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平行公理

希尔伯特的《几何基础》的五组公理之一：同一平面内，过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。任何两点都是平行的，任何一点与任何一平面都是平行的。

欧几里得的定义：如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角和的一侧相交。

平行公理的推论

定义：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

图例：如果a与b平行，且b与c平行，则a与c平行。

概念：平行于同一条直线的两条直线平行

证明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c

证明:假使b、c不平行

则b、c交于一点O

又因为a‖b,a‖c

所以过O有b、c两条直线平行于a

这就与平行公理矛盾

所以假使不成立

所以b‖c

由同位角相等，两直线平行，可推出：

内错角相等，两直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

因为 a‖b,a‖c,

所以 b‖c (平行公理的推论)

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