2014年最新数学九年级巩固训练第三课时开放探究题

类型一：探究条件型 探究条件型是根据问题提供的残缺条件添补若干条件，使结论成立，解决此类问题的一般方法是：根据结论成立所需要的条件增补条件，此时要注意已有的条件及由已有的条件推导出的条件，不可重复条件，也不能遗漏条件。 例1.(2009丽水市)已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明;如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明. 解：是假命题. 以下任一方法均可： ①添加条件：AC=DF. 证明：∵AD=BE, ∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE. 在△ABC和△DEF中, AB=DE， ∠A=∠FDE， AC=DF， ∴△ABC≌△DEF(SAS). ②添加条件：∠CBA=∠E. 证明：∵AD=BE, ∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE. 在△ABC和△DEF中， ∠A=∠FDE， AB=DE， ∠CBA=∠E ， ∴△ABC≌△DEF(ASA). ③添加条件：∠C=∠F. 证明：∵AD=BE, ∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE. 在△ABC和△DEF中， ∠A=∠FDE， ∠C=∠F ， AB=DE， ∴△ABC≌△DEF(AAS) 同步测试 1.(2009年牡丹江市)如图，□ABCD中，、分别为、边上的点，要使需添加一个条件： . 1. 2.(2009东营)如图，在四边形ABCD中，已知AB与CD不平行，∠ABD=∠ACD，请你添加一个条件： ，使得加上这个条件后能够推出AD∥BC且AB=CD. 2.∠DAC=∠ADB，∠BAD=∠CDA，∠DBC=∠ACB，∠ABC=∠DCB，OB=OC，OA=OD;(任选其一) 类型二：探究结论型 探究结论型问题是指根据题目所给的条件经过分析、推断，得出一个与条件相关的结论，解决此类问题的关键是需要对已知的条件进行综合推理，得出新的结论。 例2.(2009年安徽)如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α， 且DM交AC于F，ME交BC于G. (1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对; (2)连结FG，如果α=45°，AB=，AF=3，求FG的长. 【答案】 (1)证：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM 以下证明△AMF∽△BGM. ∵∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG，∠A=∠B ∴△AMF∽△BGM. (2)解：当α=45°时，可得AC⊥BC且AC=BC ∵M为AB的中点，∴AM=BM= 又∵AMF∽△BGM，∴ ∴ 又，∴， ∴ 同步测试 3.(2009年福州)请写出一个比小的整数 3.答案不唯一，小于或等于2的整数均可，如：2，1等 4.(2009年莆田)已知，如图，是以线段为直径的的切线，交于点，过点作弦垂足为点，连接. (1)仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①________，②________ ，③________，④____________(不添加其它字母和辅助线，不必证明); (2)=，=，求的半径 4.(1) 等 (2)解:是的直径 又 又是的切线 在中， 类型三：探究结论存在与否型 探究结论存在与否型问题的解法一般先假定存在，然后以此为条件及现有的条件进行推理，然后得出问题的解或矛盾再加以说明。 例3.(2009仙桃)如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动;动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动.过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N.P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动.设点Q运动的时间为t秒. (1)求NC，MC的长(用t的代数式表示); (2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形? (3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分?若存在，求出此时t的值;若不存在，请说明理由; (4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形? 解：(1)在直角梯形ABCD中， ∵QN⊥AD，∠ABC=90°，∴四边形ABNQ是矩形。 ∵QD=t，AD=3，∴BN=AQ=3-t，∴NC=BC-BN=4-(3- t)= t+1。 ∵AB=3，BC=4，∠ABC=90°，∴AC=5。 ∵QN⊥AD，∠ABC=90°，∴MN∥AB，∴， 即，∴. (2)当QD=CP时，四边形PCDQ构成平行四边形。 ∴当t=4-t，即t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形。 (3)∵MN∥AB， ∴△MNC∽△ABC，要使射线QN将△ABC的面积平分，则△MNC与△ABC的面积比为1：2，即相似比为1：，∴，即，∴t=.∴CN=，MC=，∴CN+MC=，∵△ABC的周长的一半==6≠，∴不存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分。 (4)分3种情况： ①如图，当PM=MC时，△PMC为等腰三角形。 则PN=NC，即3-t-t=t+1， ∴，即时，△PMC为等腰三角形。 ②如图，当CM=PC时，△PMC为等腰三角形。 即， ∴时，△PMC为等腰三角形。 ③如图，当PM=PC时，△PMC为等腰三角形。 ∵PC=4-t，NC=t+1， ∴PN=2t-3, 又∵， ∴MN=， 由勾股定理可得[]2+(2t-3)2=(4-t)2， 即当t=时，△PMC为等腰三角形。 同步测试 5.(2009年广西南宁·改编)如图，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，延长交正方形外角平分线，边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形?若存在，请给予证明;若不存在，请说明理由. 5. 解法① 四边形ABCD为正方形 四边形是平行四边形. 解法：在边上存在一点，使四边形是平行四边形 证明：在边上取一点，使，连接、、. 四边形为平行四边形 6.(2009白银市)如图(1)，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，).[图(2)、图(3)为解答备用图]

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