2014年北京高考数学押题试卷(文)

一.选择题

1.已知z=1-i(i是虚数单位)，则4z+z2=(　　)

A.2　　 　　B.2i　　　 　C.2+4i　 　D.2-4i

2.设U=R，M={x|x2-x≤0}，函数f(x)=1x-1的定义域为D，则M∩(CUD)= (　　).

A.[0,1)　 B.(0,1)　　 C.[0,1]　 D.{1}

3.设5π2<θ<3π，且|cosθ|=15，那么sinθ2的值为(　　)

A.105 B.-105 C.-155 D.155

4.已知f(x)=x+3，x≤1，-x2+2x+3，x>1，则函数g(x)=f(x)-ex的零点个数为 (　　).

A.1　B.2　 C.3　 D.4

5. 执行如图所示的程序框图，输出的 值为( )

A. B. C. D.

6 . 已知2log6x=1-log63，则x的值是(　　)

A.3 B.2 C.2或-2 D.3或2

7. 一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π+853，则正视图与侧视图中x的值为(　　)

A.5　　　　B.4　　　　C.3　　　　D.2

8. 已知f(x)=32x-(k+1)3x+2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是(　　)

A.(-∞，-1) B.(- ∞，22-1) C.(-1,22-1) D.(-22-1,22-1)

9. 如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧 的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f(l)的图象大致为(　　)

10.如图，F1，F2是双曲线C： 的左、

右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点.若

为等边三角形，则双曲线的离心率为 ( )

A. B. C . D.

二：填空题

11. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则 =________.

12.设等比数列 的前 和为 ，已知 的值是 .

13. 已知不等式组y≤x，y≥-x，x≤a，表示的平面区域S的面积为4，点P(x，y)∈S，则z=2x+y的最大值为________.

14. 已知曲线 恰有三个点到直线 距离为1，则 .

15. 已知球的半径为5，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为23，若其中一个圆的半径为4，则另一个圆的半径为 _________

三.解答题

16. (12分)已知函数 .]

(1)求函数 的最小值和最小正周期;

(2)设 的内角 、 、 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，若

，求 ， 的值.

17.(12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x依次为1,2,3,4,5.现从一 批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

x 1 2 3 4 5

f a 0.2 0.45 b c

(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值;

(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等 级系数为5的2件日用品记为y1，y2.现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.

18.(12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a4=S2， a2n +2=2 an，

(1)求数列{ an}的通项公式;(2)若 bn ,求数列{bn}的前n项和Tn，并求Tn的取值范围.

19. (12分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC1的中点，F是AB的中点，AC=BC=1，AA1=2.

(1)求证：CF∥平面AB1E; (2)求三棱锥C-AB1E在底面AB1E上的高.

20.(13分) 双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为32，其中A(0，-b)，B(a,0).

(1)求双曲线的标准方程;

(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点.若点M在直线x=-2上的射影为N，满足 =0，且 |=10，求直线l的方程.

21.(14分)

已知函数 .

(1) 当a=1时，求函数 在( 处的切线方程;

(2)若函数 有三个极值点，求实数a的取值范围。

(3)定义：如果曲线C上存在不同的两点 ， ，过AB的中点且垂直于x轴的直线交曲线C于点M，若直线AB与曲线C在点M处的切线平行，则称曲线C有“ 平衡切线”，试判断 的图象是否有“平衡切线”，并说明理由.

答案

一.选择题

1.已知z=1-i(i是虚数单位)，则4z+z2=(　　)

A.2　　 　　B.2i　　　 　C.2+4i　 　D.2-4i [答案]　A

2.设U=R，M={x|x2-x≤0}，函数f(x)=1x-1的定义域为D，则M∩(∁UD)= (　　).

A.[0,1)　 B.(0,1)　　 C.[0,1]　 D.{1} 答案　C

3.设5π2<θ<3π，且|cosθ|=15，那么sinθ2的值为(　　)

A.105 B.-105 C.-155 D.155 [答案]　C

4 .已知f(x)=x+3，x≤1，-x2+2x+3，x>1，则函数g(x)=f(x)-ex的零点个数为 (　　).

A.1　B.2　 C.3　 D.4 选B.

5. 执行如图所示的程序框图，输出的 值为( )

A. B. C. D.

【答案】C

6. 已知2log6x=1-log63，则x的值是(　　)

A.3 B.2 C.2或-2 D.3或2 【答案】　B

7. 一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π+853，则正视图与侧视图中x的值为(　　)

A.5　　　　B.4　　　　C.3　　　　D.2 [答案]　C

8. 已知f(x)=32x-(k+1)3x+2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是(　　)

A.(-∞，-1) B.(- ∞，22-1) C.(-1,22-1) D.(-22-1,22-1) B

9. 如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆 时针方向转一周，点P所旋转过的弧 的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f(l)的图象大致为(　　)

10.如图，F1，F2是双曲线C： 的左、

右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点.若

为等边三角形，则双曲线的离心率为 ( ) B

A. B. C . D.

二：填空题

11. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则 =________.[答案]　1

12.设等比数列 的前 和为 ，已知 的值是 .[答案] 0

13. 已知不等式组y≤x，y≥-x，x≤a，表示的平面区域S的面积为4，点P(x，y)∈S，则z=2x+y的最大值为________.[答案]　6

14. 已知曲线 恰有三个点到直线 距离为1，则 .[答案]9

15. 已知球的半径为5，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为23，若其中一个圆的半径为4，则另一个圆的半径为 _________[答案]23

三：解答题

16.已知函数 .]

(1)求函数 的最小值和最小正周期;

(2)设 的内角 、 、 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，若

，求 ， 的值.

解：(1) ，…………3分

则 的最小值是-2， …………5分

最小正周期是 ; …………7分

(2) ，则 ，

，xkb1.com

， ， …………10分

，由正弦定理，得 ，① …………11分

由余弦定理，得 ，即 ， ②

由①②解得 . …………14分

17.某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

x 1 2 3 4 5

f a 0.2 0.45 b c

(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值;

(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2.现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.

解　(1)由频率分布表得a+0.2 +0.45+b+c=1，即a+b+c=0.35.因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b=320=0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c=220=0.1.从而a=0.35-b-c=0.1.

所以a=0.1，b=0.15，c=0.1.

(2)从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为：(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2).

设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个.

又基本事件的总数为10，故所求的概率P(A)=410=0.4.

18.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a4=S2， a2n +2=2 an，

(1)求数列{an}的通项 公式;(2)若 bn ,求数列{bn}的前n项和Tn

19.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC1的中点，F是AB的中点，AC=BC=1，AA1=2.

(1)求证：CF∥平面AB1E; (2)求三棱锥C-AB1E在底面AB1E上的高.

解析：　(1)证明：取AB1的中点G，连接EG，FG，

∵F、G分别是AB、AB1的中点，∴FG∥BB1，FG=12BB1.

∵E为侧棱CC1的中点，∴FG∥EC，FG=EC，∴四边形FGEC是平行四边形，

∴CF∥EG，∵CF⊄平面AB1E，EG⊂平面AB1E，∴CF∥平面AB1E.

(2)∵三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∴BB1⊥平面ABC.

又AC⊂平面ABC，∴AC⊥BB1，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，

∵BB1∩BC=B，∴AC⊥平面EB1C，∴AC⊥CB1，∴VA-EB1C=13S△EB1C•AC

=13×12×1×1×1=16.∵AE=EB1=2，AB1=6，∴S△AB1E=32，

∵VC-AB1E=VA-EB1C，∴三棱锥C-AB1E在底面AB1E上的高为3VC-AB1ES△AB1E=33.

20.(13分) 双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为32，其中A(0，-b)，B(a,0).

(1)求双曲线的标准方程;

(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点.若点M在直线x=-2上的射影为N，满足PN→•QN→=0，且|PQ→|=10，求直线l的方程.

解：　(1)依题意有ca=2，aba2+b2=32，a2+b2=c2.解得a=1，b=3，c=2.

所以，所求双曲线的方程为x2-y23=1.

以k2>3.②

因为PN→•QN→=0，则PN⊥QN，又M为PQ的中点，|PQ→|=10，所以|PM|=|MN|=|MQ|=12|PQ|=5. 又|MN|=x0+2=5，∴x0=3， 而x0=x1+x22=2k2k2-3=3，∴k2=9，解得k=±3.

∵k=±3满足②式，∴k=±3符合题意. 所以直线l的方程为y=±3(x-2).

即3x-y-6=0或3x+y-6=0.

21.(本大题满分14分)

已知函数 .

(1) 当a=1时，求函数 在( 处的切线方程;

(2)若函数 有三个极值点，求实数a的取值范围。

(3)定义：如果曲线C上存在不同的两点 ， ，过AB的中点且垂直于x轴的直线交曲线C于点M，若直线AB与曲线C在点M处的切线平行，则称曲线C有“平衡切线”，试判断 的图象是否有“平衡切线”，并说明理由.

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