一、 函数自身的对称性探究

定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是

f (x) + f (2a-x) = 2b

证明：(必要性)设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘(2a-x，2b-y)也在y = f (x)图像上，∴ 2b-y = f (2a-x)

即y + f (2a-x)=2b故f (x) + f (2a-x) = 2b，必要性得证。

(充分性)设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)

∵ f (x) + f (2a-x) =2b∴f (x0) + f (2a-x0) =2b，即2b-y0 = f (2a-x0) 。

故点P‘(2a-x0，2b-y0)也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (-x) = 0

定理2.函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

f (a +x) = f (a-x) 即f (x) = f (2a-x) (证明留给读者)

推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (-x)

定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a≠b)，则y = f (x)是周期函数，且2| a-b|是其一个周期。

②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称(a≠b)，则y = f (x)是周期函数，且2| a-b|是其一个周期。

③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(a≠b)，则y = f (x)是周期函数，且4| a-b|是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，

∴f (x) + f (2a-x) =2c，用2b-x代x得：

f (2b-x) + f [2a-(2b-x) ] =2c………………(*)

又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，

∴ f (2b-x) = f (x)代入(*)得：

f (x) = 2c-f [2(a-b) + x]…………(**)，用2(a-b)-x代x得

f [2 (a-b)+ x] = 2c-f [4(a-b) + x]代入(**)得：

f (x) = f [4(a-b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a-b|是其一个周期。

二、 不同函数对称性的探究

定理4.函数y = f (x)与y = 2b-f (2a-x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。

定理5.①函数y = f (x)与y = f (2a-x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数y = f (x)与a-x = f (a-y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。

③函数y = f (x)与x-a = f (y + a)的图像关于直线x-y = a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x-y = a的轴对称点为P‘(x1， y1)，则x1 = a + y0 , y1 = x0-a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1-a 代入y0 = f (x0)之中得x1-a = f (a + y1) ∴点P‘(x1， y1)在函数x-a = f (

(y + a)的图像上。

同理可证：函数x-a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x-y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

三、 三角函数图像的对称性列表

函 数

对称中心坐标

对称轴方程

y = sin x

( kπ, 0 )

x = kπ+π/2

y = cos x

( kπ+π/2 ,0 )

x = kπ

y = tan x

(kπ/2 ,0 )

无

注：①上表中k∈Z

②y = tan x的所有对称中心坐标应该是(kπ/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册(下)及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案(修订版)中都认为y = tan x的所有对称中心坐标是( kπ, 0 )，这明显是错的。

四、 函数对称性应用举例

例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5-x) = f (5+x),则f (x)一定是( )(第十二届希望杯高二第二试题)

(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数

(C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数

解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10-x).

∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。

故选(A)

例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=( )。

(A) 1999; (B)2000; (C)2001;(D)2002。

解：∵y = f(x-1)和y = g-1(x-2)函数的图像关于直线y = x对称，

∴y = g-1(x-2) 反函数是y = f(x-1)，而y = g-1(x-2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x-1) = 2 + g(x), ∴有f(5-1) = 2 + g(5)=2001

故f(4) = 2001,应选(C)

例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1-x),当-1≤x≤0时，

f (x) = - x，则f (8.6 ) = _________ (第八届希望杯高二第一试题)

解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴;

又∵f(1+x)= f(1-x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (-0.6 ) = 0.3

例4.函数 y = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是( )(92全国高考理) (A) x = - (B) x = - (C) x = (D) x =

解：函数 y = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x + = k+

∴x = - ,显然取k = 1时的对称轴方程是x = - 故选(A)

例5. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= -f(x),当0≤x≤1时，

f (x) = x，则f (7.5 ) = ( )

(A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5

解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点(0，0)是其对称中心;

又∵f (x+2 )= -f (x) = f (-x)，即f (1+ x) = f (1-x)，∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。

∴f (7.5 )

= f (8-0.5 ) = f (-0.5 ) = -f (0.5 ) =-0.5 故选(B)