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图形的全等小结与思考(2)教学案

【课前准备】

1.如图，AB⊥MN于B，CD⊥MN于D，AB=CD，MB=ND.试说明：△ABN≌△CDM.

2.如图，已知CA⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD. 试猜想线段CE与DE的大小与位量关系，并说明你的结论.

【例题解析】

例1.如图，三条两两交叉的高速公路从经济开发区外穿过，

现拟建一座服务站，要求服务站到三条公路的距离相等.

⑴如果服务站建在区内，请在图中找出服务站的位置.

⑵如果服务站不限建在区内，那么可以在哪几个地方选址?

例2.如图，AC交BD于点O，请你从下面三项中选出两个作为条件，另一个为结论，写出一个，并加以证明。①OA=OC，②OB=OD，③AB∥DC

辅助线构造全等三角形

例1如图，在△ABC中，AB=12,AC=8,AD是BC边上的中线，

求AD的取值范围。

探究与合作

两个大小不同的等边三角形如图(1)所示位置摆放(使点B、O、D在同一条直线上)，连结AD、BC。

(1)AD与BC有何关系吗?说明你的理由。

(2)说明图(1)的哪一个三角形可以通过怎样的变换得到另一个三角形?

(3)将△COD绕O点逆时针旋转，使OC落在OA上，如图(2)，的结论仍然成立吗?试加以说明。

(4)继续将△COD绕O点逆时针旋转，使OC落在△AOB的内部，如图(3)，(1)的结论仍然成立吗?

(5)在将△COD绕O点逆时针旋转的过场中，当A、D、C三点共线时，如图(4)，你又会有何新的发现，与同伴交流。

【当堂反馈】

1.已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有 对全等三角形.

(第1题图) (第2题图)

2.如图，沿着方格线，把下列图形分割成四个全等的图形.

3.七(1)班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计如下方案：

(Ⅰ)如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长;

(Ⅱ)如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离.

阅读后回答下列问题：

(1)方案(Ⅰ)是否可行?请说明理由。

(2)方案(Ⅱ)是否可行?请说明理由。

(3)方案(Ⅱ)中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 ;若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案(Ⅱ)是否成立? .

4.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕P点旋转，三角板的两直角边分别交AC、CB于D、E两点.

⑴问PD与PE有何大小关系?并以图(b)为例加以说明;

⑵在旋转的过程中，当三角板处于图(c)中的位置时，你能发现与⑴中类似的结论吗?

【课后作业】

1. 如图，把△ABP绕A点逆时针旋转60°得到△ACE，

问△ABP与△ACE是什么关系?若∠BAP=40°，∠B=30°，

求∠CAE、∠E、∠BAE的度数.

2. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE为BC边上的中线，

3. 过C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D，

4. 若AC=12cm.求BD的长.

3.已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

且BC=DC.你能说明BE与DF相等吗?

4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，

DE⊥AB于E，F在AC上，且BD=DF.试说明：CF=EB.

5.如图，已知：AB=AC，PB=PC，PD⊥AB，PE⊥AC，

垂足分别为D、E.试说明：PD=PE.

6.已知：如图，AB=CD，AD=BC，P为AC上任一点，过P的直线

分别交AD、CB的延长线于E、F.(1)请问：∠E=∠F吗?说明你的理由;

(2)要得出结论PE=PF，还需增加一个什么条件，说明你的理由.

【拓展延伸】

如图，BD、CE是△ABC的高，D、E为垂足，在BD上截取BF，

使BF=AC，在CE的延长线取一点G，使CG=AB.

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