(1)两个全等三角形一定相似吗?为什么?

(2)两个直角三角形一定相似吗?两个等腰直角三角形呢?为什么?

(3)两个等腰三角形一定相似吗?两个等边三角形呢?为什么?

[师]请大家互相讨论.

[生]解:(1)两个全等三角形一定相似.

因为两个全等三角形的对应边相等,对应角相等,由对应边相等可知对应边一定成比例,且相似比为1,因此满足相似三角形的两个条件,所以两个全等三角形一定相似.

(2)两个直角三角形不一定相似.

因为虽然都是直角三角形,但也只能确定有一对角即直角相等,其他的两对角可能相等,也可能不相等,对应边也不一定成比例,所以它们不一定相似.

两个等腰直角三角形一定相似.

因为两个等腰直角三角形Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,则∠A=∠B=∠D=∠E=45°,所以有∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.

再设△ABC中AC=b,△DEF中DF=a,则

AC=BC=b,AB= b

DF=EF=a,DE= a

∴

所以两个等腰直角三角形一定相似.

(3)两个等腰三角形不一定相似.

因为等腰只能说明一个三角形中有两边相等,但另一边不固定,因此这两个等腰三角形中有两边对应成比例,两底边的比不一定等于对应腰的比,因此不用再去讨论对应角满足什么条件,就可以确定这两个等腰三角形不一定相似.

两个等边三角形一定相似.

因为等边三角形的各边都相等,各角都等于60度,因此这两个等边三角形一定有对应角相等、对应边成比例,所以它们一定相似.

[师]由上可知,在特殊的三角形中,有的相似,有的不相似.

两个全等三角形一定相似.

两个等腰直角三角形一定相似.

两个等边三角形一定相似.

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似.

4.例题

投影片(§4.5 B)

1.如图,有一块呈三角形形状的草坪,其中一边的长是20 m,在这个草坪的图纸上,这条边长5 cm,其他两边的长都是3.5 cm,求该草坪其他两边的实际长度.

图4-20

解:草坪的形状与其图纸上相应的形状相似,它们的相似比是2000∶5=400∶1

如果设其他两边的实际长度都是x cm,则

x=3.5×400=1400(cm)=14(m)

所以,草坪其他两边的实际长度都是14 m .

投影片(§4.5 C)

2.如图,已知△ABC∽△ADE,AE=50 cm,EC=30 cm,BC=70 cm,∠BAC=45°,∠ACB=40°,求

图4-21

(1)∠AED和∠ADE的度数;

(2)DE的长.

解:(1)因为△ABC∽△ADE.

所以由相似三角形对应角相等,得

∠AED=∠ACB=40°

在△ADE中,

∠AED+∠ADE+∠A=180°

即40°+∠ADE+45°=180°,

所以∠ADE=180°-40°-45°=95°.

(2)因为△ABC∽△ADE,所以由相似三角形对应边成比例,得

即

所以

DE= =43.75(cm).