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 中考数学三角形试题归类(含答案)

选择题

1. (天津3分)sin45°的值等于

(A) (B) (C) (D) 1

【答案】B。

【考点】特殊角三角函数。

【分析】利用特殊角三角函数的定义，直接得出结果。

2.(河北省3分)如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为

A、 B、2 C、3 D、4

【答案】B。

【考点】翻折变换(折叠问题)，相似三角形的判定和性质。

【分析】∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，∴∠EDA=∠EDA′=90°，AE=A′E，

∴△ACB∽△AED。 ∴ 。

又∵A′为CE的中点，∴AE=A′E=A′C。∴ 。∴ED=2。

故选B。

3.(山西省2分)如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形.若DE=2cm，则AC的长为

A. cm B.4cm C. cm D. cm

【答案】D。

【考点】等腰三角形的性质，三角形中位线定理，正方形的性质，勾股定理。

【分析】根据三角形的中位线定理可得出BC=4，由AB=AC，可证明BG=CF=1，由勾股定理可求出CE= ，即可得出AC=2 。故选D。

4.(内蒙古呼和浩特3分)如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是

A、9cm B、12cm C、15cm或12cm D、15cm

【答案】D。

【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。

【分析】求等腰三角形的周长，即要确定等腰三角形的腰与底的长，根据三角形三边关系知

当6为腰，3为底时，6﹣3<6<6+3，能构成等腰三角形，周长为6+6+3=15;

当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形。故选D。

5.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图，△ACB≌△A1CB1, ∠BCB1=30°，则∠ACA1的度数为

A. 20° B. 30° C. 35° D. 40°

【答案】B。

【考点】全等三角形的性质。

【分析】根据全等三角形对应角相等的性质，得∠ACB=∠A1CB1，所以∠ACB-∠BCA1=∠A1CB1-∠BCA1，即 ∠ACA1=∠BCB1=35°。故选B。

3.填空题

1. (山西省3分)如图，已知AB=12;AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10.点E是CD的中点，则AE的长是 ▲ 。

【答案】 。

【考点】平行的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】过点E作EG⊥AB，垂足为点G，AB与DC交于点F，则DA∥GE∥BC。

∵点E是CD的中点，AB=12，∴根据平行的性质，得AG=6。

∵DA∥BC，∴△ADF∽△BCF。∴ 。

∵AB=12，即BF=12-AF。∴ 。

又∵AD=5，BC=10，∴ ，解得，AF=4，FB=8。

FG=6-4=2。

∵GE∥BC，∴△FGE∽△FBC。∴ ，即 ，解得，GE= 。

∴在Rt△AGE中，由勾股定理，得AE= 。

2.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分)如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，那么BC′的长为　 ▲ .

【答案】3。

【考点】翻折变换(折叠问题)，轴对称的性质，平角定义，等边三角形的判定与性质。

【分析】根据题意：BC=6，D为BC的中点;故BD=DC=3。

由轴对称的性质可得：∠ADC=∠ADC′=60°，

∴DC=DC′=2，∠BDC′=60°。

故△BDC′为等边三角形，故BC′=3。

3.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分)如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，点D在BC上，已知△AEF的面积为5，则图中阴影部分的面积为　 ▲ .

【答案】10。

【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，平移的性质。

【分析】∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC。

∴EF：BC=1：2，∴S△AEF：S△ABC=1：4。

∵△AEF的面积为5，∴S△ABC=20。

∵将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，∴S△EBD=5。

∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S△EBD﹣S△AEF=20﹣5﹣5=10。

4.(内蒙古包头3分)如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE=DC;②∠BOD=60°;③△BOD∽△COE.正确的序号是　 ▲ 　.

【答案】①②。

【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定。

【分析】∵△ABD、△AEC都是等边三角形，

∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°。

∴∠DAC=∠BAC+60°，∠BAE=∠BAC+60°。∴∠DAC=∠BAE。∴△DAC≌△BAE(SAS)。

∴BE=DC。【①正确】

∴∠ADC=∠ABE。

∵∠BOD+∠BDO+∠DBO=180°，∴∠BOD=180°﹣∠BDO﹣∠DBO=60°。【②正确】

∵由△DAC≌△BAE和AB≠AC，得∠ADC≠∠AEB，∴∠ODB≠∠OEC。

又∵∠ODB<60°，∠OCE>60°，∴∠ODB≠∠OCE。

而∠DOB=∠EOC，∴△BOD和△COE不相似。【③错误】

5.(内蒙古呼和浩特3分)如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE=2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为　 ▲ 　.

【答案】 。

【考点】角平分线和垂直的定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，梯形的面积，一元一次方程的应用。

【分析】延长BA与CD，交于F，

∵CE是∠BCD的平分线，∴∠BCE=∠FCE。

∵CE⊥AB，∴∠BEC=∠FEC=90°。

∵EC=EC，∴△BCE≌△FCE(ASA)。∴BE=EF。

∵BE=2AE，∴BF=4AF。

又∵AD∥BC，∴△FAD∽△FBC。∴ 。

设S△FAD=x，S△FBC=16x，S△BCE=S△FEC=8x，∴S四边形AECD=7x。

∵四边形AECD的面积为1，∴7x=1，∴x= 。

∴梯形ABCD的面积为：S△BCE+S四边形AECD=15x= 。

6.(内蒙古乌兰察布4分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 90 , AB = 8cm , BC = 6cm , 分别以A,C为圆心，以 的长为半径作圆, 将 Rt△ABC截 去两个扇形，则剩余(阴影)部分的面积为 ▲ cm (结果保留π)

【答案】 。

【考点】直角三角形两锐角的关系，勾股定理，扇形的面积。

【分析】由题意可知，阴影部分的面积为三角形面积减去两个扇形面积。

三角形面积为 。

由勾股定理，得AC=10，圆半径为5。

∵在Rt△ABC中，∠ABC = 90 ,∴∠A+∠C =90 。

∴两个扇形的面积的和为半径5，圆心角90 的扇形的面积，即四分之一圆的面积 。

∴阴影部分的面积为 cm 。

7.(内蒙古乌兰察布4分)某厂家新开发的一种电动车 如图，它的大灯A射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为 8 和 10 ，大灯A与地面离地面的距离为lm则该车大灯照亮地面的宽度BC是 ▲ m .(不考虑其它因素)

【答案】 。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D。由锐角三角函数定义，得

BC=BD-CD= 。

4.解答题

1.(北京5分)如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD.求证：AE=FC.

【答案】证明：∵BE∥DF，∴∠ABE=∠D。

在△ABC和△FDC中 ，

∴△ABC≌△FDC(ASA)。

∴AE=FC.

【考点】平行线的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】利用平行线同位角相等的性质可得∠ABE=∠D，由已知用ASA判定△ABC≌△FDC，再由全等三角形对应边相等的性质证得AE=FC。

2.(北京5分)如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF= ∠CAB.

(1)求证：直线BF是⊙O的切线;

(2)若AB=5，sin∠CBF= ，求BC和BF的长.

【答案】解：(1)证明：连接AE。∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°。

∴∠1+∠2=90°。

∵AB=AC，∴∠1= ∠CAB。

∵∠CBF= ∠CAB，∴∠1=∠CBF。∴∠CBF+∠2=90°。即∠ABF=90°。

∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线。

(2)过点C作CG⊥AB于点G。

∵sin∠CBF= ，∠1=∠CBF，∴sin∠1= 。

∵∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB•sin∠1= 。

∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2 。

在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=2 ，∴sin∠2= ，cos∠2= 。

在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3。

∵GC∥BF，∴△AGC∽△BFA。∴ 。∴ 。

【考点】切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。

【分析】(1)连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABE=90°。

(2)利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA，利用对应边的比求得线段的长即可。

3.(北京5分)阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积.

小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可.他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形(如图2).

参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF.

(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);

(2)若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于 .

【答案】解：△BDE的面积等于1。

(1)如图.以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP。

(2)连接EF，PE，则△CFP可公割成△PEF，△PCE和△EFC。

∵四边形BEPF是平行四边形，∴△PEF≌△BFE。

又∵E，F是AC，AB的中点，∴△BFE的底和高都是△ABC的一半。

∴△BFE的面积是△ABC的 ，即△PEF的面积是△ABC的 。

同理，△PCE和△EFC的面积都是△ABC的 。

∴以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于 。

【考点】平移的性质，三角形的面积，尺规作图。

【分析】根据平移可知，△ADC≌△ECD，且由梯形的性质知△ADB与△ADC的面积相等，即△BDE的面积等于梯形ABCD的面积。

(1)分别过点F、C作BE、AD的平行线交于点P，得到的△CFP即是以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形。

(2)由平移的性质可得对应线段平行且相等，对应角相等。结合图形知以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于△ABC的面积的 。

4.(天津8分)某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景.如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300 m.在一处测得望海校B位于A的北偏东30°方向.游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C.在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向.求此时游轮与望梅楼之间的距离BC ( 取l.73.结果保留整数).

【答案】解：根据题意，AB=10，如图，过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D。

在Rt△ADB中，∵ ∠BAD=300，∴ 。

在Rt△CDB中， 。

答：此时游轮与望梅楼之间的距离约为173 m。

【考点】解直角三角形的应用。

【分析】要求BC的长，就要把它作为直角三角形的边，故辅助线过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D，形成两个直角三角形，利用三角函数解直角三角形先求BD再求出BC。

5.(山西省7分)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度.他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为 (即AB：BC= )，且B、C、E三点在同一条盲线上。请根据以上杀件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计).

【答案】解：如图，过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形。∴AF=BE，EF=AB=2。

设DE=x，

在Rt△CDE中，CE= ，

在Rt△ABC中，∵ AB：BC= ，AB=2，∴BC= 。

在Rt△AFD中，DF=DE-EF=x-2，∴AF= 。

∵AF=BE=BC+CE，∴ ，解得x=6。

答：树DE的高度为6米。

【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角、坡度坡角问题)，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。。

【分析】通过构造直角三角形分别表示出BC和AF，得到有关的方程求解即可。

6.(山西省9分)如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F

(1)求证：CE=CF.

(2)将图(1)中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图(2)所示.试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论.

【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，∴∠CFA=90°-∠CAF。

∵CD⊥AB，∴∠CEF=∠AED=90°-∠EAD。

又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠EAD。∴∠CFA=∠CEF。∴CE=CF。

(2)BE′与CF相等。证明如下：

如图，过点E作EG⊥AC于G。

又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，∴ED=EG。

由平移的性质可知：D’E’=DE，∴D’E’ =GE。

∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°。

∵CD⊥AB于D，∴∠B+∠DCB=90°。∴∠ACD=∠B。

在Rt△CEG与Rt△BE’D’中，

∵∠GCE=∠B，∠CGE=∠BD’E’，CE=D’E’，∴△CEG≌△BE’D’(AAS)。∴CE=BE’。

由(1)CE=CF，得CF=BE’。

【考点】三角形两锐角的关系，对顶角的性质，等腰三角形的判定，角平分线定义，平移的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】(1)要证CE=CF，根据等腰三角形等角对等边的判定，只要∠CFA=∠CEF即可。由已知，知∠CFA与∠CAF互余，∠CEF=∠AED与∠EAD互余，而AF平分∠CAB。从而∠CAF=∠EAD。得证。

(2)由角的等量关系转换和平移的性质，根据AAS证得△CEG≌△BE’D’，即可根据全等三角形的对应边相等的性质得到CE=BE’。由(1)的结论即可得到CF=BE’。

7.(内蒙古呼和浩特6分)在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离.现测得AC=30m，BC=70m，∠CAB=120°，请计算A，B两个凉亭之间的距离.

【答案】解：如图，作CD⊥AB于点D.

在Rt△CDA中，∵AC=30，

∠CAD=180°-∠CAB=180°-120°=60°，

∴CD=AC•sin∠CAD=30•sin60°=15 ，

AD=AC•cos∠CAD=30•cos60°=15。

在Rt△CDB中，∵BC=70，BD2=BC2﹣CD2，

∴BD= 。

∴AB=BD﹣AD=65﹣15=50。

答：A，B两个凉亭之间的距离为50m。

【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，勾股定理。

【分析】构造直角三角形，过C点作CD⊥AB于点D，先在Rt△CDA中应用锐角三角函数求得AD、CD的长，再利用勾股定理求得BD的长，从而由AB=BD﹣AD即得A，B两个凉亭之间的距离。

8.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰10分)如图，一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空，在A处测到空投地点C的俯角α=60°，测到地面指挥台β的俯角=30°，已知BC的距离是2000米，求此时飞机的高度(结果保留根号).

【答案】解：作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，

∵EA∥BC，∴∠ABC=β=30°。

又∵∠BAC=α-β=30°，∴∠ABC=∠BAC。

∴AC=BC=2000。

∴在Rt△ACD中，

AD= AC•cos∠CAD=AC•cos300=1000 。

答：此时飞机的高度为1000 米。

【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)，平行的性质，等腰三角形的判定，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。

【分析】作AD⊥BC，交BC的延长线于点D， 由平行线内错角相等的性质和等腰三角形的判定，易得AC=BC=2000，从而在Rt△ACD中应用锐角三角函数即可求得此时飞机的高度。

9.(内蒙古包头8分)一条船上午8点在A处望见西南方向有一座灯塔B，此时测得船和灯塔相距362海里，船以每小时20海里的速度向南偏西24°的方向航行到C处，此时望见灯塔在船的正北方向.(参考数据sin24°≈0.4，cos24°≈0.9)

(1)求几点钟船到达C处;

(2)当船到达C处时，求船和灯塔的距离.

【答案】解：(1)延长CB与AD交于点E.∴∠AEB=90°，

∵∠BAE=45°，AB=362，∴BE=AE=36。

根据题意得：∠C=24°，sin24°= ，

∴AC= 。

∴90÷20=4.5。

∴8+4.5=12.5。

∴12点30分船到达C处。

(2)在直角三角形ACE中，cos24°= ，即cos24°= ，

∴BC=45。

∴船到C处时，船和灯塔的距离是45海里。

【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数。

【分析】(1)要求几点到达C处，需要先求出AC的距离，根据时间=距离除以速度，从而求出解.

(2)船和灯塔的距离就是BC的长，作出CB的延长线交AD于E，根据直角三角形的角，用三角函数可求出CE的长，减去BE就是BC的长.

10.(内蒙古呼伦贝尔6分)如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为90米，且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离(结果保留根号)。

【答案】解：∵

，

∴ 。

在 中， ,

∴ 。

在 中， ，∴ 。

∴ 。

答：建筑物A、B间距离为 米。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】分别在 和 中应用锐角三角函数求出AD，BD即可。 

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