.

答:所求二次函数的表达式为y=x2+x-1.

【例2】　已知抛物线的对称轴是直线x=2,且经过(3,1)和(0,-5)两点,求二次函数的关系式.

解法一:设所求二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,因为二次函数的图象过点(0,-5),可求得c=-5.又由于二次函数的图象过点(3,1),且对称轴是直线x=2,可以得解这个方程组,得

所以所求的二次函数的关系式为y=-2x2+8x-5.

解法二:设所求二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k,由于二次函数的图象经过(3,1)和(0,-5)两点,可以得到:

解这个方程组,得

所以,所求二次函数的关系式为y=-2(x-2)2+3,即y=-2x2+8x-5.

【例3】抛物线y=x2-4x+8与直线y=x+1交于B、C两点.

(1)在同一平面直角坐标系中画出直线与抛物线;

(2)记抛物线的顶点为A,求△ABC的面积.

解:(1)如图,画出直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+8.

(2)由y=x2-4x+8=(x-4)2,得点A的坐标为(4,0).

解方程组得B、C两点的坐标分别为B(2,2)、C(7,4.5).

过B、C两点分别作x轴的垂线,垂足分别为B1、C1,则

S△ABC=--

=(BB1+CC1)B1C1-AB1·BB1-AC1·CC1

=(2+4.5)×5-×2×2-×3×4.5

=7.5.

小结:让学生讨论、交流、归纳得到:已知二次函数的最大值或最小值,就是已知该函数的顶点坐标,应用顶点式求解方便,用一般式求解计算量较大.

四、巩固练习

1.已知二次函数当x=-3时,有最大值-1,且当x=0时,y=3,求二次函数的关系式.

【答案】解法一:设所求二次函数的关系式为y=ax2+bx+c,因为图象过点(0,3),所以c=3.又由于二次函数当x=-3时,有最大值-1,可以得到:解这个方程组,得

所以,所求二次函数的关系式为y=x2+x+3.

解法二:设所求二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k,依题意,得y=a(x+3)2-1.

因为二次函数的图象过点(0,3),所以有3=a(0+3)2-1,解得a=,所以,所求二次函数的关系式为y=(x+3)2-1,即y=x2+x+3.

2.已知二次函数y=x2+px+q的图象的顶点坐标是(5,-2),求二次函数的关系式.

【答案】依题意,得

解得:p=-10,q=23,

所以,所求二次函数的关系式是y=x2-10x+23.

五、课堂小结

1.求二次函数的关系式,常见的有几种类型?

两种类型:

(1)一般式:y=ax2+bx+c;

(2)顶点式:y=a(x-h)2+k,其顶点坐标是(h,k).

2.如何确定二次函数的关系式?

让学生回顾、思考、交流,得出:关键是确定上述两个式子中的待定系数,通常需要三个已知条件.在具体解题时,应根据具体的已知条件灵活选用合适的形式,运用待定系数法求解.

教学反思

本节课研究了二次函数y=ax2+bx+c表达式的求法:

归纳1:求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关键是求出a、b、c的值.由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a、b、c的三元一次方程组,求出三个待定系数a、b、c就可以写出二次函数的表达式.

归纳2:如果知道抛物线的顶点坐标(h,k),可设方程为y=a(x-h)2+k,只需要再找一个条件求出a的值即可.

要根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式,体会一题多解的乐趣,激发学生的学习欲望.本节课的处理仍然是在教师的引导下,让学生探索、归纳,得到新知.

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