最新数学初三年级跟踪训练第四单元第23课时

1.有一个角是 的三角形叫做直角三角形; 2.直角三角形的两个锐角 ; 3.直角三角形斜边上的中线等于 的一半. 例1.(2009湖北省荆门市)如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB = ( ) A、40° B、30° C、20° D、10° 解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°， ∴∠B=90°-50°=40° 由折叠得∠DA′C=∠A=50°， ∵∠DA′C=∠B+∠A′DB ∴∠A′DB=50°-40°=10°，选D. 例2.若直角三角形斜边上的高和中线分别为10cm、12cm，则它的面积是 cm2. 解：∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴直角三角形斜边的长为2×12=24cm. ∴直角三角形的面积是×24×10=120cm2. 同步检测一： 1.(2009年湖南省郴州市)如图2，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，∠1与∠2的和总是保持不变，那么∠1与∠2的和是_______度. 2.如图3，Rt△ABC中，∠B=90°，BD⊥AC于D，点E为AC的中点，若BC=7，AB=24，则BE= ，BD= . 知识点二：勾股定理 直角三角形 的平方和等于 的平方. 例3.(2009年四川省宜宾市)已知：如图4，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积和为 . 解：过点E作ED⊥AB于点D，可证得ED=AB， ∴=AB2， 同理=AC2，=BC2， 从而图中阴影部分的面积和为(AB2+ AC2+ BC2) =(AB2+ AB2)=. 例4.(2009年湖南省衡阳市)如图5，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为 ( ) A、1 B、 C、 D、2 解：Rt△DAB中，BD=， 设AG=x，则BG=4-x 由折叠得A′D=AD=3，A′G=AG=x，∠DA′G=∠A=90°， ∴A′B=BD-A′D=5-3=2，∠GA′B=90°， 从而Rt△GA′B中，x2+22=(4-x)2. 解得x=，选C. 同步检测二： 3.如果直角三角形的两条边长分别是3和4，那么该直角三角形斜边上的中线等于 . 4.(2009年四川省达州市)如图6是一株美丽的勾股树， 其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、 2、3，则最大正方形E的面积是 ( ) A、13 B、26 C、47 D、94 ★5.(2009年黑龙江省哈尔滨市)若正方形ABCD的边长为4， E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM 交正方形的一边于点F，且BF=AE，求BM的长. 知识点三：直角三角形的判定方法 1.根据定义：有一个角是 的三角形叫做直角三角形; 2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： ，那么这个三角形是直角三角形，且∠C=90°. 例5.(2009年湖南省衡阳市)如图7，A、B、C分别表示三个 村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义 新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心， 要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位 置应在 ( ) A、AB中点 B、BC中点 C、AC中点 D、∠C的平分线与AB的交点 解：显然到A、B、C三个村庄距离相等的点P应该是AB、BC、AC三边垂直平分线的交点. 又∵BC2+AC2=6002+8002=1000000;AB2=10002=1000000 ∴BC2+AC2=AB2， ∴∠ACB=90°, 由于直角三角形三边垂直平分线的交点在斜边的中点处，从而活动中心P的位置应在AB的中点处，选A. 例6.如图8，点P是等边△ABC内的一点，分别连接PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ. (1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论; (2)若PA∶PB∶PC=3∶4∶5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由. (1)答：AP=CQ 证：∵△ABC为等边三角形 ∴AB=BC，∠ABC=60° ∵∠PBQ=60° ∴∠ABC=∠PBQ ∴∠ABP=∠CBQ 在△ABP与△CBQ中， ∴△ABP≌△CBQ(SAS) ∴AP=CQ (2)答：△PQC为直角三角形. 理由是：设PA=3k，则PB=4k，PC=5k(k>0)，CQ=AP=3k ∵BQ=BP，∠PBQ=60° ∴△PBQ为等边三角形(有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形) ∴PQ=PB=4k 又CQ2=9k2，PQ2=16k2，PC2=25k2， ∴CQ2+PQ2=PC2 ∴△PQC为直角三角形，且∠PQC=90°. 同步检测三： 6、(2009年黑龙江省牡丹江市)如图9， △ABC中，CD⊥AB于D，下列条件中：①∠1=∠A;②;③∠B+∠2=90°;④BC∶AC∶AB=3∶4∶5;⑤AC×BD=AC×CD，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是 ( ) A、1　 B、2 C、3 D、4 7、(2009年甘肃省定西市)如图10，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点， 求证：(1)△ACE≌△BCD;(2)AD2+DB2=DE2. 随堂检测： 1.(2009年湖南省长沙市)如图11，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD= cm. 2.(2009年上海市)如图12，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3， M为边BC上的点，联结AM.如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是 . 3.(2009年贵州省安顺市)如图13，图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的. 在Rt△ABC中，若直角边AC=6，BC=6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是______. 4.(2009年浙江省湖州市)如图14，已知在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2的值等于 .

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