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不等式与不等式组

本章知识是在学习了一元一次方程(组)的基础上研究简单的不等关系的.教材首先通过具体实例建立不等式,探索不等式的基本性质,了解一般不等式的解、解集及解不等式的概念，然后具体研究了一元一次不等式的解、解集、一元一次不等式的解法以及一元一次不等式的简单应用等.通过具体实例渗透一元一次不等式与一元一次方程的内在联系.最后研究一元一次不等式组的解、解集、一元一次不等式组的解法以及一元一次不等式组的简单应用等.

小结2 本章学习重难点

【本章重点】能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并探索不等式的基本性质.会解简单的一元一次不等式,能在数轴上表示出不等式的解集,会解一元一次不等式组,并会用数轴确定其解集.能够根据具体问题中的不等关系,列出一元一次不等式或一元一次不等式组解决简单的问题.

【本章难点】能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并探索不等式的基本性质;会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集,会解由两个一元一次不等式组成的不等式组,并用数轴确定解集.能够根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式和一元一次不等式组解决简单的实际问题.

小结3 中考透视

本章内容在中考中所占比重较大,直接考查不等式的基本性质.一元一次不等式(组)的解法,在数轴上表示不等式(组)的解集;间接考查将不等式(组)应用于二次根式、绝对值的化简与求值讨论、一元二次方程根的情况及求函数自变量的取值范围.以填空、选择形式为主,计算题形式也不少,其中应用不等式知识进行方案设计及比赛分析题目难度较大,不易得分.

知识网络结构图

专题总结及应用

一、知识性专题

专题1 不等式(组)的实际应用

【专题解读】利用不等式(组)解决实际问题的步骤与列一元一次不等式解应用题的步骤类似，所不同的是，前者需寻求的不等关系往往不止一个，而后者只需找出一个不等关系即可.

在列不等式(组)时,审题是基础,根据不等关系列出不等式组是关键.解出不等式组的解集后,要养成检验不等式的解集是否合理,是否符合实际情况的习惯.即审题→设一个未知数→找出题中所有的数量关系,列出不等式组→解不等式组→检验.

例1 2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行.观看帆船比赛的船票分为两种:A种船票600元/张,B种船票120元/张.某旅行社要为一个旅行团代购部分船票,在购票费不超过5000元的情况下,购买A,B两种船票共15张,要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半.若设购买A种船票x张,请你解答下列问题.

(1)共有几种符合题意的购票方案?写出解答过程.

(2)根据计算判断哪种购票方案更省钱.

解: (1)由题意知购买B种船票(15-x)张.

根据题意,得

解得

因为x为正整数,所以满足条件的x为5或6.

所以共有两种购票方案.

方案一:购买A种票5张,B种票10张.

方案二:购买A种票6张,B种票9张.

(2)方案一的购票费用为600×5+120×10=4200(元);

方案二的购票费用为600×6+120×9=4680(元).

因为4500元<4680元,所以方案一更省钱.

【解题策略】运用不等式知识解决实际问题,关键是把实际问题的文字语言转化为数学符号语言.

二、规律方法专题

专题2 求一元一次不等式(组)的特殊值

【专题解读】在此类问题中，一般给出一个一元一次不等式(组)，然后在解集的范围内限制取值，解决的方法通常是先求出不等式(组)的解集，再由题意求出符合条件的数值.

例2 求不等式 的非负整数解.

分析 先解不等式,求出x的取值范围,在x的取值范围内找出非负整数解,求非负整数解时注意不要漏解.

解:解不等式 ,得x≤5.

所以不等式的非负整数解是5,4,3,2,1,0.

【解题策略】此题不能忽略0的答案.

专题3 一元一次不等式(组)中求参数的技巧

【专题解读】由已知不等式(组)的解集或整数解来确定选定系数的值或待定系数的取值范围,常用的方法是先用解不等式(组)的方法解出含待定系数的不等式(组)的解集,再代入已给出的条件中,即可求出待定系数的值.

例3 已知关于x的不等式组 的整数解共有3个,则b的取值范围是______.

分析 化简不等式组,得 如图9-59所示,将其表示在数轴上,其整数解有3个,即为x=5,6,7.由图可知7≤b<8.故填7≤b<8.

例4 已知关于x的不等式(2-a)x>3的解集为 ,则a的取值范围是( )

A.a>0

B.a>2

C.a<0

D.a<2

分析 分析题中不等式解集的特点,结合不等式的性质3,可知2-a<0,即a>2.故选B.

三、思想方法专题

专题4 数形结合思想

【专题解读】在解有关不等式的问题时，有些问题需要我们借助图形来给出解答.解决此类问题时，要充分利用图形反馈的信息，或将文字信息反馈到图形上，做到有数思形，有形思数，顺利解决问题.

例5 关于x的不等式2x-a≤-1的解集如图9-60所示，则a的取值是( )

A.0

B.-3

C.-2

D.-1

分析 由图9-60可以看出，不等式的解集为x≤-1，而由不等式2x-a≤-1，解得x≤ ,所以 =-1，解这个方程，得a=-1.故选D.

专题5 分类讨论思想

【专题解读】在利用不等式(组)解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为了防止漏解和便于比较，我们常常用到分类讨论思想对方案的优劣进行探讨.

例6某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件,学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李.

(1)设租用甲种汽车x辆,请你帮助学校设计所有可能的租车方案;

(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，那么请你帮助学校选出最省钱的一种租车方案.

分析 本题考查利用不等式组设计方案并做出决策的问题.根据题中的不等关系可列出不等式组,解不等式组求出x的取值,从而解答本题.

解:(1)设租用甲种汽车x辆,则租用乙种汽车(8-x)辆.

根据题意得 解得5≤x≤6.

因为x为整数,所以x=5或x=6.

故有两种租车方案,方案一:租用甲种汽车5辆、乙种汽车3辆.

方案二、租用甲种汽车6辆、乙种汽车2辆.

(2)方案一的费用：5×2000+3×1800=15400(元).

方案二的费用:6×2000+2×1800=15600(元).

因为15400元<15600元,所以方案一最省钱.

答:第一种租车方案更节省费用,即租用甲种汽车5辆、乙种汽车3辆.

【解题策略】解答设计方案的问题时,要注意不等式组的解集必须符合实际问题的要求,不能把数学问题与实际问题相混淆.

2011中考真题精选

一、选择题

1. (2011江苏无锡，2，3分)若a>b，则(　　)

A.a>﹣b B.a<﹣b C.﹣2a>﹣2b D.﹣2a<﹣2b

考点：不等式的性质。

专题：应用题。

分析：由于a、b的取值范围不确定，故可考虑利用特例来说明，若能直接利用不等式性质的就用不等式性质.

解答：解：由于a、b的 取值范围不确定，故可考虑利用特例来说明，

A、例如a=0，b=﹣1，a<﹣b，故此选项错误，

B、例如a=1，b=0，a>﹣b，故此选项错误，

C、利用不等式性质3，同乘以﹣2，不等号改变，则有﹣2a<﹣2b，故此选项错误，

D、利用不等式性质3，同乘以﹣2，不等号改变，则有﹣2a<﹣2b，故此选项正确，

故选D.

点评：本题主要考查了不等式的基本性质，比较简单.

2. (2011南昌，7，3分)不等式8﹣2x>0的解集在数轴上表示正确的是( )

A. B.

C. D.

考点：在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式.

专题：计算题.

分析：先根据不等式的基本性质求出此不等式的解集，在数轴上表示出来，再找出符合条件的选项即可.

解答：解：移项得，﹣2x>﹣8，系数化为1得，x<4.在数轴上表示为：

故选C.

点评：本题考查的是解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，解答此类题目时要注意实心圆点与空心圆点的区别.

3. (2011山东日照，6，3分)若不等式2x<4的解都能使关于x的一次不等式(a﹣1)x

A.1

考点：解一元一次不等式组;不等式的性质。

专题：计算题。

分析：求出不等式2x<4的解，求出不等式(a﹣1)x

解答：解：解不等式2x<4得：x<2，

∴当a﹣1>0时，x< ，

∴ ≥2，

∴1

故选A.

点评：本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于a的不等式是解此题的关键.

4. 如果a>b，c<0，那么下列不等式成立的是(　　)

A、a+c>b+c B、c-a>c-b C、ac>bc D、

考点：不等式的性质.

专题：计算题.

分析：根据不等式的基本性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.

(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.一个个筛选即可得到答案.

解答：解：A，∵a>b，∴a+c>b+c，故此选项正确;

B，∵a>b，

∴-a<-b，

∴-a+c<-b+c，

故此选项错误;

C，∵a>b，c<0，

∴ac

故此选项错误;

D，，∵a>b，c<0，

∴ < ，

故此选项错误;

故选：A.

点评：此题主要考查了不等式的基本性质.“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关

5. (2011四川凉山，2，4分)下列不等式变形正确的是( )

A.由 ，得 B.由 ，得-2a>-2b

C.由 ，得 D.由 ，得

考点：不等式的性质.

分析：根据不等式的基本性质分别进行判定即可得出答案.

解答：解：A.由a>b，得ac>bc，当c<0，不等号的方向改变.故此选项错误;

B.由a>b，得-2a<-2b，不等式两边乘以同一个负数，不等号的方向改变，故此选

项正确;

C.由a>b，得-a>-b，不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变;

故此选项错误;

D.由a>b，得a-2

选项错误.

故选B.

点评：此题主要考查了不等式的基本性质.“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱.不等式的基本性质：

(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.

(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.

(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.

6.(2011•台湾13，4分)解不等式﹣ x﹣3>2，得其解的范围为何(　　)

A、x<﹣25 B、x>﹣25

C、x<5 D、x>5

考点：解一元一次不等式。

专题：计算题。

分析：首先去掉不等式中的分母，然后移项，合并同类项即可求解.

解答：解：∵﹣ x﹣3>2，

∴﹣x+15>10，

∴x<﹣25.

故选A.

点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错.

7. (2011台湾，18，4分)解不等式1-2x ，得其解的范围为何(　　)

A. B. C. D.

考点：解一元一次不等式。

专题：计算题。

分析：利用不等式的基本性质，把不等号右边的x移到左边，合并同类项即可求得原不等式的解集.

解答：解：移项得，-2x+ x≤ -1，

合并同类项得- x≤- ，

解得x≥ .

故选A.

点评：解不等式要依据不等式的基本性质：

(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变;

(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变;

(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.

8. (2011湖北潜江，4，3分)某不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是(　　)

A. B. C. D.

考点：在数轴上表示不等式的解集。

专题：探究型。

分析：先根据数轴上表示的不等式组的解集写出来，在对四个选项进行分析即可.

解答：解：由数轴上不等式解集的表示法可知，此不等式组的解集为—2≤x<3，

A.不等式组的解集为—2≤x≤3，故本选项错误;

B.不等式组的解集为—2≤x<3，故本选项正确;

C.不等式组的解集为—2

D.不等式组的解集为—2

故选B.

点评：本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，解答此题时要注意实心圆点与空心圆点的区别.

9.(2011•河池)解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是(　　)

A、 B、

C、 D、

考点：在数轴上表示不等式的解集。

专题：计算题。

分析：由图可得，x>﹣1且x≤2，从而得出不等式的解集.

解答：解：根据图可得出﹣1

故选D.

点评：本题考查了在数轴上表示不等式的解集，注大于向右画，小于向左画，包括这点用实心圆点，不包括这点用空心圆圈

10. (2011泰安，18，3分)不等式组 的最小整数解为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.-1

考点：一元一次不等式组的整数解。

专题：计算题。

分析：首先解不等式组求得不等式的解集，然后确定解集中的最小整数值即可.

解答：解：解第一个不等式得：x<3;

解第二个不等式得：x>-1

故不等式组的解集是：-1

故最小整数解是：0

故选：A.

点评：本题主要考查了不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

11. (2011年山东省威海市，11，3分)如果不等式组 的解集是x<2，那么m的取值范围是(　　)

A、m=2 B、m>2 C、m<2 D、m≥2

考点：解一元一次不等式组;不等式的解集.

专题：计算题.

分析：先解第一个不等式，再根据不等式组 的解集是x<2，从而得出关于m的不等式，解不等式即可.

解答：解：解第一个不等式得，x<2，

∵不等式组 的解集是x<2，

∴m≥2，

故选D.

点评：本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题.可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数.求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

12. (2011山东淄博5，3分)若a>b，则下列不等式成立的是(　　)

A.a﹣3

考点：不等式的性质。

分析：根据不等式的性质分别进行判断即可.

解答：解：∵a>b，

∴a﹣3>b﹣3;﹣2a<﹣2b; ;a>b>b﹣1，

所以A、B、C选项都错误，D选项正确.

故选D.

点评：本题考查了不等式的性质：不等式两边同时加上或减去一个数，不等式不改变方向;不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等式不改变方向;不等式两边同时乘以或乘以一个负数，不等式要改变方向.

13. (2011四川凉山2，3分)下列不等式变形正确的是( )

A.由 ，得 B.由 ，得-2a>-2b

C.由 ，得 D.由 ，得

考点：不等式的性质.

分析：根据不等式的基本性质分别进行判定即可得出答案.

解答：解：A.由a>b，得ac>bc，当c<0，不等号的方向改变.故此选项错误;

B.由a>b，得-2a<-2b，不等式两边乘以同一个负数，不等号的方向改变，故此选

项正确;

C.由a>b，得-a>-b，不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变;

故此选项错误;

D.由a>b，得a-2

选项错误.

故选B.

点评：此题主要考查了不等式的基本性质.“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱.不等式的基本性质：

(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.

(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.

(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.

14. (2011福建莆田，3，4分)已知点P(a,a-1)在平面直角坐标系的第一象限，则a的取值范围在数轴上可表示为( )

考点：在数轴上表示不等式的解集;点的坐标.

专题：计算题.

分析：由点P(a，a-1)在平面直角坐标系的第一象限内，可得 ，分别解出其解集，然后，取其公共部分，找到正确选项;

解答：解：∵点P(a，a-1)在平面直角坐标系的第一象限内，

∴ ，

解得，a>1;

故选A.

点评：本题考查了点的坐标及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>，≥向右画;<，≤向左画)，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示;“<”，“>”要用空心圆点表示.

15. (2011福建福州，6，4分)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是(　　)

A. B.

C. D.

考点：在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.

分析：分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集.

解答：解：解x+1≥﹣1得，x≥﹣2;解 x<1得x<2;∴﹣2≤x<2.故选D.

点评：本题考查了利用数轴表示不等式解集得方法.也考查了解不等式组的方法.

16. 2011广州，6，3分)若a

A. abc<0 B. abc=0 C. abc>0 D. 无法确定

【考点】不等式的性质.

【专题】计算题.

【分析】根据不等式是性质：①不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.②不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，解答此题.

【解答】解：∵a

∴ac>0(不等式两边乘以同一个负数c，不等号的方向改变)，

∴abc>0 (不等式两边乘以同一个正数，不等号的方向不变).

故选C.

【点评】主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.

17. (2011广东省茂名，1，3分)不等式组 的解集在数轴上正确表示的是(　　)

A、 B、

C、 D、

考点：在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组。

专题：存在型。

分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可.

解答：解： ，

由①得，x<2，

由②得，x≥﹣3，

在数轴上表示为：

故选D.

点评：本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，解答此类题目时一定要注意实心圆点与空心圆点的区别.

1. (2011广东深圳，9，3分)已知a，b，c均为实数，若a>b，c≠0.下列结论不一定正确的是(　　)

A、a+c>b+c B、c-aab>b2

考点：不等式的性质.

专题：计算题.

分析：根据不等式的性质1，不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变;根据不等式的性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变;根据不等式的性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变;利用不等式的3个性质进行分析.

解答：解：A，根据不等式的性质一，不等式两边同时加上c，不等号的方向不变，故此选项正确;

B，∵a>b，∴-a<-b，∴-a+c<-b+c，故此选项正确;C，∵c≠0，∴c2>0，∵a>b.∴ ，

故此选项正确;D，∵a>b，a不知正数还是负数，∴a2，与ab，的大小不能确定，故此选项错误;

故选：D

点评：此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是做题的关键，此题比较基础.

18.(2011广西来宾，8，3分)不等式组 的解集可表示为( )

A B

C D

考点：在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组。

专题：计算题。

分析：首先解出不等式组x的取值范围，然后根据x的取值范围，找出正确答案;

解答：解：不等式组 ，

解得，﹣1≤x<2.

故选B.

点评：本题考查了不等式组的解法及在数轴上表示不等式的解集，把不等式的解集在数轴上表示出来(>，≥向右画;<，≤向左画)，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示;“<”，“>”要用空心圆点表示.

19 (2011杭州，9，3分)若a+b=-2，且a≥2b，则(　　)

A、 ba有最小值 12　　 　B、 ba有最大值1

C、 ab有最大值2　　 　D、 ab有最小值 -89

考点：不等式的性质.

专题：计算题.

分析：由已知条件，根据不等式的性质求得b≤ <0和a≥ ;然后根据不等式的基本性质求得 ≤2 和②当a>0时， ≤ ， 有最大值是 ②当 ≤a<0时， ≥ ;据此作出选择即可.

解答：解：∵a+b=-2，

∴a=-b-2，b=-2-a，

又∵a≥2b，

∴-b-2≥2b，a≥-4-2a，

移项，得

-3b≥2，3a≥-4，

∴b≤ <0(不等式的两边同时除以-3，不等号的方向发生改变);

a≥ ;

由a≥2b，得 ≤2 (不等式的两边同时除以负数b，不等号的方向发生改变);

A.当a>0时， ≤ ， 有最大值是 ，;故本选项错误;

B.当 ≤a<0时， ≥ ， 有最小值是 ，无最大值;故本选项错误;

C..∴ 有最大值2;故本选项正确;

D.∴ 无最小值;故本选项错误.

故选C.

点评：主要考查了不等式的基本性质：

(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.

(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.

(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.

20. (2011浙江台州，6，4分)不等式组 的解集是(　　)

A.x≥3 B.x≤6 C.3≤x≤6 D.x≥6

考点：解一元一次不等式组;不等式的性质;解一元一次不等式.

专题：计算题.

分析：根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组的解集的规律找出即可.

解答：解： ，由①得：x≤6，由②得：x≥3，

∴不等式组的解集是：3≤x≤6.故选C.

点评：本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点的理解和掌握，根据找不等式组的解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键.

21. (2011梧州，8，3分)不等式组的解集在数轴上表示为如图，则原不等式组的解集为(　　)

A、x<2 B、x<3 C、x≤3 D、x≤2

考点：在数轴上表示不等式的解集。

专题：探究型。

分析：根据数轴上不等式解集的表示方法进行解答即可.

解答：解：∵由数轴上不等式解集的表示方法可知，不等式组中两不等式的解集分别为：x≤3，x<2，

∴原不等式组的解集为：x<2.

故选A.

点评：本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键.

22.(2011年湖南省湘潭市，3，3分)不等式组 的解集在数轴上表示为(　　)

A、 B、

C D、

考点：在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.

专题：存在型.

分析：先根据在数轴上表示不等式组解集的方法表示出不等式组的解集，再找出符合条件的选项即可.

解答：解：不等式组 在数轴上表示为：

故选A.

点评：本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>，≥向右画;<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示;“<”，“>”要用空心圆点表示.

23.(2011巴彦淖尔，4，3分)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是(　　)

A、 B、

C、 D、

考点：在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组。

专题：计算题。

分析：先解不等式组得到﹣2

解答：解：解x+2>0得，x>﹣2，

解x﹣2≤0得，x≤2，

∴﹣2

故选B.

点评：本题考查了在数轴上表示不等式组解集的方法和数形结合的思想的运用.也考查了解一元一次不等式组.

二、填空题

1. (2011•柳州)不等式组 的解集是　1

考点：解一元一次不等式组。

分析：首先分别解两个不等式，再根据：大大取大，小小取小，大小小大取中，大大小小取不着，写出公共解集即可.

解答：解： ，

由①得：x<2，

由②得：x>1，

∴不等式组的解集为：1

故答案为：1

点评：此题主要考查了不等式组的解法，关键是正确解不等式，再根据口诀取出公共解集.

2. (2011•郴州)不等式组 的解集是　1

考点：解一元一次不等式组。

分析：首先解不等式组中的每一个不等式，然后求出不等式组的解集即可.

解答：解： ，

由②得：x>1，

∴不等式组的解集为：1

故答案为：1

点评：此题主要考查了不等式组的解法，关键是解集的确定：大大取大，小小取小，大小小大取中，大大小小取不着.

3. (2011四川眉山，18，3分)关于x的不等式3x﹣a≤0，只有两个正整数解，则a的取值范围是　6≤a<9　.

考点：一元一次不等式的整数解。

专题：计算题。

分析：解不等式得x≤ ，由于只有两个正整数解，即1，2，故可判断 的取值范围，求出a的职权范围.

解答：解：原不等式解得x≤ ，

∵解集中只有两个正整数解，

可知是1，2，

∴2≤ <3，

解得6≤a<9.

故答案为：6≤a<9.

点评：本题考查了一元一次不等式的整数解.正确解不等式，求出正整数是解答本题的关键.解不等式应根据不等式的基本性质.

三、解答题

1. (2011新疆建设兵团，16，6分)解不等式组5x-9<3(x-1)1-32x≤12x-1，并将解集在数轴上表示出来.

考点：解一元一次不等式组;不等式的性质;在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式.

专题：计算题.

分析：根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可.

解答：解： 5x-9<3(x-1)①1-32x≤12x-1②，

解不等式①得：x<3，

解不等式②得：x≥1，

∴不等式组的解集是1≤x<3，

把不等式组的解集在数轴上表示为： .

点评：本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式(组)，在数轴上表示不等式组的解集等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键.

2. (2010重庆，18，6分)解不等式2x-3< ，并把解集在数轴上表示出来.

考点：解一元一次不等式;在数轴上表示不等式的解集

分析：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可.

解答：解：3(2x﹣3)

6x﹣9

5x<10

x<2

∴原不等式的解集为x<2，

在数轴上表示为：

点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错

3. (2011浙江衢州，18，6分)解不等式 ，并把解在数轴上表示出来.

考点：解一元一次不等式;不等式的性质;在数轴上表示不等式的解集。

专题：计算题;数形结合。

分析：根据不等式的性质得到得3(x﹣1)≤1+x，推出2x≤4，即可求出不等式的解集.

解答：解：去分母，得3(x﹣1)≤1+x，

整理，得2x≤4，

∴x≤2.

在数轴上表示为： .

点评：本题主要考查对解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键.

综合验收评估测试题

(时间：120分钟 满分：120分)

一、选择题

1.在方程组 中，若未知数x,y满足x+y>0，则m的取值范围在数轴上的表示是图9-61中的( )

2.已知关于x的不等式(1-a)x>2的解集为 ，则a的取值范围是( )

A.a>0

B.a>1

C.a<0

D.a<1

3.如果不等式组 的解集是x>-1，那么m的值是( )

A.1

B.3

C.-1

D.-3

4.若三个连续的自然数的和不大于12，则符合条件的自然数有( )

A.1组

B.2组

C.3组

D.4组

5.已知关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是( )

A.a≤-1

B.a≥2

C.-1

D.a<-1，或a>2

6.函数 中，自变量x的取值范围是( )

A.x>-2

B.x≥-2

C.x≠-2

D.x≤-2

7.已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是( )

A.13cm

B.6cm

C.5cm

D.4cm

8.如果a

A.ab>0

B.a+b<0

C. <0

D.a-b<0

9.不等式3-2x≤7的解集是( )

A.x≥-2

B.x≤-2

C.x≤-5

D.x≥-5

10.若不等式组 有解，则a的取值范围是( )

A.x>-1

B.a≥-1

C.a≤1

D.a<1

二、填空题

11.若a

12.当a<5时,不等式 的解集是________.

13.不等式组 的解集是_________.

14.如果一元一次不等式组 的解集为x>3，那么a的取值范围是______.

15.已知一元一次方程3x-m+1=2x-1的根是负数，那么m的取值范围是________.

16.若代数式 的值不小于 的值，则x的取值范围是________.

17.不等式组 的所有整数解的和是________.

18.若关于x的不等式组 的解集为x<2，则a的取值范围是_________.

三、解答题

19.解不等式5x-12≤2(4x-3).

20.解下列不等式(组).

(1) ;

(2) ;

(3)

(4) .

21.已知方程组 的解x为非正数，y为负数，求a的取值范围.

22.已知正整数x满足 ，求代数式 的值.

23.若干名学生合影留念，照相费为2.85元(含两张照片).若想另外加洗一张照片,则又需收费0.48元,预定每人平均交钱不超过1元,并都能分到一张照片,则参加照相的至少有几名学生?

24.星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，且20元钱刚好用完.

(1)有几种购买方式?每种方式可乐和奶茶各买多少杯?

(2)每人至少一杯饮料且奶茶至少两杯时,有几种购买方式?

25.据统计，2008年底义乌市共有耕地267000亩，户籍人口724000人，2004年底至2008年底户籍人口平均每两年约增加2%，假设今后几年继续保持这样的增长速度.(本题计算结果精确到个位)

(1)预计2012年底义乌市户籍人口约是多少人;

(2)为确保2012年底义乌市人均耕地面积不低于现有水平，预计2008年底至2012年底平均每年耕地总面积至少应该增加多少亩.

26.迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A，B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆.

(1)某校九年级(一)班课外活动小组承接了这个园林造型搭配方案的设计,则符合题意的搭配方案有几种?请你帮助设计出来;

(2)若搭配一个A种造型的成本是800元,搭配一个B种造型的成本是960元,试说明(1)中哪种方案成本最低,最低成本是多少元?

参考答案

1.B

2.B[提示:根据题意,由不等式两边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,得1-a<0,即a>1.]

3.D

4.D

5.B[提示:若不等式组中各不等式的解集无公共部分,则原不等式组的解集是空集.]

6.B

7.B.

8.C

9.A

10.A

11.空集

12.

13.x>2

14.a≤3

15.m<2

16. [提示:根据题意,得 ,解得 .]

17.3

18.a≤-2

19.x≥-2

20.(1)x≤10. (2)x≤-11. (3)x>0. (4)

21.-2

22.提示:x=1,

23.解:设参加照相的有x名学生,根据题意,得2.85+(x-2)×0.48≤1×x,所以 ,即至少有4名学生参加照相.答:参加照相的至少有4名学生.

24.解:(1)设买可乐、奶茶分别为x杯、y杯，根据题意得2x+3y=20(且x,y均为自然数)，∴ ，解得 ∴y=0,1,2,3,4,5,6.代入2x+3y=20,并检验，得 所以有四种购买方式，每种方式可乐和奶茶的杯数分别为:(亦可直接用列举法求得)10，0;7，2;4，4;1，6.(2)根据题意：每人至少一杯饮料且奶茶至少两杯时，即y≥2且x+y≥8，由(1)可知有两种购买方式.

25.解(1) (人).(2)设平均每年耕地总面积增加x亩.则有 .

26.(1)解：设搭配A种造型x个，则B种造型为(50-x)个，依题意，得 解得 ∴31≤x≤33.∵x是整数，∴x可取31，32，33，∴可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19;②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个;③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个.(2)解法1：由于B种造型的造价成本高于A种造型成本，所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为33×800+17×960=42720(元).解法2：方案①需成本31×800+19×960=43040(元)，方案②需成本32×800+18×960=42880(元)，方案③需成本33×800+17×960=42720(元)，∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元.

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