第23章  一元二次方程检测题参考答案

1.B   解析：方程①与 的取值有关;方程②经过整理后，二次项系数为2，是一元二次方程;方程③是分式方程;方程④的二次项系数经过配方后可化为 ，不论 取何值，都不为0，所以方程④是一元二次方程;方程⑤不是整式方程，也可排除.故一元二次方程仅有2个.

2.D   解析：由 ，得 或 ，解得 .

3.C   解析：本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用.当 时，原方程变为一元一次方程 ，该方程的解是 ，故A项错误;当 时，原方程变为一元二次方程 ，方程有两个不相等的实数解： ，故B项错误;当 时，原方程为一元二次方程， ，方程总有两个实数解，当且仅当 时，方程有两个相等的实数解，故C项正确，D项错误.

4.C   解析：根据方程的特点可考虑用换元法求值.设 ，则原方程可化为

，解得 .

5.D   解析：因为一元二次方程 有两个不相等的实数根，所以 ，且 ，解得 且 .

6.B   解析：由每半年发放的资助金额的平均增长率为 ，得去年下半年发放给每个经济困难学生 元，今年上半年发放给每个经济困难学生 元.根据关键语句“今年上半年发放了438元”可得方程 .

7.D   解析：五月份生产零件 (万个)，六月份生产零件  (万个)， 所以第二季度共生产零件 (万个)，故选D.

8.A   解析：设平均每次降价的百分率为 ，由题意得 ，所以 ，所以 (舍去)， ，所以平均每次降价的百分率为

9.A   解析：因为

所以方程有两个不相等的实数根.

10.A　　解析：因为 ，

又因为 分别是三角形的三边长，所以 ，

所以 ，所以方程没有实数根.

11.D   解析：将 两边开平方，得 ，则另一个一元一次方程是 ，故选D.

12.D   解析：移项，得 .配方，得 ，即 ，故选D.

13.    解析：方程的两根是 ，所以较大的根是 .

14.    解析：把 代入方程，得 ，则 ，所以 .

15. 且    解析：因为 ， ，又 ，

所以 ， ，即 ， ，所以 ， ，

所以一元二次方程 变为 .

因为 有实数根，所以 ，解得 .

又因为 ，所以 且 .

16.-3或1   解析：由 得 或 .

17.1   解析：由 ，得 ，原方程可化为 ，

解得 .所以一元二次方程 的一个定根为1.

18. cm   解析：设正方形的边长为 cm，则 ，解得 ，由于边长不能为负，所以 舍去，故正方形的边长为 cm.

19.解：∵  ，∴  .

∴  .∴  .∴  .

20.证明：∵  恒成立，

∴ 方程有两个不相等的实数根.

21.解：设小正方形的边长为 .

由题意，得 ，

整理，得 解得

所以截去的小正方形的边长为 .

22.解：不存在.理由：解方程 ，得  .

方程 的两根是 .

所以 的值分别是 .

因为 ，所以以 为边长的三角形不存在.

23.(1)证明：∵  ，

∴ 方程有两个不相等的实数根.

(2)解：一元二次方程 的解为 ，

即 .

当 ，且 时，△ 是等腰三角形，则 ;

当 ，且 时，△ 是等腰三角形，则 ，解得 .

所以 的值为5或4.

24.解：(1)设捐款增长率为 ，根据题意列方程，得 ，

解得 (不合题意，舍去).

答：捐款增长率为10%.

(2) (元).

答：第四天该单位能收到 元捐款.

25.解：依题意，得 ，

整理，得 ，解得 .

由于 ，所以 舍去，所以 .

答：起步价是10元.

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