教案是教师对新一课时讲授的整体设计，这样能够有效提高教学效率，因此精品学习网为大家提供了九年级下学期数学第三章第3节教案设计，希望对老师有所帮助。

28.2.4圆和圆的位置关系

教学目标

(一)教学知识点

1.了解圆与圆之间的几种位置关系.

2.了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系.

(二)能力训练要求

1.经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力.

2.通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力.

(三)情感与价值观要求

1.通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.

2.经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维.

教学重点

探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系.

教学难点

探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程.

教学方法

教师讲解与学生合作交流探索法

教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

[师]我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种;还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交.它们的位置关系都有三种.今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢?没有调查就没有发言权.下面我们就来进行有关探讨.

Ⅱ.新课讲解

一、想一想

[师]大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢?

[生]如自行车的两个车轮间的位置关系;车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系;用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等.

[师]很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多.下面我们就来讨论这些位置关系分别是什么.

二、探索圆和圆的位置关系

在一张透明纸上作一个⊙O.再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2.把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系?

[师]请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流.

[生]我总结出共有五种位置关系，如下图：

[师]大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗?从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑.

[生]如图：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部;

(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部;

(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部;

(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部;

(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部.

[师]总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗?

[生]外离和内含都没有公共点;外切和内切都有一个公共点;相交有两个公共点.

[师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种.

经过大家的讨论我们可知：

投影片

(1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含.

(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离，相切

三、例题讲解

投影片

两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示(点O，O'是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小.

分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O'P=OO'，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O'P，即∠OPT=∠O'PN=90°，所以∠TPN等于360°减去∠OPT+∠O'PN+∠OPO'即可.

解：∵OP=OO'=PO'，

∴△PO'O是一个等边三角形.

∴∠OPO'=60°.

又∵TP与NP分别为两圆的切线，

∴∠TPO=∠NPO'=90°.

∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°.

四、想一想

如图(1)，⊙O1与⊙O2外切，这个图是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?切点与对称轴有什么位置关系?如果⊙O1与⊙O2内切呢?〔如图(2)〕

[师]我们知道圆是轴对称图形，对称轴是任一直径所在的直线，两个圆是否也组成一个轴对称图形呢?这就要看切点T是否在连接两个圆心的直线上，下面我们用反证法来证明.反证法的步骤有三步：第一步是假设结论不成立;第二步是根据假设推出和已知条件或定理相矛盾的结论;第三步是证明假设错误，则原来的结论成立.

证明：假设切点T不在O1O2上.

因为圆是轴对称图形，所以T关于O1O2的对称点T'也是两圆的公共点，这与已知条件⊙O1和⊙O2相切矛盾，因此假设不成立.

则T在O1O2上.

由此可知图(1)是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线，切点与对称轴的位置关系是切点在对称轴上.

在图(2)中应有同样的结论.

通过上面的讨论，我们可以得出结论：两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，图(1)和图(2)都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线.

五、议一议

投影片(§3.6C)

设两圆的半径分别为R和r.

(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与R和r具有怎样的关系?反之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗?

(2)当两圆内切时(R>r)，圆心距d与R和r具有怎样的关系?反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗?

[师]如图，请大家互相交流.

[生]在图(1)中，两圆相外切，切点是A.因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2=O1A+O2A=R+r，即d=R+r;反之，当d=R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切.

在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B.因为切点B在连心线O1O2上，所以O1O2=O1B-O2B，即d=R-r;反之，当d=R-r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2=O1B-O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切.

[师]由此可知，当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切d=R+r.

当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d=R-r时，两圆相内切，即两圆相内切d=R-r.

Ⅲ.课堂练习

随堂练习

Ⅳ.课时小结

本节课学习了如下内容：

1.探索圆和圆的五种位置关系;

2.讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位置关系;

3.探讨在两圆外切或内切时，圆心距d与R和r之间的关系.

Ⅴ.课后作业

习题3.9

Ⅵ.活动与探究

已知图中各圆两两相切，⊙O的半径为2R，⊙O1、⊙O2的半径为R，求⊙O3的半径.

分析：根据两圆相外切连心线的长为两半径之和，如果设⊙O3的半径为r，则O1O3=O2O3=R+r，连接OO3就有OO3⊥O1O2，所以OO2O3构成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O3的半径r.

解：连接O2O3、OO3，

∴∠O2OO3=90°，OO3=2R-r，

O2O3=R+r，OO2=R.

∴(R+r)2=(2R-r)2+R2.

∴r=R.

板书设计

圆和圆的位置关系

一、1.想一想

2.探索圆和圆的位置关系

3.例题讲解

4.想一想

5.议一议

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

通过对九年级下学期数学第三章第3节教案设计的学习，希望对老师有所帮助，提供更多的教学参考内容。

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