第九章 因式分解

一、分解因式

1.2x4y2-4x3y2+10xy4。

2. 5xn+1-15xn+60xn-1。

4. (a+b)2x2-2(a2-b2)xy+(a-b)2y2

5. x4-1

6.-a2-b2+2ab+4分解因式。

10.a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

11.x2-2x-8

12.3x2+5x-2

13. (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

14. (x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.

15.把多项式3x2+11x+10分解因式。

16.把多项式5x2―6xy―8y2分解因式。

二证明题

17.求证：32000-4×31999+10×31998能被7整除。

18.设 为正整数，且64n-7n能被57整除，证明： 是57的倍数.

19.求证：无论x、y为何值， 的值恒为正。

20.已知x2+y2-4x+6y+13=0,求x,y的值。

三 求值。

21.已知a,b,c满足a-b=8,ab+c2+16=0,求a+b+c的值 .

22.已知x2+3x+6是多项式x4-6x3+mx2+nx+36的一个因式，试确定m,n的值，并求出它的其它因式。

因式分解精选练习答案

一分解因式

1. 解：原式=2xy2•x3-2xy2•2x2+2xy2•5y2

=2xy2 (x3-2x2+5y2)。

提示：先确定公因式，找各项系数的最大公约数2;各项相同字母的最低次幂xy2，即公因式2xy2，再把各项的公因式提到括号外面，把多项式写成因式的积。

2. 提示：在公因式中相同字母x的最低次幂是xn-1，提公因式时xn+1提取xn-1后为x2，xn提取xn--1后为x。

解：原式=5 xn--1•x2-5xn--1•3x+5xn--1•12

=5 xn--1 (x2-3x+12)

3.解：原式=3a(b-1)(1-8a3)

=3a(b-1)(1-2a)(1+2a+4a2)

提示：立方差公式：a3-b3=(a-b)( a2+ab+b2)

立方和公式：a3+ b3=(a+b)( a2-ab+b2)

所以，1-8 a3=(1-2a)(1+2a+4a2)

4.解：原式= [(a+b)x]2-2(a+b)(a-b)xy+[(a-b)y]2

=(ax+bx-ay+by)2[

提示：将(a+b)x和(a-b)y视为 一个整体。

5.解：原式=( x2+1)( x2-1)

=( x2+1)(x+1)(x-1)

提示：许多同学分解到(x2+1)( x2-1)就不再分解了，因式分解必须分解到不能再分解为止。

6.解：原式=-(a2-2ab+b2-4)

=-(a-b+2)(a-b-2)

提示：如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。但也不能见负号就先“提”，要对全题进行分析.防止出现诸如-9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误。

7. 解： 原式= x4-x3-(x-1)

= x3(x-1)-(x-1)

=(x-1)(x3-1)

=(x-1)2(x2+x+1)

提示：通常四项或者以上的因式分解，分组分的要合适，否则无法分解。另外，本题的结果不可写成(x-1)(x-1)( x2+x+1),能写成乘方的形式的，一定要写成乘方的形式。*使用了立方差公式，x3-1=(x-1)( x2+x+1)

8. 解：原式=y2[(x+y)2-12(x+y)+36]-y4

=y2(x+y-6)2-y4

=y2[(x+y-6)2-y2]

=y2(x+y-6+y)(x+y-6-y)

= y2(x+2y-6)(x-6)

9. 解：原式= (x+y)2(x2-12x+36)-(x+y)4

=(x+y)2[(x-6)2-(x+y)2]

=(x+y)2(x-6+x+y)(x-6-x-y)

=(x+y)2(2x+y-6)(-6-y)

= - (x+y)2(2x+y-6)(y+6)

10.解：原式=(a2+b2 +2ab)+2bc+2ac+c2

=(a+b)2+2(a+b)c+c2

=(a+b+c)2

提示：*将(a+b)视为 1个整体。

11.解：原式=x2-2x+1-1-8 *

=(x-1)2-32

=(x-1+3)(x-1-3)

= (x+2)(x-4)

提示：本题用了配方法，将x2-2x加上1个“1”又减了一个“1”，从而构成完全平方式。

12.解：原式=3(x2+ x)-2

=3(x2+ x+ - )-2 *

=3(x+ )2-3× -2

=3(x+ )2-

=3[(x+ )2- ]

=3(x+ + )(x+ - )

=3(x+2)(x- )

=(x+2)(3x-1)

提示：*这步很重要，根据完全平方式的结构配出来的。对于任意二次三项式ax2+bx+c(a≠0)可配成a(x+ )2+ .

13.解：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1

=( x2+5x+4)( x2+5x+6)+1

令x2+5x=a,则 原式=(a+4)(a+6)+1

=a2+10a+25

=(a+5)2

=(x2+5x+5)

提示：把x2+5x看成一个整体。

14. 解 原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120

=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120

=( x2+5x+6)( x2+5x+4)-120

令 x2+5x=m, 代入上式,得

原式=(m+6)(m+4)-120=m2+10m-96

=(m+16)(m-6)=( x2+5x+16)( x2+5x-6)=( x2+5x+16)(x+6)(x-1)

提示：把x2+5x看成一个整体。

15.解：原式=(x+2)(3x+5)

提示：把二次项3x2分解成x与3x(二次项一般都只分解成正因数)，常数项10可分成1×10=-1×(-10)=2×5=-2×(-5)，其中只有11x=x×5+3x×2。

说明：十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，特别是当二次项的系数不是1的时候，给我们的分解带来麻烦，这里主要就是讲讲这类情况。分解时，把二次项、常数项分别分解成两个数的积，并使它们交叉相乘的积的各等于一次项。需要注意的是:⑴如果常数项是正数，则应把它分解成两个同号的因数，若一次项是正，则同正号;若一次项是负，则应同负号。⑵如果常数项是负数，则应把它分解成两个异号的因数，交叉相乘所得的积中，绝对值大的与一次项的符号相同(若一次项是正，则交叉相乘所得的积中，绝对值大的就是正号;若一次项是负，则交叉相乘所得的积中，绝对值大的就是负号)。

ax c

二次项　　　　　　　　　常数项

bx d

adx+bcx=(ad+bc)x 一次项

ab x2+(ad+bc)x+cd=(ax+c)(bx+d)

16. 解：原式=(x-2y)(5x+4y)

x -2y

5x 4y

-6xy

二证明题

17.证明： 原式=31998(32-4×3+10)= 31998×7，

∴ 能被7整除。

18.证明：

=8(82n-7n)+8×7n+7n+2

=8(82n-7n)+7n(49+8)

=8(82n-7n)+57 7n

是57的倍数.

19.证明：

=4 x2-12x+9+9 y2+30y+25+1

=(2x-3) 2+(3y+5) 2+1

≥1.

20.解：∵x2+y2-4x+6y+13=0

∴x2-4x+4+y2+6y+9=0

(x-2) 2+(y+3) 2=0

(x-2) 2≥0, (y+3) 2≥0.

x-2=0且y+3=0

x=2,y=-3

三 求值。

21.解：∵a-b=8

∴a=8+b

又ab+c2+16=0

即∴(b+8)b+c2+16=0

即(b+4)2+c2=0

又因为，(b+4) 2≥0，C2≥0,

∴b+4=0,c=0,

b=-4,c=0,a=b+8=4

∴a+b+c=0.

22. 解：设它的另一个因式是x2+px+6,则

X4-6x3+mx2+nx+36

=(x2+px+6)(x2+3x+6)

=x4+(p+3)x3+(3p+12)x2+(6p+18)x+36

比较两边的系数得以下方程组：

解得

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