设∠BAC= (0°< <90°).现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上.

活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒.

数学思考：

(1)小棒能无限摆下去吗?答：          .(填“能”或“不能”)

(2)设AA1=A1A2=A2A3=1.

① =     度;

②若记小棒A2n-1A2n的长度为an(n为正整数，如A1A2=a1,A3A4=a2,),求此时a2，a3的值，并直接写出an(用含n的式子表示).

活动二：

如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2= AA1.

数学思考：

(3)若已经向右摆放了3根小棒，则 =        ， =         ， =         ;(用含 的式子表示)

(4)若只能摆放4根小棒，求 的范围.

【解题思路】活动一：(1)可以发现A1A2∥A3A4∥A5A6......，角度不变，所以小棒能无限摆下去;(2)AA1=A1A2=A2A3=1，可知△A1A2A3是等腰直角形、△AA1A2是等腰三解形，所以∠A2A1A3=45°=2∠A，即 =22.5°，A3A4= AA3= AA1+ A1A2，同理照此规律可以求出的A2n-1A2n长度，当然也可以利用三角形相似去解.活动二：(3)由等腰三角形和三角形外角的性质，很容易求出 、 、 ;(4)由(3)的规律(4)摆放4根小棒后 =5 ， 是等腰三角形△A5A4A6的一个底角，所以5 ≤90°，由题意只能摆4根小棒，所以又得6 >90°，解得15°< ≤18°.

【答案】解：(1)能

(2)①22.5°

②方法一：

∵AA1=A1A2=A2A3=1， A1A2⊥A2A3，∴A1A3= ，AA3=1+ .

又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，

∴AA3=A3A4，AA5=A5A6，∴a2= A3A4=AA3=1+ ,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.∵A3A 5= a2,

∴a3=A5A6=AA5=a2+ a2=( +1)2.

方法二：

∵AA1=A1A2=A2A3=1， A1A2⊥A2A3，∴A1A3= ，AA3=1+ .

又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，

∴a2=A3A4=AA3=1+ ,又∵∠A2A3A4=∠A4A5A6=90°，∠A2A4A3=∠A4A6A5，∴△A2A3A4∽△A4A5A6，

∴ ，∴ a3= =( +1)2.

an=( +1)n-1.

(3)

(4)由题意得 ，∴15°< ≤18°.

【点评】本题是一道以摆小棒活动的课题学习，通过学生的动手操作，探究，掌握数学的思维过程、以及数学中的有关内在规律，本题在活动中考查了等腰三角形、勾股定理、外角、相似等知识，阅读量相对较大，字母较多，书写有一定的困难，要求学生有较强的知识迁移能力，分析问题、转化问题的能力，难度较大.

情境观察

将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示.

观察图2可知：与BC相等的线段是   ▲   ，∠CAC′=   ▲   °.

问题探究

如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.

拓展延伸

如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交E F于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.

【解题思路】第(1)题易知△ABC≌△A′C′D，所以BC=A′D，∠CAC′=180°-∠DAC′-∠BAC=90°;第(2)题可以利用(1)题思路证Rt△ABG≌Rt△EAP和Rt△ACG≌Rt△FAQ，可得EP、AQ都等于AG;第(3)题将全等迁移到相似，根据第(2)题图形暗示构造辅助线，过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.证Rt△ABG∽Rt△EAP和Rt△ACG∽Rt△FAQ，得到EP=FQ，再证Rt△EPH≌Rt△FQH即可.

【答案】解：情境观察 AD(或A′D)，90

问题探究

结论：EP=FQ.

证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.

∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.

∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.

同理AG=FQ.  ∴EP=FQ.

拓展延伸

结论： HE=HF.

理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.