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用拼图理解乘法公式

初中生对符号的抽象性把握不够，乘法公式只能凭法则加以推算，学生对法则的将信将疑无以验证，拼图的出现无疑是一场及时雨，不仅可以使学生头脑中的疑雾顿散，而充分体现、渗透了数形结合的数学思想。请看下面几例：

一、用拼图理解公式的几何意义

理解1 将边长为a的正方形纸片的剪出一个边是为b(b

∴ 或

理解2 将边长分别a、b的两个正方形和长宽为a、b的两个全等矩形拼成一个正方形。(1)怎样拼?(2)用不同形式表示拼成正方形面积，你觉得以此可验证什么公式?

分而算之： 　　　总而算之：

∴

理解3 将大小相同的4块长、宽分别为a、b(a>b)长方形纸片拼成如图形状，从中你能发现(a+b)2与(a-b)2关系吗?

事实上，大正方形边长为a+b，小正方形边长为a-b，

∴大正方形面积 =(a+b)2，小正方形面积 =(a-b)2

∴(a+b)2 = (a-b)2+4ab，或者(a+b)2 -4ab = (a-b)2或者(a+b)2 -(a-b)2=4ab

二、典例剖析

例1在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)，再沿虚线剪开,如

图1(1)，然后拼成一个梯形，如图1(2)，根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是(　　).

A.(a+b)(a-b)=a2-b2　　　　　 B.(a+b)2=a2+2ab+b2

C.(a-b)2=a2-2ab+b2　　　　　　 D.a2-b2=(a-b)2

分析：从这个题目的条件中可以看出，把图1(1)图形经过剪切成为第图1(2)图形，得到一个等腰梯形，它的面积为(上底+下底)×高÷2，上底为2b，下底为2a，高为a-b，所以面积为：(2b+2a)(a-b)÷2=a2-b2，所以答案为：A.

解：A.

点评：利用割补图形和乘法公式来验证图形的面积，要求同学们有较强思维意识和对一些特殊图形面积公式的充分掌握.本题的关键是计算梯形面积.

例2如图2(1)，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即_____.

若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ+SⅢ=SⅠ+SⅣ=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式：_____.

如图2(2)，大正方形的面积可以表示为____，也可以表示为S=SⅠ+ SⅡ+ SⅢ+SⅣ，同时S=____，.从而验证了完全平方公式：_____ .

分析：本题考查利用图形解释平方差和完全平方公式，体现数形几何思想。

如图2(1)，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2-b2;

若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ+SⅢ=SⅠ+SⅣ=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.

如图2(2)，大正方形的面积可以表示为(a+b)2，也可以表示为S=SⅠ+ SⅡ+ SⅢ+SⅣ，同时S=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.从而验证了完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2.

点评：本题通过简单的几何拼图验证了平方差公式，渗透了数形结合的数学思想，考查了学生的观察能力、分析研究能力及运算能力.

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