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第五章 三角形

一.认识三角形

1.关于三角形的概念及其按角的分类

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

这里要注意两点：

①组成三角形的三条线段要“不在同一直线上”;如果在同一直线上,三角形就不存在;

②三条线段“首尾是顺次相接”,是指三条线段两两之间有一个公共端点,这个公共端点就是三角形的顶点.

三角形按内角的大小可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.

2.关于三角形三条边的关系

根据公理“连结两点的线中,线段最短”可得三角形三边关系的一个性质定理,即三角形任意两边之和大于第三边.

三角形三边关系的另一个性质：三角形任意两边之差小于第三边.

对于这两个性质,要全面理解,掌握其实质,应用时才不会出错.

设三角形三边的长分别为a、b、c则：

①一般地,对于三角形的某一条边a来说,一定有|b-c|

②特殊地,如果已知线段a最大,只要满足b+c>a,那么a、b、c三条线段就能构成三角形;如果已知线段a最小,只要满足|b-c|

3.关于三角形的内角和

三角形三个内角的和为180°

①直角三角形的两个锐角互余;

②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角;

③一个三角中至少有两个内角是锐角.

4.关于三角形的中线、高和中线

①三角形的角平分线、中线和高都是线段,不是直线,也不是射线;

②任意一个三角形都有三条角平分线,三条中线和三条高;

③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部.但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部,如图1;直角三角形有一条高在三角形的内部,另两条高恰好是它两条边,如图2;钝角三角形一条高在三角形的内部,另两条高在三角形的外部,如图3.

④一个三角形中,三条中线交于一点,三条角平分线交于一点,三条高所在的直线交于一点.

二.图形的全等

¤能够完全重合的图形称为全等形.全等图形的形状和大小都相同.只是形状相同而大小不同,或者说只是满足面积相同但形状不同的两个图形都不是全等的图形.

四.全等三角形

¤1.关于全等三角形的概念

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.互相重合的顶点叫做对应点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角

所谓“完全重合”,就是各条边对应相等,各个角也对应相等.因此也可以这样说,各条边对应相等,各个角也对应相等的两个三角形叫做全等三角形.

※2.全等三角形的对应边相等,对应角相等.

¤3.全等三角形的性质经常用来证明两条线段相等和两个角相等.

五.探三角形全等的条件

※1.三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”

※2.有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”

※3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”

※4.两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”

六.作三角形

1.已知两个角及其夹边,求作三角形,是利用三角形全等条件“角边角”即(“ASA”)来作图的.

2.已知两条边及其夹角,求作三角形,是利用三角形全等条件“边角边”即(“SAS”)来作图的.

3.已知三条边,求作三角形,是利用三角形全等条件“边边边”即(“SSS”)来作图的.

八.探索直三角形全等的条件

※1.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简称为“斜边、直角边”或“HL”.这只对直角三角形成立.

※2.直角三角形是三角形中的一类,它具有一般三角形的性质,因而也可用“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”来判定.

直角三角形的其他判定方法可以归纳如下：

①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等;

②有一个锐角和一条边对应相等的两个直角三角形全等.

③三条边对应相等的两个直角三角形全等.

第七章 生活中的轴对称

※1.如果一个图形沿某条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴.

※2.角平分线上的点到角两边距离相等.

※3.线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等.

※4.角、线段和等腰三角形是轴对称图形.

※5.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,简称为“三线合一”.

※6.轴对称图形上对应点所连的线段被对称轴垂直平分.

※7.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等.

(注：※表示重点部分;¤表示了解部分;◎表示仅供参阅部分;)

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