对角线相等，则中点四边形是棱形;原四边形的对角线互相垂直，则中点四边形是矩形;原四边形的对角线互相垂直且相等，则中点四边形是正方形.反之也成立.

8、(2012深圳市 8 ，3分)下列命题：

① 方程 的解是

② 4的平方根是2

③ 有两边和一角相等的两个三角形全等

④ 连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形

其中是真命题的有( )个

A. 4个 B. 3个 C 2个 D. 1个

【解析】：考查方程的解，平方根的意义，三角形全等的判定，中点四边形的性质

【解答】：①漏了一个解;4的平方根是 ， 不能用作三角形全等的判定

由中点四边形的性质知，中点四边形一定是平行四边形。正确的命题只有一个。故选择D

【点评】：对相关概念的准确理解和记忆，熟悉相关图形的性质，是解题的关键。

12.(2012山东东营，12，3分)如图，一次函数 的图象与 轴， 轴交于A，B两点，与反比例函数 的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作 轴， 轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE.有下列四个结论：

①△CEF与△DEF的面积相等;

②△AOB∽△FOE;

③△DCE≌△CDF;

④ .

其中正确的结论是( )

A.①② B. ①②③

C.①②③④ D. ②③④

【解析】根据题意可求得D(1，4 )，C(-4，-1)，则F(1，0)，∴△DEF的面积是： ，

△CEF的面积是： ，∴△CEF的面积=△DEF的面积，故①正确;②即△CEF和△DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，故EF∥CD，△AOB∽△FOE，故②正确;DF=CE，四边形CEFD是等腰梯形，所以△DCE≌△CDF，③正确;⑤∵BD∥EF，DF∥BE，∴四边形BDFE是平行四边形，∴BD=EF，同理EF=AC，∴AC=BD，故④正确;正确的有4个.

【答案】C

【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积，全等三角形的判定，相似三角形的判定，检查同学们综合运用定理进行推理的能力，关键是需要同学们牢固掌握课本知识并能综合运用.

7. (2012湖北黄冈，7，3)下列说法中

①若式子 有意义，则x>1.

②已知∠α=27°，则∠α的补角是153°.

③已知x=2 是方程x2-6x+c=0 的一个实数根，则c 的值为8.

④在反比例函数 中，若x>0 时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是k>2. 其中正确命题有( )

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

【解析】若式子 有意义，则x≥1，①错误;由∠α=27°得∠α的补角是=180°-27=153°，②正确.

把x=2 代入方程x2-6x+c=0得4-6×2+c=0，解得c=8，③正确;反比例函数 中，若x>0 时，y 随x 的增大而增大，得：k-2<0，∴k<2，④错误。故选B.

【答案】B

【点评】本题用判断的形式考查了二次根式、互为补角、一元二次方程根等定义和反比例函数的性质.难度较小

(2012河北省22,8分)22、(本小题满分8分)

如图12，四边形ABCD是平行四边形，点A(1,0)，B(3,1)，C(3,3)，反比例函数 的图像过点D，点P是一次函数y=kx+3-3k 的图象与该反比例函数的一个公共点。

(1)求反比例函数的解析式;

(2)通过计算，说明一次函数y=kx+3-3k 的图象一定过点C;

(3)对于一次函数y=kx+3-3k ，当y随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围(不必写出过程)。

【解析】(1)平行四边形对边平行且相等，以及平行坐标轴的直线坐标的特征，可得点D的坐标为(1,2)，在利用待定系数法求出m的值，得到反比例函数的解析式。(2)判断点是否在直线上，就是把点的坐标代入到直线的解析式中，看等式是否成立，若成立，点就在直线上，反之就不在直线上。(3)由(2)知直线过点C，当直线平行于x轴时，即点P的纵坐标为3，则横坐标为 ，当直线与x轴垂直时，点P的横坐标为3.通过观察图像，当点P的横坐标介于 和3之间就能保证k>0，即y随x的增大而增大。

【答案】解：(1)由题意，AD=BC=2，故点D的坐标为(1,2)……………………………2分

∵反比例函数 的图象经过点D(1,2) ∴ ， ∴m=2

∴反比例函数的解析式为 ……………………………4分

(2)当x=3时，y=3k+3-3k=3，∴一次函数y=kx+3-3k 的图象一定过点C。…………………6分

(3)设点P的横坐标为a， 。……………………8分

【注：对(3)中的取值范围，其他正确写法，均相应给分】

【点评】本题是平行四边形、一次函数反、比例函数及坐标系中特殊点的坐标的特征的综合应用。有一定难度，学生不容易想到解题方法。特别是最后一问，y随x的增大而增大，学生不容易看出点P的横坐标的范围。难度偏大。

24.(2012贵州省毕节市，24，10分)近年来，地震、泥石流等自然灾害频繁发生，造成极大的生命和财产损失。为了更好地做好“防震减灾”工作，我市相关部门对某中学学生“防震减灾”的知晓率采取随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本连接”和“不了解”四个等级。小明根据调查结果绘制了如下统计图，请根据提供的信息回答问题：

第24题图

(1)本次参与问卷调查 的学生有 人;扇形统计图中“基本连接”部分所对应的扇形圆心角是 度;在该校2000名学生中随机提问一名学生，对“防震减灾”不了解的概率为 .

(2)请补全频数分布直方图。

解析：(1)根据“非常了解”的人数与所占的百分比列式计算即可求出参与问卷调查的学生人数;求出“基本了解”的学生所占的百分比，再乘以360°，计算即可得解;求出“不了解”的学生所占的百分比即可;

(2)根据学生总人数，乘以比较了解的学生所占的百分比，求出比较了解的人数，补全频数分布直方图即可.

解答：解：(1)80÷20%=400人， =144°，

，故答案为400，144°， ;

(2)“比较了解”的人数为：400×35%=140人，

补全频数分布直方图如图

点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计

图获取信息的能力.利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.

(2012•哈尔滨，题号27分值 10)27.(本题l0分)

如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABC0是平行四边形， 直线y=_x+m经过点C,交x轴于点D.

(1)求m的值;

(2)点P(0，t)是线段OB上的一个动点(点P不与0，B两点重合)，过点P作x轴的平行线，分别交AB，0c，DC于点E，F，G.设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式 ( 直接写出自变量t的取值范围);

(3)在(2)的条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点M，当以OG为直径的圆经过点M时，恰好使∠BFH=∠AB0.求此时t的值及点H的坐标.

本题综合考查一次函数、平行四边形、相似、三角函数、勾股定理等知识.

(1)由y=2x+4求出点A、B的坐标，结合ABCO是平行四边形可求点C坐标，将点C坐标代入y=-x+m可求m值;

(2)先由y=-x+m计算点D坐标，易知FG=d-2, △CFG∽△COD，△CFG边FG上的高为4-t, △CFG∽△COD，根据对应高的比等于相似比列式可求d与t的函数关系式;

(3) 可以将EP用t表示出来，所以PG=d-EP(d已用t表示)也可以用t表示出来.因为∠OPG=∠OMG=90°，∠PFO=∠MFG，所以∠POF=∠MGF，又因为∠ABO=∠POF，所以tan∠MGF =tan∠ABO= ，将用t表示EP、PG的式子代入上式可求t值;

t值已求，可知PB、OP、PF的值，由勾股定理可计算BF的值，由△BHF∽△BFO，列比例式可计算BH，从而求出点H坐标.

【答案】解：(1)∵y=2x+4与坐标轴交与A、B，∴A(-2,0)，B(04)，即OA=2，OB=4.

∵BC平行且等于OA，所以C(2,4)，将C(2,4)代入y=-x+m，得m=6，∴y=-x+6;

(2)∵y=-x+6与x轴交与点D，∴D(6,0)，即AB=8，OD=6.

∵点P(0，t)，EG=d,EF=2，∴FG=d-2，△CFG边FG上的高为4-t.

∵△CFG∽△COD，∴ ，即 ，∴d=8- (0

(3)∵tan∠ABO= ，即 ，∴EP=2- ，∴PG=d-EP=8- -(2- )=6-t.

∵AB∥OC，∴∠ABO=∠BOC.∵OG为直径的圆过点M，∴∠FMG=OPG=90°，又∠PFO=∠MFG，∴∠ABO=∠BOC=∠MGF，∴tan∠ABO=tan∠MGF= ,即 ，∴t=2;

当t=2时，PB=OB=2，∵tan∠ABO=tan∠BOC= ，∴PF=1，∴BG= .

∵∠HBF=∠FBH，∠ BFH=∠ABO=∠BOF，∵△BHF∽△BFO，∴BF2=BH•BO，即5=4BH，∴BH= ，∴OH= ，∴H(0， ).

【点评】本题综合性强，不容易发现表达函数关系以及求未知量的途径.此类题目做到“数形结合”，将求函数解析式的问题转化为求线段长度的问题，采用“以静制动”的方法，寻找各量与变量之间的关系. 三角形相似、同一锐角(或等角)的三角函数、勾股定理常常能将一组线段建立起联系，是建立函数关系、列方程求未知量的常用到的方法.

24.(2012湖北荆州，24，12分)(本题满分12)已知：y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点.

(1)求k的取值范围;

(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k-1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.

①求k的值;②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值.

【解析】(1)当k =1时，函数为一次函数y=-2x+3，其图象与x轴有一个交点.

当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，

令y=0得(k-1)x2-2kx+k+2=0.

△=(-2k)2-4(k-1)(k+2)≥0，解得k≤2.即k≤2且k≠1.(录入答案是k=1)

综上所述，k的取值范围是k≤2.

(2)①∵x1≠x2，由(1)知k<2且k≠1.(录入答案是k=1)

由题意得(k-1)x12+(k+2)=2kx1.

将(*)代入(k-1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：

2k(x1+x2)=4x1x2.

又∵x1+x2= ，x1x2= ，

∴2k• =4• .

解得：k1=-1，k2=2(不合题意，舍去).

∴所求k值为-1.

②如图5，∵k1=-1，y=-2x2+2x+1=-2(x- )2+ .

且-1≤x≤1.

由图象知：当x=-1时， y 最小=-3;当x= 时，y最大= .

∴y的最大值为 ，最小值为-3.

【答案】(1) k≤2(2)①k值为-1②y的最大值为 ，最小值为-3.

【点评】本题是函数与方程的一个综合性题目，考察了函数、方程、不等式的有关知识。在计算时由于没有说明二次项系数是否为零，因此首先应进行分类讨论。在解决二次函数与图象与x轴的交点问题时，应利用判别式进行计算，结合一元二次方程有关知识如根与系数的关系、根代入原方程可以得到等式等。另外，计算二次函数在某一段的最值时，要结合图象进行计算，防止出现端点值是该段的极值的错误

(2012北海,26，12分)26.如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A(-2，0)、B(0，1)、C(d，2)。

(1)求d的值;

(2)将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图像上。请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式;

(3)在(2)的条件下，直线B′C′交y轴于点G。问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P，使得四边形PGMC是平行四边形。如果存在，请求出点M和点P的坐标;如果不存在，请说明理由。

【解析】(1)见下图，过点C作CN⊥x轴于点N，易证Rt△CNA≌Rt△AOB，可得ON=7，点C在第二象限，所以d=-3 。

(2)因为是平移，所以点B、C只有横坐标发生变化，纵坐标不变。设C′(E，2)，则B′(E+3，1)，将其代入到反比例函数的表达式 中，求出E的值为3，则k=6，可得反比例函数解析式为 。点C′(3，2);B′(6，1)。利用待定系数法求出B′C′的解析式。

(3)根据平行四边形的性质，平行四边形两条对角线互相平分，即GC′的中点Q就是对角线的交点。易知点Q的坐标为( )，即( ， )。过Q作直线PM，与反比例函数交于P点，与x轴交于M点，过P作PH⊥x轴于H点，过Q分别作QK、QF垂直于y轴和x轴，QK交PH于E点，根据平行四边形的性质可得QP=QM，易证△P′EQ≌△QFM′，设EQ=FM′=t，则点P的横坐标x为 ，点P的纵坐标y= ，点M′的坐标是( ，0)，由点Q( ， )，可知PE= 。由P′Q=QM′，由勾股定理得P′E2+EQ2=QF2+FM′2，整理后求出t的值，进而求出点P、M的坐标。

【答案】解：(1)作CN⊥x轴于点N。 1分

在Rt△CNA和Rt△AOB中

∵NC=OA=2，AC=AB

∴Rt△CNA≌Rt△AOB 2分

则AN=BO=1，NO=NA+AO=3，且点C在第二象限，

∴d=-3 3分

(2)设反比例函数为 ，点C′和B′在该比例函数图像上，

设C′(E，2)，则B′(E+3，1) 4分

把点C′和B′的坐标分别代入 ，得k=2E;k=E+3，

∴2E=E+3，E=3，则k=6，反比例函数解析式为 。 5分

得点C′(3，2);B′(6，1)。

设直线C′B′的解析式为y=ax+b，把C′、B′两点坐标代入得 6分

∴解之 得： ;

∴直线C′B′的解析式为 。 7分

(3)设Q是G C′的中点，由G(0，3)，C′(3，2)，得点Q的横坐标为 ，点Q的纵坐标为2+ = ，

∴Q( ， ) 8分

过点Q作直线l与x轴交于M′点，与 的图象交于P′点，

若四边形P′G M′ C′是平行四边形，则有P′Q=Q M′，易知点M′的横坐标大于 ，点P′的横坐标小于

作P′H⊥x轴于点H，QK⊥ y轴于点K，P′H与QK交于点E，

作QF⊥x轴于点F，则△P′EQ≌△QFM′ 9分

设EQ=FM′=t，则点P′的横坐标x为 ，点P′的纵坐标y为 ，

点M′的坐标是( ，0)

∴P′E= 。 10分21世纪教育网

由P′Q=QM′，得P′E2+EQ2=QF2+FM′2，

∴

整理得： ，解得 (经检验，它是分式方程的解) 11分

∴ ; ; 。

得P′( ，5)，M′( ，0)，则点P′为所求的点P，点M′为所求的点M。 12分

【点评】本题作为压轴题，难度比较大，但是第一问思路比较清晰，△ABC与坐标轴构成的图形比较常见，通过三角形全等，可以求出点C的坐标，为后面大题搭了一个台阶。第二问求两种函数的解析式，上了一个台阶，B′、C′的坐标中有字母t，学生不易处理，增加了点难度，顺着做也可以。待定系数法是初中阶段求函数解析式的重要方法，学生必须掌握。第三问的难度陡然提了上来，也是考查学生能力所在，先提出假设，然后求解。整理来说，本题中共作了5条辅助线，学生不易考虑到，难度偏大。

21.(2012贵州六盘水，21，12分)假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A、B、C、D四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票，图9是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题：

(1)若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是 ▲ 张，补全统计图9

(2)若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀)，那么余老师抽到去B地的概率是多少?

(3)若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定，其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘被分成三等份且标有数字7、8、9，如图10 所示.具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师(指针指在线上重转).试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平.

分析：

解答：

点评：本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.

专项七 代数综合型问题(41)

8(2012山东省荷泽市，8，3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象大致是 ( )

【解析】由二次函数的图象开口方向可知,a<0,由抛物线过原点可知c=0,由抛物线的对称是y轴的左侧可知b<0,所以一次函数y=bx+c是经过原点且过二四象限的一条直线，反比例函数 在二四象限内，故选C。

【答案】C

【点评】根据二次函数的图象与各项系数的关系，确定各字母的取值，然后根据一次函数、反比例函数的性质确定所经过的象限.

16.(2012重庆，16，4分)甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌.规定每人最多两种取法，甲每次取4张或(4一k)张，乙每次取6张或(6一k张(k是常数，0

解析：由0

答案：解：设甲取4张牌的次数为m,乙取 6张牌的次数为n,牌的总数为w,①当k=1时，可列方程4m+3(15-m)=6n+5(17-n),解得m=n+40,因为n≥1所以m≥41,这与题意不符(甲只取了15次)，②当k=2时，可列方程4m+2(15-m)=6n+4(17-n),解得m=n+19,所以m≥20,这与题意不符，③当k=3时，可列方程4m+(15-m)=6n+3(17-n),解得m=n+12,w=4m+(15-m)+ 6n+3(17-n)=6n+102,(1≤n≤17),所以当n=1时函数有最小值，最小值为108

点评：本题综合性强，是对方程、不等式、一次函数的综合运用，同时，还要进行分类讨论。

21、(2012重庆，21，10分)先化简，再求值： ，其中 是不等式组 的整数解。

解析：本题可由不等式组求出x的值，然后化简分式后再代人求值。

答案：解：不等式组的整数解是-3，原式= =2

点评：分式的运算要注意运算顺序，化简到最简分式或整式为止。

25.(2012湖北黄石，25，10分)已知抛物线C1的函数解析式为y=ax2+bx-3a(b<0)，若抛物线C1经过点(0，-3)，方程ax2+bx-3a=0的两根为x1，x2，且|x1-x2|=4.

⑴求抛物线C1的顶点坐标.

⑵已知实数x>0，请证明x+ ≥2，并说明x为何值时才会有x+ =2.

⑶若将抛物线C1先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A(m，y1)，B(n，y2)是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB=90°，m>0，n<0.请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S最小值及S取最小值时直线OA的函数解析式.

(参考公式：在平面直角坐标系中，若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则P、Q两点间的距离为 )

【解析】问题(1)中先将点(0，-3)的坐标代入抛物线C1的方程中，得到a的值;再利用根系关系得到b的值;最后将抛物线C1的方程利用配方法求出其顶点坐标.

问题(2)中主要是利用代数式变形、非负数性质证明不等式.

问题(3)中，首先利用平移的已知条件，写出抛物线C2的方程;在Rt△AOB中，依勾股定理，列出含m、 n的等式并作整理化简;后表示出△AOB的面积S，并对面积S最值情况作探究，接着不难求得直线OA的函数解析式.

【答案】(1)∵抛物线过(0，-3)点，∴-3a=-3

∴a=1　……………………………………1分

∴y=x2+bx-3

∵x2+bx-3=0的两根为x1，x2且 =4

∴ =4且b<0

∴b=-2　 　　　　　　　　　　　　　　　　……………………1分

∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4

∴抛物线C1的顶点坐标为(1，-4)　　　　　………………………1分

(2)∵x>0，∴

∴ 显然当x=1时，才有 　　　　　………………………2分

(3)由平移知识易得C2的解析式为：y=x2　　　　　　　　………………………1分

∴A(m，m2)，B(n，n2)

∵ΔAOB为RtΔ

∴OA2+OB2=AB2

∴m2+m4+n2+n4=(m-n)2+(m2-n2)2

化简得：m n=-1　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………1分

∵ = =

∵m n=-1

∴ =

=

∴ 的最小值为，1，此时m=1，A(1，1) 　　　　　　……………………2分

∴直线OA的一次函数解析式为y=x.　　　　　　　　　 ……………………1分

【点评】问题(1)为常见类型，难度不大.问题(2)中主要是利用代数式变形、非负数性质证明不等式，前面未作任何铺垫，难度较大.问题(3)综合了平移、勾股定理、代数式变形等，关键要读懂题意，特别是要巧妙的“现学现用”问题(2)的结论，以及拓展应用两点间的距离公式，这些更是增加了难度.

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