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2014-05-12
2014年最新数学巩固初三年级《矩形、菱形、正方形》
如图1,∵四边形ABCD是矩形, ∴ 。 例1:(2009年牡丹江市)矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AE⊥BD于E,若OE∶ED=1∶3,AE=AA,则BD= . 解:情形一,如图例1-a.∵OE∶ED=1∶3,OE∶OD=1∶2,∵四边形ABCD为矩形,故 OB=OD,∴E为BD中点,∴AB=AO=BO,∴△ABO为等边三角形,∵AE=AA,∴AO=2,∴BD=2BO=2AO=4. 情形二,点E在线段OD之间,如图例1-b.∵OE∶ED=1∶3,可设OE=a,则OD=OA=4a.在Rt△AEO中由勾股定理得AO2=OE2+AE2,∴(4 a)2= a2+3, ∴a=EAA,∴BD=2BO=2AO=EAA. 故BD=4或BD=EAA. 同步测试1: 1.(2009年凉山州)如图2,将矩形沿对角线折叠,使落在处,交于,则下列结论不一定成立的是( ) A. B. C. D. 2.(2009年长沙)如图3,矩形的两条对角线相交于点,,则矩形的对角线的长是( ) A.2 B.4 C. D. 知识点二:矩形的判定 ⑴有一个角是 的 是矩形; 如图4,∵ , , ∴四边形ABCD是矩形; ⑵有 个角是直角的四边形是矩形; 如图4,∵ , ∴四边形ABCD是矩形; ⑶对角线 的 是矩形; 如图4,∵ , , ∴四边形ABCD是矩形。 例2:(2008湖北咸宁)如图,在△ABC 中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F. (1)求证:EO=FO; (2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形? 并证明你的结论. 解(1)证明: ∵CE平分, ∴, 又∵MN∥BC, ∴, ∴, ∴. 同理,. ∴ . (2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形. ∵,点O是AC的中点. ∴四边形AECF是平行四边形. 又∵,. ∴,即. ∴四边形AECF是矩形. 同步测试2: 1.(2009年漳州)如图,要使成为矩形,需添加的条件是( ) A. B. C. D. 2.(2009年上海市)在四边形中,对角线与互相平分,交点为.在不添加任何辅助线的前提下,要使四边形成为矩形,还需添加一个条件,这个条件可以是 . 知识点三:菱形的特有性质 菱形的四条边 ,对角线 并且 。 如图6,∵四边形ABCD是菱形, ∴ 。 例3:(2009肇庆)如图,ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于O,. (1)求证:△ABD是正三角形; (2)求 AC的长(结果可保留根号). 解:(1)证明:∵AC是菱形ABCD的对角线, ∴AC平分∠BCD. 又∠ACD=30°,∴∠BCD=60°. ∵∠BAD与∠BCD是菱形的一组对角, ∴∠BAD=∠BCD=60°. ∵AB、AD是菱形的两条边,∴. ∴△ABD是正三角形. (2)解:∵O为菱形对角线的交点, ∴. 在中,, ∴, ∴,答 同步测试3: 1.(2009年衡阳市) 如图7,菱形ABCD的周长为20cm,DE⊥AB,垂足为E,,则下列结论中正确的个数为( ) ①DE=3cm; ②EB=1cm; ③. A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 2.(2009年长春)菱形在平面直角坐标系中的位置如图8所示,,则点的坐标为( ) A. B. C. D. 知识点四:菱形的判定 ⑴有一组邻边 的 是菱形; 如图9,∵ , , ∴四边形ABCD是菱形; ⑵ 的四边形是菱形; 如图9,∵ , ∴四边形ABCD是菱形; ⑶对角线 的 是菱形; 如图9,∵ , , ∴四边形ABCD是菱形。 例4:(2009年兰州)如图,在四边形ABCD中,E为AB上一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论. 解:∵ PQ为△ABC的中位线, ∴ PQ AC. 同理 MNAC. ∴ MNPQ,∴ 四边形PQMN为平行四边形. 在△AEC和△DEB中, AE=DE,EC=EB,∠AED=60°=∠CEB, 即 ∠AEC=∠DEB.∴ △AEC≌△DEB.∴ AC=BD. ∴ PQ=AC=BD=PN,∴ □PQMN为菱形. 同步测试4: 1.(2008天津)在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),B(,0),C(0,),D(,0),则以这四个点为顶点的四边形是( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形 2.(2009年广西梧州)如图10,△ABC中,AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点O,CE∥AB交MN于E,连结AE、CD. (1)求证:AD=CE; (2)填空:四边形ADCE的形状是U ★ U. 知识点五:正方形的性质 有 并且有 的 叫做正方形。 例5:(2009年南充)如图,ABCD是正方形,点G是BC上的任意一点,于E,,交AG于F. 求证:. 证明:是正方形,. ,. . 又,. , . 在与中,, .. ,. 同步测试5: 1.(2009年湖北荆州)如图11,将边长为8㎝的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为MN,则线段CN的长是( ) A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 2.(2009年孝感)如图,正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF,M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上.小明认为:若MN = EF,则MN⊥EF;小亮认为: 若MN⊥EF,则MN = EF.你认为 ( ) A.仅小明对 B.仅小亮对 C.两人都对 D.两人都不对 知识点六:正方形的判定 的矩形是正方形; 的菱形是正方形。
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