高考数学真题全国卷

高考是每个中国学生面临的重要考试，而数学是其中最具挑战性的科目之一。全国卷作为高考数学考试中的核心部分，承载着学生们对数学知识的理解和应用能力的考验。

在备战高考数学全国卷的过程中，备考的关键之一是做好真题的复习与练习。下面将精选一些历年的高考数学真题全国卷，并进行详细解析，帮助大家更好地理解题目的解法与思路。

1999年高考数学真题全国卷

题目一：

已知集合 $A=\{x|\log_{\frac{1}{2}}(x-2)+\log_{\frac{1}{4}}(x-1)>0\}$，则 $A$ 的取值范围是（　　）。

1. $(0,2)\cup(2,4)$
2. $(0,2)\cup(1,+\infty)$
3. $(2,4)\cup(4,+\infty)$
4. $(2,+\infty)$

解析：

我们观察到 $\log_{\frac{1}{2}}(x-2)+\log_{\frac{1}{4}}(x-1)>0$，则这个等式可以变形为 $\frac{1}{\log_{\frac{1}{2}}(x-2)}+\frac{1}{\log_{\frac{1}{4}}(x-1)}>0$。

由于对数函数 $\log$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，所以根据定义域约束，可以得到 $x-2>0$ 且 $x-1>0$。解得 $x>2$ 且 $x>1$，即 $x>2$。

因此，集合 $A$ 的取值范围为 $(2,+\infty)$。

题目二：

正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$，四边形 $A_1A_2A_3A_4$ 的面积的最大值是（　　）。

1. $AC\times\frac{AA_1}{AB}$
2. $AC_1\times\frac{AA_1}{AB}$
3. $AB\times\frac{AA_1}{AB}$
4. $AA_1\times BB_1$

解析：

首先，我们可以通过观察正方体的性质来解此题。注意到四边形 $A_1A_2A_3A_4$ 是一个等腰梯形，其中底边 $A_2A_3$ 平行于底面 $ABCD$，并且 $AA_1$ 是等腰梯形 $A_1A_2A_3A_4$ 的高。

然后，我们利用面积公式求解最大值。根据等腰梯形的面积公式 $S=\frac{a+b}{2}\cdot h$，其中 $a$ 和 $b$ 分别为上底和下底的长度，$h$ 为等腰梯形的高。

由于 $A_1A_2A_3A_4$ 是等腰梯形，所以上底 $a$ 和下底 $b$ 长度相等。根据正方体的性质可知，$AA_1=BB_1$。

因此，四边形 $A_1A_2A_3A_4$ 的面积的最大值是 $AA_1\times BB_1$。

2005年高考数学真题全国卷

题目一：

函数 $y=\log_2(x^2-3x-4)$ 的定义域是（　　）。

1. $x\in(-\infty,-1)\cup(4,+\infty)$
2. $x\in(-\infty,4)\cup(1,+\infty)$
3. $x\in(-\infty,-1)\cup(1,4)$
4. $x\in(-\infty,1)\cup(4,+\infty)$

解析：

要求函数 $y=\log_2(x^2-3x-4)$ 的定义域，首先需要注意对数函数中的底数必须大于 $0$，故 $x^2-3x-4$ 必须大于 $0$。

解得 $x\in(-\infty,-1)\cup(4,+\infty)$，即函数 $y=\log_2(x^2-3x-4)$ 的定义域为 $x\in(-\infty,-1)\cup(4,+\infty)$。

题目二：

在锐角三角形 $ABC$ 中，若 $AB=3$，$BC=4$，$AC=5$，则 $\sin A+\sin B+$ $\sin C$ 的值是（　　）。

1. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
2. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
3. $1$
4. $0$

解析：

根据正弦定理知，对于任意一个锐角三角形有 $a\sin A=b\sin B=c\sin C=2S$。

而对于直角三角形，有 $a\sin A=b\sin B$，所以 $\sin A=\sin B$，则有 $\sin A=\sin B=\frac{b}{c}=\frac{4}{5}$。

所以，$\sin A+\sin B+\sin C=2\sin A+\sin C=2\frac{4}{5}+\frac{3}{5}=1$。

如此，我们解答了 1999 年和 2005 年的高考数学真题全国卷中的部分考题。希望这些解析能够帮助到正在备考高考数学的同学们更好地理解题目的解法和思路。通过大量的真题练习，相信大家能够更加游刃有余地应对高考数学全国卷，取得优异的成绩！加油！